構(gòu)造的近似方法

近似分析方法第1節(jié)概述對于力學(xué)問題(如穩(wěn)定問題)，通過建立微分方程求解，往往有一定的困難，甚至不能得到閉合解，必須采用近似方法，它能滿足工程計算的精度要求。無限自由度體系的特性常用微分方程來描述，而近似方法把實際的無限自由度連續(xù)體用有限自由度的體系來代替，其特征可用代數(shù)方程來描述。第2節(jié)Timoshenko能量法原理若體系處于穩(wěn)定平衡時（參考狀態(tài)），施微小擾動力，則體系應(yīng)變能增量=外荷載作功增量+擾動力所作功。因此，>時，結(jié)構(gòu)體系穩(wěn)定平衡。<時，結(jié)構(gòu)體系不穩(wěn)定平衡?！鱨壓縮lx△l壓縮lxPS=ldsyP失穩(wěn)dsdxdy實例例1：以兩端簡支的理想壓桿為例，取剛要屈曲的直桿作為參考狀態(tài)。失穩(wěn)后下降的過程中，應(yīng)力、應(yīng)變均不變，故?，F(xiàn)考察：在軸上投影為，其差為由二項式定理并注意微彎狀態(tài)下（小變形），可略去以上的高階項得所以，外力所作功增量為 （1）四彎曲應(yīng)王變能增活量為央 植 催 閣 恐 鼻 裝 舒（尾2恐）向或雅（本例仰中銷）椅 核 挎 肉 撕（踢3芝）樂要求蜘或須必須先潔確定桂假定蹦，此式啊滿足睛幾何邊圣界條件漂 降 蹄力學(xué)邊帥界條件刪 娛 鋤將左代入式響（座1棒）、耳（必2曾）中得杜令震（代數(shù)預(yù)方程）攜，得娘所得結(jié)謊果與精耍確值完龍全一致劇，這是辛因為所禿假定的潮函數(shù)謙完全正威確之故賽（它即桃滿足幾勢何邊界貓條件，煌又滿足最力學(xué)邊兇界條件嗽，其參勞數(shù)幅侍值塌A枯會自然蛇消去）拋。②假設(shè)票由幾何柳邊界條排件：先得舍，捧得因此交上式滿比足幾何齒邊界條指件但不俗滿足桿傭端彎矩嘩為敏0羅的力學(xué)緒邊界條遞件，因誕為甘。梳（式陣(喉2質(zhì))腐得）各令葵（代數(shù)瞞方程）密，得休比辛（精確夜解）曬大惰21芬%井。東③臂仍假定則羨（式句（速3來）得）逮由啄得羅，比精淹確解僅壺大脾1陶.3%紛。拖2滋、方法出一次近刮似脈解生,盛只包括綢一個參鉛數(shù)哭,刮即一個云自由度覽對應(yīng)一蓄個方程蘇。為了宴得到更查精確的并解，可遣假定診曲線包艇含更多沙的參數(shù)仇：假設(shè)皆式中，圣是滿足稻邊界條絨件的關(guān)褲于協(xié)的函數(shù)賴，叫做狀坐標(biāo)函絲數(shù)或試?yán)夂瘮?shù)樸；撲是參變頭數(shù)，叫田廣義坐拴標(biāo)。傾仍以兩鋤端鉸支識的軸心哪壓桿為在例，則，明由恥，解得坑式中，阻、沃均為咐的二次兩函數(shù)。輕為了得噸到臨界俱荷載，容必須使糖為最小潛，因此或（）臟這是包此含鐘的齊次沿線性方耐程組，拿不全猜為圖0乳的條件枕是稍，可求惜解臨界蘇荷載敏。歸結(jié)買為特征緊值問題違。雅3攻、小結(jié)落能量法漸可避免疏解微分嘆方程，洞歸結(jié)為驚特征值堂問題?？h②篇由于正抄確的跳事先并慰不知道燙，故一例般只能車得到近抓似解?；锶艏俣ㄋ牡氖厥钦_悔的，則鍛得到精帶確解，融能量法昌的精度獄取決于難位移函笛數(shù)的選客擇，選闊擇越合掙理，則非精度越就高。選痕擇時應(yīng)數(shù)考慮三番點：其毫一，形盆狀合理翼；其二那，盡可庫能滿足爆幾何、誤力學(xué)邊財界條件寶，至少佛滿足幾亮何邊界驚條件；仔其三，柴易積分狡，便于觀計算（訴常用多歲項式和則三角函脾數(shù)）；幅③擋由于疊常不是萬真實曲滅線，則貨的誤差文比掉引起的敢誤差更趟大，故拆用式襯(鼻3)蹤求夕比用式喪(甩2)述求是精度高晚；桃④咬用能量匠法求解槽較精確琴值高。殲這是由甚于假定堂的曲線懷不是真痛實曲線禮，相當(dāng)代于增加板了約束?。缓耽萁捞岣呔愣鹊牧砀逡环椒ㄒ彩窃黾右俗杂啥葮?gòu)，但求里解復(fù)雜溉；紗⑥欠當(dāng)精確坐解未知桿時，很斧難判斷和解的精倦度，這件是能量援法的一遵個缺點德。但可框?qū)纱卧杲平庋容^，洽若很接淚近，說畢明誤差碑不大。稀第佳3涂節(jié)基胞變分法浸下一節(jié)荒將介紹悉更有效謀、更通詳用的能顏量法－志勢能駐印值原理艦。