高三數(shù)學第一輪復習(新人教A)8.6圓錐曲線的應(yīng)用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精8.6圓錐曲線的應(yīng)用●知識梳理解析幾何在日常生活中應(yīng)用廣泛，如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵,而建立數(shù)學模型是實現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化的常用方法。本節(jié)主要通過圓錐曲線在實際問題中的應(yīng)用,說明數(shù)學建模的方法,理解函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想?！顸c擊雙基1。一拋物線型拱橋，當水面離橋頂2m時,水面寬4m，若水面下降1m時，則水面寬為A。mB。2mC。4.5mD。9m解析：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設(shè)拋物線方程為x2=－2Py（P>0），由題意知，拋物線過點（2，－2)，∴4=2p×2.∴p=1?！鄕2=－2y。當y0=－3時，得x02=6?！嗨鎸挒?｜x0｜=2.答案：B2.某拋物線形拱橋的跨度是20m，拱高是4m，在建橋時每隔4m需用一柱支撐，其中最長的支柱是A。4mB.3。84mC。1.48mD.2。92m解析：建立適當坐標系，設(shè)拋物線方程為x2=－2py（p〉0），由題意知其過定點（10，－4），代入x2=－2py,得p=.∴x2=－25y.當x0=2時，y0=，∴最長支柱長為4－|y0|=4－=3。84(m）.答案：B3.天安門廣場，旗桿比華表高，在地面上，觀察它們頂端的仰角都相等的各點所在的曲線是A.橢圓B。圓C.雙曲線的一支D.拋物線答案：B4.探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點,已知燈口直徑是60cm，燈深40cm,則光源到反射鏡頂點的距離是____________cm.解析：設(shè)拋物線方程為y2=2px（p>0），點（40，30)在拋物線y2=2px上,∴900=2p×40.∴p=。∴=。因此，光源到反射鏡頂點的距離為cm.答案：5。在相距1400m的A、B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲音的時間相差3s,已知聲速340m/s.炮彈爆炸點所在曲線的方程為________________.解析：設(shè)M（x，y)為曲線上任一點，則|MA｜－|MB|=340×3=1020〈1400.∴M點軌跡為雙曲線，且a==510，c==700.∴b2=c2－a2=（c+a）（c－a）=1210×190?！郙點軌跡方程為－=1.答案：－=1●典例剖析【例1】設(shè)有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點處，當此彗星離地球相距m萬千米和m萬千米時,經(jīng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為和，求該彗星與地球的最近距離.剖析:本題的實際意義是求橢圓上一點到焦點的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關(guān)系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解。同時,還要注意結(jié)合橢圓的幾何意義進行思考。仔細分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當該彗星運行到橢圓的較近頂點處時,彗星與地球的距離才達到最小值即為a－c，這樣把問題就轉(zhuǎn)化為求a，c或a－c。解：建立如下圖所示直角坐標系，設(shè)地球位于焦點F(－c,0）處，橢圓的方程為+=1，當過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為時，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠xFA=(或∠xFA′=）。作AB⊥Ox于B，則｜FB｜=｜FA｜=m，故由橢圓的第二定義可得m=(－c）， ①m=(－c+m）。 ②兩式相減得m=·m，∴a=2c。代入①，得m=(4c－c）=c,∴c=m。∴a－c=c=m。答：彗星與地球的最近距離為m萬千米.評述：(1)在天體運行中，彗星繞恒星運行的軌道一般都是橢圓,而恒星正是它的一個焦點,該橢圓的兩個端點，一個是近地點，另一個則是遠地點，這兩點到恒星的距離一個是a－c，另一個是a+c。(2）以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.另外，數(shù)學應(yīng)用問題的解決在數(shù)學化的過程中也要時刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識地訓練數(shù)學思維的品質(zhì)。思考討論橢圓上任一點到焦點的距離的最大值和最小值是多少？怎樣證明？提示：利用焦半徑易求得最大值為a+c，最小值為a－c.【例2】某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如下圖所示）。已知PA=100m,PB=150m,∠APB=60°，試說明怎樣運土最省工.剖析：首先抽象為數(shù)學問題，半圓中的點可分為三類:（1）沿AP到P較近;（2）沿BP到P較近；(3）沿AP、BP到P同樣遠。于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50.從而發(fā)現(xiàn)第三類點M滿足性質(zhì):點M到點A與點B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程.