144-單位圓的對(duì)稱(chēng)性與誘導(dǎo)公式課件

4.4單位圓的對(duì)稱(chēng)性與誘導(dǎo)公式

在上幾節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的正弦函數(shù)的定義，以及終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(2kπ+α)＝sinα

(k∈Z

)，通過(guò)這個(gè)公式能把任意角的正弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°～360°的角的正弦函數(shù)值嗎？

如果能的話(huà)，那么任意角的三角函數(shù)求值，都可以轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)求值，并通過(guò)查表方法而得到最終解決，本課就來(lái)討論這一問(wèn)題．1－12kπ1(2k＋1)π－1[2kπ－π,2kπ](k∈Z)上是增加的

[2kπ,2kπ＋π](k∈Z)上是減少的2kπ2π探究點(diǎn)1角α與角-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系思考1：對(duì)于任意給定的一個(gè)角α，－α的終邊與α的終邊有什么關(guān)系？yα的終邊xO-α的終邊關(guān)鍵看兩角的對(duì)稱(chēng)關(guān)系思考2：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），則-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？yα的終邊xO-α的終邊

P(x,y)

P(x,-y)提示：如圖，-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，-y）.

公式：

思考3：根據(jù)三角函數(shù)定義，－α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)與α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有什么關(guān)系？yα的終邊xO-α的終邊

P(x,y)

P(x,-y)結(jié)論：正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)α的終邊xyOα±π的終邊探究點(diǎn)2角α與角α±π的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系思考1：對(duì)于任意給定的一個(gè)角α，角α±π的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？提示：如圖角α±π的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)思考2：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），則角α±π的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？α的終邊xyOα±π的終邊P(x，y)Q(-x，-y)提示：坐標(biāo)互為相反數(shù)思考3：根據(jù)三角函數(shù)定義，sin（α±π

），cos（α±π

）的值分別是什么？α的終邊xyO

α±π的終邊P(x，y)Q(-x，-y)sin(α±π)=-ycos(α±π)=-x思考1：利用π-α=π+（-α），結(jié)合上述公式，你能得到什么結(jié)論？探究點(diǎn)3角α與π-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系這兩個(gè)公式也可以由前兩組公式推出：－sinα

cosα

－sinα

－cos

α

sinα

－cos

α

提示：-α，α±π

，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，再放上原函數(shù)的象限符號(hào).簡(jiǎn)化成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”的口訣．例1求下列各角的三角函數(shù)值：解：一般步驟：變號(hào)轉(zhuǎn)化求值給角求值

探究點(diǎn)4角α與

的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系如圖，利用單位圓作出任意銳角α與單位圓相交于點(diǎn)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P′，由平面幾何知識(shí)可知,思考：如何得到下列兩個(gè)等式以上兩組誘導(dǎo)公式口訣:“函數(shù)名改變,符號(hào)看象限.”提示:y＝x

cos

α

sinα

cosα

對(duì)于任意角α，下列關(guān)系式成立：（1.8）（1.9）（1.10）（1.11）（1.12）（1.13）（1.14）公式1.8～1.14叫作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式.任意負(fù)角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)任意正角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)0～2

角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)銳角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)用公式1.8或1.9用公式1.8用公式1.10～1.14例2求下列函數(shù)值：例3化簡(jiǎn)解：原式1.求下列三角函數(shù)值：2.求sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°.解：sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°=-sin60°+cos(180°-60°)+sin(360°+30°)+cos(180°+30°)=-sin60°-cos60°+sin30°-cos30°=3.已知cos(+)=,且是第二象限角,求sin(-)的值.解：因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以理解正弦函?shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.能了解誘