為此納，先對罵變分原腥理作一栗簡單介商紹，以壓便在勢壩能駐值外原理中刪應(yīng)用。涉變分法毅是普通嶼微積分寫中求極禁值問題輕的推廣僵，用以擁研究泛羅函的極壁值問題遺。復(fù)泛函：索即函數(shù)純的函數(shù)擦。玻設(shè)定積而分抬 脫式中，胞是現(xiàn)的函數(shù)垃，因善此蠅I項是一個膠泛函。肝變分法情就是確頁定蔬使某取極值肥的方法鼓，其結(jié)互果是得計到桐必須滿初足一個疏或一組皂微分方伏程。本卵章的重躁點放在緣獲得使完泛函取業(yè)極值的佩必要條屬件的微賴分方程騎。程只包含索一個自躺變量攏的一個沙函數(shù)病的泛函忌 遍 常 諷 熟 是 左（群1刷）張在邊界并條件罩和讓下的極毫值問題系。即求貌為極值甘時的劇?？霸O(shè)函數(shù)描對送都有一歪階和二先階連續(xù)精偏導(dǎo)，址有一階較、二階亡導(dǎo)數(shù)。列圖中曲確線蠶為怒，稱為兆原曲線虹或極值依曲線。哈考慮任線意函數(shù)抗，戰(zhàn)及導(dǎo)數(shù)候在衡區(qū)間連繞續(xù)，且途，線。隨則可找倍到一族欺比較曲長線廟：頸 吼，跑式中，陜是一個歷微小參相數(shù)，可有選擇足懸夠小的盾使徐，張是任意訂選定的樹小數(shù)，某稱為原械曲線獸的鄰近貢曲線，角它們的妹端點燦、撒相同，犧叫做容慘許函數(shù)鋼。選取桌不同的覆，可得蔬到不同己的鄰近蘭曲線。智在變分糟法中稱資為臣的變分輛，記作濱，于是， ，查式中，雷，捉和良的變分樸，也是矮的函數(shù)濁，表示搭原曲線餡變到鄰翠近曲線徒時，胃和談的相應(yīng)箱變化。由于，僵香錦導(dǎo)數(shù)的底變分等釘于變分躁的導(dǎo)數(shù)啞，即戴和旗兩個符紙?zhí)柨梢缘』Q位店置。旅將鄰近箏曲線纏代入式緩（職1創(chuàng)）中得避 敬 湊 判 轟（厚2毒）報對于給普定的菌，來是參數(shù)符的一元蒜函數(shù)，鑼因此將釘一個求茫泛函極急值問題冰轉(zhuǎn)化為目求普通允函數(shù)的秘極值問筐題。此將外，設(shè)漲是使那為極值魚的函數(shù)奇，這就炎要求在搏得到極庸值條件擇后尚應(yīng)聽使旨，這就族得到泛解函固的極值組條件為扭 哀 匯 發(fā) 險 飄 澆（猴3尼）自或?qū)懗闪簦篡E上式兩律邊各乘灶以攏，可改蒼寫成覽 哨 涉 扭 毫 浙 裳（蹈4倍）柄這就是罪泛涵夕有極值漢的必要雕條件。鬧式中被匯積函數(shù)時的幾何勤意義是瘡變化災(zāi)和頌變化福后脊的變化勺，即枕 迫 額 夸 弟 么 挖 憤（外5略）著于是，擁當(dāng)迷不變時射（參見越圖），準(zhǔn)增加了他，久增加了都，咱就增加膀，因而旨積分鼠增加了秒，式齊（揭4崗）的意甩義是約因此，肢泛涵槳有極值翠的必要疤條件是鋸泛函的往一階變家分藏應(yīng)等于翼零，即泄 夸 領(lǐng) 碰 隨 呢 宣 戀 匠 褲（米6翅）賤下面將腔式節(jié)（歪4笑）進行兔變換，炮由式頸（鼻4態(tài)）得 （7）笛由于繼可以有狗不等于膨零的任掙意值，箭故有餡 診 畫 遵 信 勤 兩（聽8刮）時說明泛乒函劑在曲線護上取極匯值，則所曲線現(xiàn)必然是旬上述微招分方程權(quán)的解，尚式倘（減8效）叫做格歐拉方姥程。求柴解泛函害的極值賴問題轉(zhuǎn)法化為求印解一個柏微分方暗程。踐是泛函磚以得極索值的必質(zhì)要條件群，至于狀是極大看還是極倚小，要肥考察高羞階變分禁。饞已定義鎮(zhèn)并滿足諸，則稱圖為休的將鄰近。茅滅兩若索在它的米鄰近的掏一切曲碧線寺都滿足己不等式冊，則泛趟函慣在曲線飾上取得騰極小值購。績?nèi)魳O，則取壩得極大做值。偉取得極吐小值的低條件是捧。根據(jù)言多元函寫數(shù)的泰仇勒級數(shù)趴， （9） （9）建式中，浙和鋤分別為兆二階和秩三階變嬌分。說蔑看由于取琴得極值須的必要塘條件是畝，則砍對于任朋意肯，若雄，則售為極小原；若獲，則順為極大例。粗逃樹對于一賽般力學(xué)喂問題，拜極大還鏟是極小透值，可何由問題棍的性質(zhì)哈確定，塞不一定在要求高譜階變分景。花下面說箏明儀與全微提分掌是有區(qū)是別的。墨是授的變化送引起了冠和匯變化，拒從而引拔起悉變化；霉是由于闊變成搶后囑的變化行，此時測固定不蜂變。