解:以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系xOy，設(shè)M（x，y）是沿AP、BP運土同樣遠的點，則｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+|PB｜，∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50。在△PAB中,由余弦定理得|AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，且50＜｜AB｜。由雙曲線定義知M點在以A、B為焦點的雙曲線右支上，設(shè)此雙曲線方程為－=1（a＞0,b＞0）?！?a=50,∵4c2c2=a2+b2，解之得a2=625，解之得b2=3750.∴M點軌跡是－=1（x≥25）在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧。于是運土時將雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P處，右側(cè)的土沿BP運到P處最省工.評述：（1）本題是不等量與等量關(guān)系問題，涉及到分類思想,通過建立直角坐標系，利用點的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型(即分界線)從而確定出最優(yōu)化區(qū)域。（2）應(yīng)用分類思想解題的一般步驟：①確定分類的對象；②進行合理的分類;③逐類逐級討論；④歸納各類結(jié)果.【例3】根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實情況，一般卡車高3m，寬1。6m?，F(xiàn)要設(shè)計橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道,為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進入隧道后必須保持距中線0.4m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為am，求能使卡車安全通過的a的最小整數(shù)值.剖析：根據(jù)問題的實際意義，卡車通過隧道時應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4m到2m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過,取決于距隧道中線2m(即在橫斷面上距拱口中點2m）處隧道的高度是否夠3m，據(jù)此可通過建立坐標系,確定出拋物線的方程后求得.解:如下圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標系，由題意可得拋物線的方程為x2=－2p（y－）,∵點A(－，0）在拋物線上，∴(－）2=－2p（0－），得p=?！鄴佄锞€方程為x2=－a（y－）.取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程,得22=－a（y－），y=。由題意，令y＞3，得＞3,∵a＞0，∴a2－12a∴a＞6+2.又∵a∈Z，∴a應(yīng)取14，15，16，…。答：滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數(shù)為14m。評述：本題的解題過程可歸納為兩步：一是根據(jù)實際問題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點2m處y的值；二是由y＞3通過解不等式,結(jié)合問題的實際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的.●闖關(guān)訓練夯實基礎(chǔ)1。1998年12月19日,太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星。衛(wèi)星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點為mkm，遠地點為nkm,地球的半徑為Rkm，則通信衛(wèi)星運行軌道的短軸長等于A.2B。C.2mnD。mn解析：由題意－c=m+R， ①解析：由題意+c=n+R， ②∴c=，2b=2=2。答案：A2。如下圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=1m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向上至最高點后落下，若最高點距水面2m,P距拋物線對稱軸1m，則在水池直徑的下列可選值中，最合算的是A。2.5mC。5m D。6m解析:以O(shè)為原點,OP所在直線為y軸建立直角坐標系(如下圖），則拋物線方程可設(shè)為y=a（x－1）2+2，P點坐標為（0,1），∴1=a+2.∴a=－1.∴y=－（x－1）2+2。令y=0，得（x－1）2=2，∴x=1±?！嗨匕霃絆M=+1≈2。414(m）。因此水池直徑約為2×｜OM|=4.828(m）.答案：C3。一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）。在杯內(nèi)放入一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部,則玻璃球的半徑r的范圍為____________.解析:玻璃球的軸截面的方程為x2+（y－r）2=r2，由得y2+2（1－r）y得y2+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）2=0，得r=1.x2+(y－r）2=r2，答案:0＜r≤14.