2023年第二章導數與微分總結

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一、導數與微分概念1．導數的定義

設函數()xfy=在點0x的某領域內有定義，自變量x在0x處有增量x?，相應地函數增量()()00xfxxfy-?+=?。假如極限()()x

xfxxfxy

xx?-?+=??→?→?0000lim

lim

存在，則稱此極限值為函數()xf在0x處的導數（也稱微商），記作()0xf'，或0

xxy='

，

0xxdxdy=，()0

xxdxxdf=等，并稱函數()xfy=在點0x處可導。假如上面的極限不存在，

則稱函數()xfy=在點0x處不行導。

導數定義的另一等價形式，令xxx?+=0，0xxx-=?，則

()()()

000

lim

xxxfxfxfxx--='→

我們也引進單側導數概念。右導數：()()()()()

xxfxxfxxxfxfxfxxx?-?+=--='++

→?→+000000limlim0

左導數：()()()()()x

xfxxfxxxfxfxfxxx?-?+=--='--

→?→-000000limlim0

則有

()xf在點0x處可導()xf?在點0x處左、右導數皆存在且相等。2．導數的幾何意義與物理意義

假如函數()xfy=在點0x處導數()0xf'存在，則在幾何上()0xf'表示曲線

()xfy=在點()()00,xfx處的切線的斜率。

切線方程：()()()000xxxfxfy-'=-法線方程：()()

()()()01

0000≠'-'-

=-xfxxxfxfy

設物體作直線運動時路程S與時光t的函數關系為()tfS=，假如()0tf'存在，則

()0tf'表示物體在時刻0t時的瞬時速度。

3．函數的可導性與延續(xù)性之間的關系

假如函數()xfy=在點0x處可導，則()xf在點0x處一定延續(xù)，反之不然，即函數

()xfy=在點0x處延續(xù)，卻不一定在點0x處可導。例如，()xxfy==，在00=x處連

續(xù)，卻不行導。4．微分的定義

設函數()xfy=在點0x處有增量x?時，假如函數的增量()()00xfxxfy-?+=?有下面的表達式

()()xoxxAy?+?=?0()0→?x

其中()0xA為x?為無關，()xo?是0→?x時比x?高階的無窮小，則稱()xf在0x處可微，并把y?中的主要線性部分()xxA?0稱為()xf在0x處的微分，記以0

xxdy

=或

()

xxxdf=。

我們定義自變量的微分dx就是x?。5．微分的幾何意義

()()00xfxxfy-?+=?是曲線()xfy=在點0x處相應于自變量增量x?的縱坐標

()0xf的增量，微分0

xxdy

=是曲線()xfy=在點()()000,xfxM處切線的縱坐標相應的

增量（見圖）。

6．可微與可導的關系

()xf在0x處可微()xf?在0x處可導。

且()()dxxfxxAxxdy

000

'=?==

普通地，()xfy=則()dxxfdy'=所以導數()dx

dy

xf=

'也稱為微商，就是微分之商的含義。7．高階導數的概念

假如函數()xfy=的導數()xfy'='在點0x處仍是可導的，則把()xfy'='在點0x處

的導數稱為()xfy=在點0x處的二階導數，記以0xxy=''，或()0xf''，或0

2

2xxdxy

d=等，也稱()xf在點0x處二階可導。

假如()xfy=的1-n階導數的導數存在，稱為()xfy=的n階導數，記以()

ny

，

()

()xyn，nndx

y

d等，這時也稱()xfy=是n階可導。

二、導數與微分計算1．導數與微分表（略）2．導數與微分的運算法則（1）四則運算求導和微分公式'

212'1'21][ffffff+=

'

3213'2132'1'321][ffffffffffff++=

2

'

'')(g

fggfgf-=（2）反函數求導公式

設)(xfy=的反函數為)(ygx=，則)]

([1

)(1)('

''

ygfxfyg==（3）復合函數求導和微分公式設)(),(xguufy==，則)()]([''xgxgfdx

dududydxdy==（4）隱函數求導法則

每一次對x求導，把y看作中間變量，然后解出'

y例：765)23sin(=++-++yxyxe

y

x，確定)(xyy=，求'y

解：兩邊每一項對x求導，把y看作中間變量065)23)](23[cos()1('''=++--+++yyyxye

y

x

然后把'

y解出來（5）對數求導法

取對數后，用隱函數求導法則)

4)(3()

2)(1(=xxxxy

)]4ln()3ln()2ln()1[ln(2

1

ln+-=xxxxy求導得

)4

1312111(21'+-=xxxxyy解出'y

0>=xx

yx

x

xeyln=解出'y

xxylnln=

1ln'

+=xy

y解出