種2漫、自然深邊界條陪件衰在式企（備7徒）中利池用了甜、寒兩邊界臂處誓的條件錢。假如皮在邊界于上不預(yù)勻先給定遙，則只慮有千 飛 窯 疑 麻 連 往 菜（筒1赤0謠）紅和式鴿（粱8漫）歐拉俯方程同耍時成立芬，才能惑得到纖，即式饒（蘿7刮）成立雜。激式診（鎮(zhèn)1概0財）是變絨分計算訂時自然幕得到的勺附加邊薪界條件標(biāo)，故稱眠為自然券邊界條嫂件，它援往往就燕是力學(xué)掠問題中娃的力學(xué)軍邊界條圓件。猛變化問奇題的解盾就是在偶自然邊摔界條件捉下求解賄歐拉方眾程。因燃此，在鎮(zhèn)求解力乏學(xué)問題培時，幾忙何邊界另必須先犧給出，適力學(xué)邊察界條件梯可以不誦必預(yù)先管給出而廟在變分鬧計算中脈自然得幸到，這層是變分竊原理的貫一個特討點。犯3獸、當(dāng)積峰分磨中還包敢含壞時誰，。懂設(shè)邊界員條件，度，巨，隱，勻都已知映，現(xiàn)在茶來求使侍有極值歪的固所必須釘滿足的烤歐拉方創(chuàng)程。牌必要條盞件侍，而禁分部積俗分并利等用邊界現(xiàn)處三，則談從而得血到釋所須滿荷足的歐胳拉方程暮 怨 悼 柜 做（紫1移1脫）舌4帝、當(dāng)泛壓函敏中包含特自變量順的幾個職函數(shù)及細其導(dǎo)數(shù)恨時：騎分部積印分并利霜用基，得雕（演1畜2識）盒解式輛（診1洋2陶），可飛確定使純?yōu)闃O值監(jiān)的膊個函數(shù)懷。焰5火、當(dāng)泛盜函中包趨含兩個夢自變量仆的一個體函數(shù)時嬸，侵給定樸邊界條夸件：溉其中，騰是區(qū)域星的邊界畫閉曲線物，甩為給定野值。組必要條疊件甘，即懲利用分兇部積分率法和邊填界條件術(shù)，得鐮 縫 好 肉 隆（帝1錢3慕）面這就是距使忠有極值扮時，攀必須滿召足的歐位拉方程供。溫6桐、附加趴條件下剩的變分胖問題艇求撞使泛函烤為極值張并同時淺滿足下基列附加災(zāi)條件掌，式中蒼為任意聾常數(shù)，棋邊界條突件是潛和蘆。唱利用倒Lag慈ran岸ge占待定乘壤子求解蘭，設(shè)喊Lag張ran贊ge迫乘子為駁，得新挖泛函掠對此泛霞函取變厘分的獨住立變量仍為絡(luò)和顏，并令婦，則于是得程 勤 堆 襲 發(fā) 薄 荒（鏡1磨4?。┖哇E在邊界申條件稠，決和附加腹條件極下求解館歐拉方惠程式各（溫1西4舌），即伯得使恒取得極肚值的歐。短第夸4稿節(jié)燈升勢能駐帖值原理芒和最小幸勢能原烈理稅勢能駐漏值原理朵和最小轉(zhuǎn)勢能原陡理是能費量法中均的一個驢重要原單理，應(yīng)排用極廣取，它可差導(dǎo)自虛鬧位移原茂理。納虛位移傷原理：煮當(dāng)彈性復(fù)體（線賀性或非版線性的音）處于故平衡狀侍態(tài)時，仔對任意踐虛位移深，外力茶虛功與告內(nèi)力虛預(yù)功的總禾和應(yīng)等戒于零，線即抬 匯 謙 綱 貓 臘（繭1單）海始終為妻負值，毫應(yīng)等于直負的應(yīng)胳變能劇，即需，則網(wǎng)紗 洞 雙 推 晚 胞槽（先2梳）蝕襲 辮或鑰 博氣 魚 葡 盒 敢尤（傷3跨）恐式械（嫩2魂）與式撞（偽3層）意義嫩不同：潛式乓（肅2快）表示昏內(nèi)力虛悠功與外哨力虛功涉的和為循零，是事虛位移蓬原理；墓式碗（讓3疾）表示隱虛應(yīng)變殺能（虛滅內(nèi)力勢灑能）穩(wěn)與虛外捆力勢能里之和為漠零。飯斷況虛位移戚是位移處的微小丹增量，幫實際是旋位移的蝶一階變采分，煎也是一爺階變分災(zāi)。因此提，式饒（屋3販）瞧為肉葵 旗 晚 我 耀（姜4似）蠶式中，艇為總勢第能，它皮是應(yīng)變另能和外榆力勢能莖之和；雀、炮、縮均可從傲某一參表考狀態(tài)亞算起。垂例如桿航的屈曲臟問題。捕式癢（月4幕）導(dǎo)自棍虛位移竹原理，附適用于細彈性體饒。其意袋義是當(dāng)裝彈性體撲系處于迷平衡狀兵態(tài)時，級總勢能痰一階變艷分為零坐，或體過系總勢燭能為一婦駐值，旅這就叫鑒勢能駐舞值原理炒。犯是彈性沾體系處擱于平衡梅狀態(tài)的咳充要條秘件。但王平衡是謝否穩(wěn)定診，還要瓦進一步游考察唇的高階還變分。才勢能是接以位移乘場為變居量的函絕數(shù)，務(wù)是一個段泛函，糕由上節(jié)滅可知嚇體系平盆衡時衰，則死 路 竊 棋 袖 潑（排5埋）撤對于穩(wěn)缺定的平價衡，給鴿定任何催虛位移抬，瞎總為正束。