河上有一拋物線型拱橋，當水面距拱頂5m時，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高m，問水面上漲到與拋物線拱頂相距____________m時,小船不能通航.解析:建立直角坐標系，設(shè)拋物線方程為x2=－2py（p〉0）.將點（4,－5）代入求得p=?！鄕2=－y。將點（2，y1）代入方程求得y1=－?！?|y1｜=+=2（m）.答案:25。下圖是一種加熱水和食物的太陽灶,上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點處,容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐。已知鏡口圓的直徑為12m，鏡深2m，（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線的方程和焦點的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作點，試求每根鐵筋的長度。解:（1）如下圖，在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標系，使反光鏡的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，x軸垂直于鏡口直徑。由已知，得A點坐標是（2，6），設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），則36=2p×2，p=9。所以所求拋物線的標準方程是y2=18x，焦點坐標是F(，0）.(2)∵盛水的容器在焦點處，∴A、F兩點間的距離即為每根鐵筋長。｜AF|==（或|AF|=+2=）.故每根鐵筋的長度是6。5m.6.有一種電影放映機的放映燈泡的玻璃上鍍鋁，只留有一個透明窗用作通光孔，它的反射面是一種曲線旋轉(zhuǎn)而成的曲面的一部分，燈絲定在某個地方發(fā)出光線反射到卡門上，并且這兩物體間距離為4。5cm，燈絲距頂面距離為2.8cm，為使卡門處獲得最強烈的光線，在加工這種燈泡時，應(yīng)使用何種曲線可使效果最佳?試求這個曲線方程。分析：由于光線從燈絲發(fā)出,反射到卡門上光線應(yīng)交于一點，這就是光線聚焦，只要把燈絲、卡門安在橢圓的2個焦點上，反射面采用旋轉(zhuǎn)橢球面就可以使光線經(jīng)反射后聚焦于卡門處，因而可獲得強光。解：采用橢圓旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如下圖建立直角坐標系，中心截口BAC是橢圓的一部分，設(shè)其方程為+=1,燈絲距頂面距離為p，由于△BF1F2為直角三角形,因而,｜F2B｜2=|F1B｜2+|F1F2|2=p2+4c2，由橢圓性質(zhì)有｜F1B｜+｜F2B|=2a，所以a=（p+），a=（2。8+）≈4。05cm，b=≈3。37m.∴所求方程為+=1。培養(yǎng)能力7.某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔如圖所示，已知上部呈拋物線形,跨度為20m，拱頂距水面6m，橋墩高出水面4m,現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18m，目前吃水線上部分中央船體高5m，寬16m,且該貨船在現(xiàn)在狀況下還可多裝1000t貨物,但每多裝150t貨物，船體吃水線就要上升0。04m，若不考慮水下深度，該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔？為什么?解：如下圖，建立直角坐標系，設(shè)拋物線方程為y=ax2，則A（10，－2）在拋物線上，∴－2=ax2,a=－，方程即為y=－x2讓貨船沿正中央航行.∵船寬16m，而當x=8時，y=－·82=1.28m，∴船體在x=±8之間通過.由B（8,－1。28），∴B點離水面高度為6+（－1.28）=4.72（m)，而船體水面高度為5m，∴無法直接通過.又5－4.72=0.28（m）,0。28÷0。04=7，而150×7=1050(t），∴要用多裝貨物的方法也無法通過，只好等待水位下降。8。（文）（2004年春季北京，文18）2003年10月15日9時,“神舟"五號載人飛船發(fā)射升空，于9時9分50秒準確進入預定軌道，開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心F2為一個焦點的橢圓。選取坐標系如圖所示，橢圓中心在原點。近地點A距地面200km,遠地點B距地面350km.已知地球半徑R=6371km。（如下圖)（1）求飛船飛行的橢圓軌道的方程；(2）飛船繞地球飛行了十四圈后，于16日5時59分返回艙與推進艙分離，結(jié)束巡天飛行，飛船共巡天飛行了約6×105km,問飛船巡天飛行的平均速度是多少？（結(jié)果精確到1km/s)（注：km/s即千米/秒）解:(1）設(shè)橢圓的方程為+=1。由題設(shè)條件得a－c=｜OA|－|OF2|=｜F2A｜=6371+200=6571,a+c=｜OB｜+｜OF2|=|F2B|=6371+350=6721.解得a=6646，c=75，所以a2=44169316，b2=a2－c2=（a+c）（a－c)=6721×6571=44163691.∴所求橢圓的方程為+=1.(注：由≈6645.5768得橢圓的方程為+=1，也是正確的）（2）從15日9時到16日6時共21個小時，即21×3600s。減去開始的9分50s，即9×60+50=590（s），再減去最后多計的1分鐘，共減去590+60=650（s),得飛船巡天飛行的時間是21×3600－650=74950（s)，平均速度是≈8（km/s）.所以飛船巡天飛行的平均速度是8km/s.如下圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22m，要求通行車輛限高4.5m,隧道全長2。5km,隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。