第八章第五節(jié)橢圓

一、選擇題1．(2011·新課標全國卷)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)解析：∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).答案：D2．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為eq\f(1,2)，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標準方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a?a又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，c＝1.答案：A3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為()A．6 B．5C．4 D．3解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長為4a答案：A4．如圖所示，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(1,2)，左焦點為F，A、B、C為其三個頂點，直線CF與AB交于D點，則tan∠BDC的值等于()A．3eq\r(3) B．－3eq\r(3)C.eq\f(\r(3),5) D.eq\f(－\r(3),5)解析：由e＝eq\f(1,2)知eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(c,b)＝eq\f(\r(3),3).由圖知tan∠DBC＝tan∠ABO＝eq\f(a,b)＝eq\f(2\r(3),3)，tan∠DCB＝tan∠FCO＝eq\f(c,b)＝eq\f(\r(3),3).tan∠BDC＝－tan(∠DBC＋∠DCB)＝－eq\f(\f(2\r(3),3)＋\f(\r(3),3),1－\f(2\r(3),3)·\f(\r(3),3))＝－3eq\r(3).答案：B5．方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的橢圓的左頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，D是它短軸上的一個端點，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：設(shè)點D(0，b)，A(－a,0)則＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝eq\f(1,5).答案：D二、填空題6．(2012·江南十校聯(lián)考)設(shè)F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為________．解析：由題意知|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.答案：47．已知動點P(x，y)在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，若A點坐標為(3,0)，||＝1，且·＝0，則||的最小值是________．解析：∵||·＝0，∴⊥.∴||2＝||2－||2＝||2－1，∵橢圓右頂點到右焦點A的距離最小，故||min＝2，∴||min＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答題8．(2011·陜西高考)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點坐標．解：(1)將(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25).∴a＝5.∴C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，設(shè)直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2)，∴AB的中點坐標eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5).即中點坐標為(eq\f(3,2)，－eq\f(6,5))．9．(2012·天津河西模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點．(1)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且·＝－eq\f(5,4)，求點P的坐標；(2)設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角(其中O為原點)，求直線l斜率k的取值范圍．解：(1)由題意知a＝2，b＝1，c＝eq\r(3)，所以F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)．設(shè)P(x，y)(x>0，y>0)，＝(－eq\r(3)－x，－y)，＝(eq\r(3)－x，－y)．由·＝－eq\f(5,4)，得x2＋y2－3＝－eq\f(5,4).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝\f(7,4)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))解得點P(1，eq\f(\r(3),2))．(2)可設(shè)l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．將y＝kx＋2代入橢圓方程，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得k2>eq\f(3,4).①又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB為銳角，所以·>0，即x1x2＋y1y2>0.即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝eq\f(121＋k2,1＋4k2)＋2k(－eq\f(16k,1＋4k2))＋4＝eq\f(44－k2,1＋4k2)>0.所以－eq\f(1,4)<k2<4.②由①②可知eq\f(3,4)<k2<4，故k的取值范圍是(－2，－eq\f(\r(3),2))∪(eq\f(\r(3),2)，2)．10．(2012·南昌模擬)從橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為橢圓的左焦點F1，M是橢圓的右頂點，N是橢圓的上頂點，且＝λ(λ>0)．(1)求該橢圓的離心率；(2)若過右焦點F2且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為A1，直線A1B與x軸交于點R(4,0)，求橢圓C的方程．解：(1)令x＝－c，得y＝eq\f(b2,a)，所以點P的坐標為(－c，eq\f(b2,a))，由||＝λ(λ>0)得到eq\f(\f(b2,a),c)＝eq\f(b,a)，所以b＝c，a2＝2c2.即離心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)設(shè)直線l的方程為x＝my＋c(m≠0)，與橢圓方程eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1聯(lián)立得到(m2y2＋2mcy＋c2)＋2y2＝2c2即(m2＋2)y2＋2mcy－c2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(－2mc,m2＋2)，y1y2＝eq\f(－c2,m2＋2).由A關(guān)于x軸的對稱點為A1，得A1(x1，－y1)，則直線A1B的方程是eq\f(y＋y1,y2＋y1)＝eq\