因為鍵只有干老擾力作般正功才訴可能偏教離原來悅平衡位勢置。因昌此，在定穩(wěn)定平紙衡狀態(tài)火，體系侍的總勢仍能為最部小，這并就是最欠小勢能坐原理。求因此，證由式巴（稼5平）可知蜻當(dāng)召時，無，鄰為極小糧，屬穩(wěn)肉定平衡輛；靠當(dāng)僅時姑，例補，屬中賴性平衡羽；巾當(dāng)失時，拌，偉為極大濕，屬不蕩穩(wěn)定平身衡。轟艘汁綜上所彩述，可論以概括弓求臨界吧荷載的噸兩種方冊法：飲①慨中性平夢衡時的帳荷載即士臨界荷街載，因棟此在中券性平衡吳狀態(tài)列飽出平衡幣條件休（可不均必求二刺階變分夢），這哲是勢能像駐值原突理；醫(yī)②奧從穩(wěn)定股平衡過道渡到不針穩(wěn)定平閱衡的荷群載，即唉由察（音）求臨渡界荷載栽，這是火最小勢照能原理菌。玩①竟、窯②六概念上六不同餐，災(zāi)①仗較簡單潑常用，薦但從數(shù)虜學(xué)上講拖只是平魔衡條件園，它不狀表示從屋穩(wěn)定平培衡過渡由到不穩(wěn)綿定平衡輩的臨界初條件，反因此，倒理論上斬方填法哪②寇更嚴(yán)密度。擺例：兩絡(luò)端簡支確的軸心急壓桿提以剛要員屈曲的張直桿為投參考狀框態(tài)：燙外力矩功窩住應(yīng)變蓮能料總勢能由，得家利用分招步積分狐和幾何灣邊界條寇件：鏈，因而得到：由此得猛(鑼平衡條較件蛙)練 董 聲 吊 淚 漂 蝦（遮6拳）（力學(xué)條件） （力學(xué)條件） （7）碗可見幾海何邊界瀉條件要帖預(yù)先給扮定，力遲學(xué)邊界合條件自巨然得出勉。式款（敞6禁）就是思歐拉方克程，可爆由器從上節(jié)苦式匯（蒼1媽1土）得到植。令，則，，史代入搬，得尋利用勢癥能駐值剖原理建吐立微分筍方程，榮有時比寶直接根讀據(jù)平衡虎條件建允立簡單餡。該原差理是適唉用于彈伸性體系喊的普遍模原理，期并不是糧一個近仆似方法槍，但可省在近似業(yè)方法中厲應(yīng)用它爭解決問榜題。紙第幼5同節(jié)慕業(yè)Ray嘗lei村gh-真Rit臣z特法茶勢能駐辮值原理引可以計改算結(jié)構(gòu)骨的穩(wěn)定散問題，耕但需用插變分法銅，得到緞的結(jié)果也是微分摩方程，掛還需求解解微分美方程才煤能得到兵臨界荷貌載。今Ray刷lei鍛gh-敞Rit芝z煙法是建己立在勢聞能駐值邁原理基胡礎(chǔ)上的帽一個近幅似方法拒，用求骨解代數(shù)奴方程式鍵代替求愉解微分陳方程式案。為避柿免求解弄微分方蓄程，可鋸以先假貫定體系洞在中性援平衡時輕變形圖卷形：混,磚,丘性疑（甩1尚）駛式中波,裂是潮個獨立堪參數(shù)，甩叫做廣植義坐標(biāo)怪；妻是見個連續(xù)憤函數(shù)，星叫做坐挎標(biāo)函數(shù)辯。坐標(biāo)沾函數(shù)可陶以任意渡假定（牧試解函詢數(shù)），懼但須滿腰足幾何減邊界條嶺件而不搏一定滿篩足力學(xué)欄邊界條勉件。這粘樣體系畜在中性牌平衡時腫的位形膜取決于登個獨立喚參數(shù)，促一旦這掀個獨立耕參數(shù)確業(yè)定了，涌位移也羨就確定久。無限鏟自由度陸的連續(xù)雕體系便掠用諸個有限之自由度禽替代，夜越大，惱兩者越濤接近。作將式番（起1秘）代入焰中，則騙是姨個廣義紐坐標(biāo)或潤獨立參韻數(shù)的函溫數(shù)，根昂據(jù)勢能洗駐值原連理，鵝可得屢由于械是微小憐的任意蹤值，蘆則豎非，仔版伙（庭）凍 腰 盯（憂2瀉）被求解這慘個代數(shù)葡方程，士即得位個移解毀。當(dāng)為狹線性屈甲曲問題尿時，令醋，即得示。原例：求欺兩端鉸錄支軸心與壓桿的艙臨界荷簽載設(shè) （3）畏由掠（施），得摔而漠（脖）滿或副 扇 幟乞赴碑（料）超有非零與解的條蓄件是連 冷 閣 悼 剪（腸4賓）式中，夢上式關(guān)鼻于嘆P滲的最小畝根就是魂臨界荷姜載出.虧Rey拾l(fā)ei旅gh-紹Rit腫z焦法與血Tim幼osh扮enk象o奏能量法脊的異同醫(yī)候木由式超（方3加）令病得導(dǎo)可見所華得結(jié)果援完全相緣同，但須概念上頸不同。冤Tim甲osh果enk幼o乖能量法書求臨界缺荷載的廚能量準(zhǔn)鈔則是：剖勢能駐傘值原理住的準(zhǔn)則區(qū)是：它這兩式勁概念是辭不同的裙。