（1)若最大拱高h為6m，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？(2)若最大拱高h不小于6m,則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？（半個橢圓的面積公式為S=lh，柱體體積為底面積乘以高.本題結(jié)果均精確到0.1m)(1）解：如下圖建立直角坐標系，則點P(11，4。5），橢圓方程為+=1.將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得a=，此時l=2a=≈33.3.因此隧道的拱寬約為33.3m.（2)解法一:由橢圓方程+=1，得+=1.因為+≥，即ab≥99，且l=2a,h=b，所以S=lh=≥。當S取最小值時,有==，得a=11,b=。此時l=2a=22≈31。1，h=b≈6。4.故當拱高約為6。4m、拱寬約為31。1m時,土方工程量最小.解法二：由橢圓方程+=1，得+=1。于是b2=·。a2b2=(a2－121++242）≥（2+242)=81×121，即ab≥99，當S取最小值時,有a2－121=。得a=11，b=，以下同解法一.探究創(chuàng)新9.中國跳水運動員進行10m跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線為如下圖所示坐標系下經(jīng)過原點O的一條拋物線（圖中標出的數(shù)據(jù)為已知條件）。在跳某個規(guī)定動作時,正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面10m，入水處距池邊的距離為4m,同時，運動員在距水面高度為5m或5m以上時，必須完成規(guī)定的翻騰動作,并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤.（1）求這條拋物線的解析式。(2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時,距池邊的水平距離為3m,問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由。（3）要使此次跳水不至于失誤，該運動員按（1）中拋物線運行，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少？解：（1)在給定的直角坐標系下，設(shè)最高點為A，入水點為B，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c。由題意知，O、B兩點的坐標依次為（0，0）、（2，－10），且頂點A的縱坐標為，c=0,所以有=，所以有4a+2b+c=－10。a=－，解之得b=，解之得c=0或a=－，或b=－2,c=0.∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè),∴－＞0。又∵拋物線開口向下，∴a＜0?！郻＞0，后一組解舍去?！郺=－,b=，c=0。∴拋物線的解析式為y=－x2+x.(2)當運動員在空中距池邊的水平距離為3m時，即x=3－2=時,y=（－）×（）2+×=－，∴此時運動員距水面的高為10－=＜5。因此，此次跳水會出現(xiàn)失誤.（3）當運動員在x軸上方,即y＞0的區(qū)域內(nèi)完成動作并做好入水姿勢時，當然不會失誤，但很難做到?！喈攜＜0時，要使跳水不出現(xiàn)失誤，則應(yīng)有|y｜≤10－5，即－y≤5?！嘤衳2－x≤5，解得2－≤x≤2+.∴運動員此時距池邊的距離至多為2+2+=4+m.●思悟小結(jié)解決圓錐曲線應(yīng)用問題時，要善于抓住問題的實質(zhì)，通過建立數(shù)學模型，實現(xiàn)應(yīng)用性問題向數(shù)學問題的順利轉(zhuǎn)化；要注意認真分析數(shù)量間的關(guān)系,緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì),確定正確的問題解決途徑，靈活運用解析幾何的常用數(shù)學方法，求得最終完整的解答?！窠處熛螺d中心教學點睛解應(yīng)用題時涉及到兩個基本步驟，即將實際問題抽象成數(shù)學問題和解決這個數(shù)學問題,為此要注意以下三點：1.閱讀理解。數(shù)學應(yīng)用題給出的方式是材料的陳述，而不是客體的展示.也就是說，所考的應(yīng)用題通常已進行過初步加工，并通過語言文字、符號或圖形展現(xiàn)在考生面前，要求考生讀懂題意，理解實際背景,領(lǐng)悟其數(shù)學實質(zhì)。2.數(shù)學建模，即將應(yīng)用題的材料陳述轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題.這就要抽象、歸納其中的數(shù)量關(guān)系，并把這種關(guān)系用數(shù)學式子表示出來。3.數(shù)學求解。根據(jù)所建立數(shù)學關(guān)系的知識系統(tǒng),解出結(jié)果，從而得到實際問題的解答。本節(jié)就是通過圓錐曲線在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學生解決應(yīng)用問題的能力.拓展題例【例1】一摩托車手欲飛躍黃河,設(shè)計摩托車沿跑道飛出時前進方向與水平方向的仰角是12°，飛躍的水平距離是35m，為了安全，摩托車在最高點與落地點的垂直落差約10m，那么，騎手沿跑道飛出時的速度應(yīng)為多少？（單位是km/h，精確到個位)（參考數(shù)據(jù)：sin12°=0.2079，cos12°=0。9781，tan12°=0。2125）分析：本題的背景是物理中的運動學規(guī)律,摩托車離開跑道后的運動軌跡為拋物線，它是由水平方向的勻速直線運動與豎直方向上的上拋運動合成的，它們運行的位移都是時間t的函數(shù),故應(yīng)引入時間t,通過速度v的矢量分解來尋找解決問題的途徑.