其結(jié)恩果分別舅為：惑，即守Tim會osh編enk朽o崗法認(rèn)為由臨界荷嘗載是中魔性平衡蚊下的最庫小荷載且。需，體系仗處于微叛小變形打的中性抱平衡時遠的荷載迫即勢能膠最小時夫的荷載素是臨界宰荷載。榴第戀6麻節(jié)采監(jiān)Gal雅erk叼in潮法摘須糠當(dāng)彈性臺體處在磨平衡狀死態(tài)時，雁總勢能籌的一階榜變分為史零：袍（勢能穿駐值原倍理）曉是一個盯泛函，雖設(shè)則倡經(jīng)分部啊積分：皺利用邊昂界條件贏或一般荷地，選呈擇結(jié)滿足力槳學(xué)邊界卻條件，利得或描近似解摘法壤設(shè)助 撈 嗚 壩 享（雹1罰）山式中，橋—濟待定參鞋數(shù)，態(tài)—丙符合所逗有邊界淘條件的穴坐標(biāo)函哈數(shù)。則則冶由于沿是任意貴的，由綿此得攀Gal講erk裙in卸方程： （11）……叢叨局式中，勸中喚求解上魔式即得摧的近似窄解。當(dāng)懷為線性較屈曲問噸題時，種令柄，即得跨臨界荷吼載壘。堂Gal肆erk透in銅法與平秋衡微分祝方程相脅關(guān)，不璃需計算譜總勢能食。當(dāng)能潛直接寫鍋出平衡榨微分方寫程時，牲有其便拜利之處古。當(dāng)肯而沫Ray反lei窮gh址——絕Rit座z狹法僅需餃寫出總扣勢能。屬例：求恐兩端固態(tài)支桿的評臨界荷寨載毅吵鄙索設(shè)化和川都滿足隔全部邊偷界條件搜：銷Gal訓(xùn)erk形in基方程為認(rèn)由上兩沫式可解菠出響與繡的比值邁，從而工確定顏。播、鍬不全已為糊0湊的條件菠是辱展開后巖解得蔬最小根鵲為倒，與精粱確解聲相比，頑偏大約萬6.3司%頭。雷第遮7害節(jié)串內(nèi)差分法女這是一胸種數(shù)值翁方法，互用以求魯解微分鞏方程。漁它是把挑函數(shù)在擠某一點臉的導(dǎo)數(shù)棄近似地乳用該點示及其相惡鄰點的覺函數(shù)值觀的代數(shù)耽式來代熔替，這衫些代數(shù)峽式叫做援差分公隔式。由櫻于用差這分公式至代替了痰導(dǎo)數(shù)，確從而把危微分方酒程近似筐地轉(zhuǎn)化住為代數(shù)絕方程，緩用求解烘代數(shù)方障程代替肢了求解枕微分方襲程。太導(dǎo)數(shù)的貿(mào)定義為靈：億考察圖春示函數(shù)享，一階尚導(dǎo)數(shù)的譯差分公窗式為：前差分多趴守或魔 壺 虹后差分限弄圖或洽序 牽中央差橋分（較垃準(zhǔn)確）屢 達 扣（裹1餃）涉 必（甘2扇）（3）（3） （4）（1）殿為便于斗記憶蟲（曲1登）這~?。ê??。┦娇珊逵脠D表善示如下者：（1）（2）（2）（3）（3）（4）（4）選撇醬非均勻鈴格式差起分和偏遵導(dǎo)數(shù)也每可按上猜述原理睜推導(dǎo)。預(yù)舞稈差分公寨式的精喜度取決糊于團的大小豪，格式忍分得愈淡小，則分差分與犁導(dǎo)數(shù)了萍也愈接棵近。溝富游例：求圾兩端簡觀支壓桿寸的臨界咐荷載。熱繞炮平衡方交程為聾及津件收將爭的差分心公式代搞入得還點的差必分方程鏈：畜取鍛（第二隱次近似灰），僑取劉的差分雀方斬程雁慈取勾的差分葡方洋程邊炭由邊界牧條件得艘，則爺由骨得米比精確饒解兄小紅9節(jié)%尺。民取嫁（第三脾次近似皇），時，時，時，扭利用對邪稱性替及邊界雜條件替，整理銀后得賠由親得校比精確適解分小思5狀%呆。景外插法專改善精寶度暑美泛先取冒和掛兩種區(qū)損段劃分臭進行差茫分計算踏，相應(yīng)亞的區(qū)段母尺寸分捉別為鉤；近似卵解為撫和宿。仙您陶設(shè)精確摘解為義，則誤凱差分別軟為窄和扒。傾誤差的挨大小與久約成正與比，則射餓積式中，梁為比例使常數(shù)，厘聯(lián)立求博解唱，消去耕得丈 慨 誼 晌 培 銳 反（益5至）盞由于廢和娃單調(diào)趨濃向精確寒解，則椒上式給害出了外巧插值貞，將較榮和雅更接近毅于精確嬸解。已知誓則微比精確杰解僅小退0.2禮%.拾例：求傷一端固摧定另一恨端簡支閃桿的臨贈界荷載鑄。虛平衡微音分方程馳邊界條押件左差分方花程為：取，時：永式中出就現(xiàn)了犧與嗚，可由三邊界條吧件定出風(fēng)：逗，則帽（中央常差分）撈得，則得竿差分方恨程變?yōu)槔Γ寐暠染_目解小東41%疊。職·遇 覽小結(jié)搞頑1同、差分盾法是一耐個十分積有效的挨方法，或加大區(qū)嶺段倡可提高個精度，胸差分格計式有規(guī)拋律，適粱用于計榆算機求酬解。挽造2評、與能凡量法相厚比，都枕是用有撤限自由包度體系收代替無姻限自由屯度體系犯；能量股法假定米體系變受形后的艱形狀，盜而差分腔法則把華連續(xù)體撤離散成拋質(zhì)點體申系。能游量法解狼比精確饒值大，雜是上限立，差分奔解則比敬精確值獨小，是滴下限。擔(dān)3叮、非特問征值問窗題的差將分解是戲、展……裂，為非誦閉合解拋；若想哥得到解脅析式，菌則將離綠散點擬奔合成女。這個墨缺點在盈特征值推問題中小并不存舊在。球第紐8乳節(jié)猾點加權(quán)殘婚數(shù)法很這是求把微分方松程的一追種近似蛇方法，維且十分廟有效。治設(shè)微分惹方程為坐：蝦（蜜1師），括邊界條蛇件梳（詳2升）濃精確解揀必然在每任意一炮點都滿遼足上述兆平衡微播分方程死，和任言一點上駁滿足邊燭界條件枝。簡但復(fù)雜激的工程虧問題很撤難找到述精確解拳。設(shè)近旬似解為藍：（3）仇其中，喜是待定未系數(shù)；吵滿足所船有邊界獵條件，烤但不滿斤足微分蹲方程。吹是線性艙由于刑不滿足乖（案1氏）式，金將上式績代入，幻必有殘煌數(shù)：（4）畫對于精諷確解，釋余量梨，對于誕近似解們可以選布擇協(xié)使得在令某種平俱均意義爐上臘。今取郵殘數(shù)的梅加權(quán)積把分值為茅0騎，即（5）闊式中，慰是權(quán)函懶數(shù)，上擴式是界個方程惹，可確亂定忠個待定鐘系數(shù)棗。采用匯不同的戚權(quán)函數(shù)憐就得到祝不同的容計算方賊法。配點法克權(quán)函數(shù)幻選擇：壇在捉個分散野點上取尺，其余略部分興，這實漆際上是輪要求近蝦似解在櫻個分梳點上滿瘦足微分丟方程，匯同時滿拉足邊界腔條件，晶即余量即在五個點上孩為抗0依：（6）因由上式劈可求解師個待定愛系數(shù)匪，從而傻得近似形解鋸。低最小二匯乘法惰將殘數(shù)毯的二次仆方全沿桿長腸（或板種）積分僅，得（7）爺因此要語求：駁（坊）慨即障（錯）（洋8瓶）頂由這休個方程似，正好禿可求身個鍛?？梢娮跈?quán)函數(shù)沉為矩法秀對于一縫維問題儀，取塵，得。被上式左王端分別袍為余量搬的零次奏矩、一著次矩、原二次棕矩并…稼…救。滔Gal肯erk碌in困法勵其權(quán)函以數(shù)為跡。姨第摸9硬節(jié)宴巾逐次漸劇近法剃在用能動量法進探行計算檢時積,包必須先拾假設(shè)變神形曲銷線橋,筆而且所特假設(shè)的絡(luò)變形曲猾線對計米算結(jié)果能的誤差乒有決定孩性的影裝響。究汽竟如何妻選取變敏形曲線耀才能接做近于精疫確解怠呢推?寇逐次漸絕近法提脂供了一訊種較好靜的辦法頓。此溜外誕,謹(jǐn)對于精低確解為效未知或佛比較復(fù)群雜的情廟況預(yù),情用漸近妥法能提旬供臨界勻荷載的墊上限和隔下六限貪,詠可以估輪計近似差解的精惡確溪度蕉,扎通過逐聰次漸近杯計算便遣可得到萬所需的寒精確度志。迎用漸近渣法計算玉臨界荷督載僅時潤,斥先取任睜一滿足約幾何邊菌界條件郵的曲線摔作為初柔始變形胡曲祖線泄,擠桿件的蠶彎矩可絲以軸證力凈P洽與撓度瘦來表瑞示撕,捷宣將其代賠入微分器方脈程識,顧遭用重積便分法或匆其他方煤法得到刃變形曲鄉(xiāng)線的表萬達蓄式盾,池令從而得顫到一個寸臨界荷統(tǒng)載值。季如果原喬設(shè)定的侮變形曲遷線剛好送是正確極的膀,歌庸則求解侍微分方餡程所得電的變形腥曲線與氏原先所獎設(shè)的曲柴線必定腹相即同接,吹胃而如果貌選擇的犧初始曲介線是近絡(luò)似顛的蛙,月則積分技后得到存的變形辟曲線與扇原曲線膏將有區(qū)游別。換餡句話尺說鬧,碑短原先設(shè)壁定的變謙形形式店不是實承際的屈啄曲平衡翠形式。莫為了尋鐮求新的鏈變形形纏式笨,拖可以第干一次計家算所得精的曲線刻為基礎(chǔ)立作為真批實撓度濾曲線的開一個新枝的近似攻解。重揉復(fù)上述驢計件算且,陷賓又得到辭一個新鼓的變形孟曲紡線壞,尾妻求得另江一臨界跪荷載近車似脾值慧,檔雞它比前已一個臨禽界荷載養(yǎng)近似值證更接近鞠于精確喪值。繼轎續(xù)進行您計校算響,鏟歸直到假訊設(shè)的與苦計算的屯變形形免式相差藥很小為洪止催,仿遲這時相艇應(yīng)的臨湊界荷載來就將接秘近于精霜確解了露。雁現(xiàn)以結(jié)圖允1肉a傾所示的職間端餃透支等截梢面壓桿衣為例來衛(wèi)說明。熄其屈曲杯時的平露衡微分殲方程為捐持（獸1運）腸積分兩阻次罷后轟,丈漂得到其剖彈性曲虎線表達秤式為主廈平疼（簽2崖）顫以實際局的變形留曲線表罵達式草及臨界訴荷啊載摔P鋸代入式蔑（瓶2膠）的右用邊補,雹按式割（瑞2劫）算得參的胸與實際森的變形啟曲線必優(yōu)然相同伸。態(tài)但若右剝邊代入猛的為近慣似變形懲曲線司,碰表則按上敏式算得詞的暑與即就會有蒜區(qū)爹別俱,板不過葬比中更接近薪于實際痛變形曲味線。若悅又以嘴代入式別（累2去）的右喉邊進行信積肢分當(dāng),毯則又可墨得到一蔑個新的胸變形曲層線靠。由凱又可求竊得勿等等，豬依此類繳推。這碧種遞推圈關(guān)系可苗寫為一繁般形式盜(n=汪1,2杏,糞3糖…擊)年暑題（糊3汪）朗按上式慢每進行丑一次計門算艦,遇所得的疼變形曲龜線近似艦解都將連比前一衛(wèi)次的更蓄接近于古精確解奉。當(dāng)計阿算足夠音次數(shù)蹤后困,萄餓第古n降次與獄第自n-筍1援次兩次弱結(jié)果接臥近相等犬時搭,尸隨便可認(rèn)喬為得到姥了正確六的變形易曲線。粒不初過炭,蓋我們的火目的在走于確定擇臨界荷擦載夾,妻爆而它在腳按上述閑遞推運暫算過程齒中是未饒知的常陵數(shù)。我取們把上堂述過程霜做些變鋪化，便虜可求解嶄臨界荷維載。屠假設(shè)初貞始撓度斯曲線嗽則由式勁（繩3捎）得到它第一次哭近似撓吊度曲線跨為輛傍第二次薪近似撓挺度曲線喪為離依此類餐推，得悄式牢中飲煤踩芽（脈4架）鍬當(dāng)兩次簡結(jié)果接謝近時，教則離宗由此可畝得：釣則臨界喊荷載頌趣謙（車5敵）軟猾銷計算臨揮界荷載擇時，先外根據(jù)假蓬定的撓碗度曲線索由式腐（圍4憲）逐次續(xù)求出宅與褲，然后態(tài)由式睬（亞5治）確定脫臨界荷逃載友n慌次近似掏解。當(dāng)你兩次求歌得的臨盆界荷載折接近時瀉，認(rèn)為咽所確定縣的臨界焦荷載有蝕足夠的惠精度。貌實際計鳥算葉時廟,昌宮一般只跌要計算弦少數(shù)幾職次便可德得到比嶄較滿意授的結(jié)果滲。芒下面以五圖隸1糞a墓所示壓荷桿來說搶明耐式晃(5擾)冊的應(yīng)用胸。泡第一次暢近似：宮選取痰圖綱1埋b薄所示折藝線為初率始曲線秀,廊閥折線中蘆央的坐機標(biāo)設(shè)為術(shù)。其下遭半段的悔方程為跪堵么嗓（篩）配若由式?。?淚）得第類一次近好似變形臟曲線為邊為了能團由鐵式堅(5薦)志求臨界難荷載的捎近似完值效,地必須利罷用同一特截面在栽兩次計丙算中的鍬撓度冬比懂,殖但應(yīng)注蕉意桿件魄不同截鋤面的比拋值是不扛同的。疑例如俊這虜里攝,叢沿假定取攀用最大鉗撓度截對面的比常值來確貌定臨界挎荷載。仆即取雕。節(jié)第二次拴近似：銹以愈作為近矩似變形垮曲線代匪入原,膛得右將獄和黃代入罩式升(5)巷,游束得臨界驕荷載的須第二次狂近似值砍在與精短確解相廟比只什差輪1.3縫2鞋%萄。潤第三次央近似：賊以廈作為近沃似變形角曲線代獅入媽,哲得縫據(jù)此可誼求得臨枕界荷載悠的第三悼次近似久值為題與精確傳值僅冷差鴉0.1物3竭%博。器在一般雁情況襖下誤,砌臨界莉悄荷載的捎精確值暫是不知風(fēng)道的。馬因用此雀,千若在每仁一次近喝似計算瓣時癥,流能確定造臨界荷玻載的上育限和下辱限贊值山,豪便可事寫先判斷陵出臨界倡荷載精勁確解所總在的范魄圍。為屑此憐,邪可利用片式夫（痕5賞）慢)輸算出構(gòu)受件上某釣兩點的克值揮,刪村其中最續(xù)低值即雷為下零限碼,申用最高值放則為上孝限掀,已稍精確解應(yīng)必定在畫此上、炎下限之總內(nèi)。除在上例行中脖,鑄第一次語近似當(dāng)時，當(dāng)時，崇精確解協(xié)在這兩干個值之抗間，即望，如果遷取平均灶值何作為臨趟界荷載熟的近似效值，則嘗它與精徹確值誤尿差只浮有導(dǎo)1.3員2水％。亭同理，蝦第二次纏近似解壺為，叫平均值鉤作為臨辭界荷載狼的近似搬值，與透精確值湯誤差只研有貧0.7競0尸5月％。謠第三次孩近似解墨為，兵平均值嶼作為臨斥界荷載怕的近似餐值，與撈精確值鋤僅誤忽差交0.1放0艦4腔％，可泳以認(rèn)為誦已相當(dāng)善接近于卷精確解賢了。印由上述銜可釋知玻,種漸近法攏的每一喪次計算丑都為下珠一次的唐計算提期供了更冤接近于受精確解諸的特征吸函裳數(shù)墾,泰惹而且可裝以找到與臨界荷煤載值的鄭上、下椅限高;牌濾所設(shè)的太特征函者數(shù)包含采的項數(shù)云愈駁多甜,貧則愈精皂確。當(dāng)五算出的鈔上限與事下限甚案為接近齒時垮,夕便求得蘇了臨界廊荷載的恰精確值赴。一般涼只需經(jīng)倘過幾次流漸近計翻算〈特厚征函數(shù)笑只需包刷含幾項菊〉即可去得到較呼為滿意滲的解答納。其缺葛點是每乒次求調(diào)時都要蔥進行兩節(jié)次積晶分僑,環(huán)尼計算工藝作較繁悶。為此賭在求慕時，可丸采用共產(chǎn)軛梁法她來代替瘡重積分布運算。洪必須指浴出最,錢用漸近信怯求臨列界荷載漏所設(shè)的泡初始的住近似特進征函數(shù)挨必須滿辣足壓桿掩的幾何便邊界條屢件秀,閱店而且淋的形狀彩必須與鳳實際的村屈曲形勁狀大致叉相想符綁,撕這樣才姿能保證聽迭代運戰(zhàn)算的結(jié)醒果收斂請于壓桿隙的最小頂臨界力喘。繼（參考黎文獻防：拘G真.掘畢爾格位麥斯特集等受著洽,反虧戴天民眠等路譯班,紫處《穩(wěn)定損理論秧》口,直上卷直第逮4.2銷2魯節(jié)偶,愛中國工劇業(yè)出版葉社礎(chǔ),1加96磨4堆年。）昌第表1拘0地節(jié)璃堪半能量教法乓板根據(jù)得其厚度漠不同分松為厚板危、薄板渣和薄膜栗三種。腳當(dāng)板厚喝度菊t旅與板的騎最小寬趴度坡b奧的比聚值窮t/鏡b具較大賞時患(搜一就般擺t/b瓣>1/銀8~1耐/5)買,墻川稱為厚禮板擁,昨港此時板存的剪切買變形與罰彎曲變勉形同恩階剖,煉分析時留必須考元慮剪切件變形。鬧當(dāng)砌t/奔b綢不大極時悄(上一虧般謝1/1辭00~隸1/8宋0<t舞/b<念1/8疏~1/期5),昨母稱為薄咐板腔,摸反此時板卻的剪切循變形與們彎曲變文形相比捉可以忽君略不計衡。階當(dāng)桑t/在b書很小宿時殲(窗一般卸般寨t/b拖<1/肝100渣~1/稻80)知,輔浩稱為薄聲膜禿,引鋒此時板獲不具有富抗彎剛巡度款,另摘僅利用離薄膜張妖力濕(晨薄膜效姨應(yīng)魄)愉抵抗橫箱向荷載壇。冷彎格薄壁型東鋼構(gòu)件彎是由一充系列薄擋板組成浴的。喪當(dāng)薄板警中面的爆最大撓秀度往w梁遠小于嗽薄板的龍厚滴度禍t學(xué)時坊(帽一怕般賽w/t厘<1/悄5),遭憑通常稱欄這類問箱題為薄猶板的小用撓度問荷題流,米過此時薄屈板中面伯內(nèi)的薄角膜應(yīng)力斜比彎曲捐應(yīng)力小添很嗽多防,士可以忽們略不計盾。于當(dāng)嘉w在與盆t響的大小禍相差不巖大版時蚊(食一喚般鞭1/5菌<w/籌t<5位),趁翁稱這類恒問題為瓣薄板的叨大撓度績問題。彼此時薄悔板中面憶內(nèi)的薄晉膜應(yīng)力建與彎曲獅應(yīng)力同葬階較,沫分析時弊必須考冠慮薄膜胡應(yīng)力及非相應(yīng)的帽中面變病形。組芹成冷彎辱薄壁型剩鋼受壓代構(gòu)件的袍極宗件耗,雁屈曲時蟻撓度遠遍小于其營厚楊度肯,構(gòu)坡因此板扛件的屈祖曲問題扁是建立塌在小撓賠度理論退基礎(chǔ)上咐的。但犯對于這窮類板屢件尤,殖尚有屈行曲后強社度可資號利用。濕板件屈膚曲動后稱,穴撓度將影進一步悟增宣加貍,稱羊撓度與形其厚度學(xué)相比不球再是小梨量昆,鎖板件的貪應(yīng)力也捎將出現(xiàn)赤重分布拿，板件溝的中面庸會產(chǎn)生蠟較大的別非線性范薄膜拉神應(yīng)戰(zhàn)力腦,君因此板車件的屈梁曲后問躁題是建痰立在大親撓度理泊論基礎(chǔ)辱上的。音191刑0棉年予,愛屢卡門田（洋von陵Ka襖rma運n家)棋導(dǎo)出了袋求解薄房板大撓迫庭問題交的變形猛協(xié)調(diào)和衫平衡方傷程著,扎野分別為莖潛(1伏)泉(污2)扛式辯中腔t擇為板此厚派;遺D曉為板的許彎曲剛槳度激;沃E怎為彈性壘模泊量攪;彎F語為應(yīng)力勤函鑄數(shù)幸;塌w兩為撓則度耕;w女0米為初撓點度。式幸（糕1蔑）和式浙（廉2務(wù)）稱為定薄板的琴大撓度昌微分方運程被組啦,倒院或簡曲稱藥Kar魂ma屑n壩大撓度悟方程組尿。求解能薄板的圍大撓度歲問挖題箏,