高一數(shù)學(xué)人教A版必修4課件：2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

§2.2平面向量的線性運(yùn)算向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測(cè)查疑缺041.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量問題.明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.向量數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)

，這種運(yùn)算叫做向量的

，記作

，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝

.向量填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)(2)λa(a≠0)的方向特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝

或λ0＝

.數(shù)乘λa|λ||a|λ>0λ<0002.向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1)λ(μa)＝

.(2)(λ＋μ)a＝

.(3)λ(a＋b)＝

.特別地，有(－λ)a＝

＝

；λ(a－b)＝

.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb3.共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.4.向量的線性運(yùn)算：向量的

、

、

運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝

.b＝λa加減數(shù)乘λμ1a±λμ2b探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而時(shí)間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn).如力與加速度的關(guān)系F＝ma，位移與速度的關(guān)系s＝vt.這些公式都是實(shí)數(shù)與向量間的關(guān)系.師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請(qǐng)同學(xué)們作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并請(qǐng)同學(xué)們指出相加后，和的長(zhǎng)度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？生：

a＋a＋a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，其方向與a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的長(zhǎng)度是a長(zhǎng)度的3倍，其方向與a的方向相反.師：很好！本節(jié)課我們就來討論實(shí)數(shù)與向量的乘積問題.探究點(diǎn)一向量數(shù)乘運(yùn)算的物理背景思考1

一物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)向量v，那么在同方向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量用3v表示，試在直線l上畫出3v向量，看看向量3v與v的關(guān)系如何？答∴3v與v的方向相同，|3v|＝3|v|.思考2

已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能說明它們與向量a之間的關(guān)系嗎？答＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考3

一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作λa，該向量的長(zhǎng)度與方向與向量a有什么關(guān)系？答λa仍然是一個(gè)向量.(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；λ<0時(shí)，λa與a方向相反；λ＝0時(shí)，λa

＝0.方向任意.探究點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考1

根據(jù)實(shí)數(shù)與向量積的定義，可以得哪些數(shù)乘運(yùn)算律？答設(shè)λ，μ∈R，則有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2

向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義，既要證明等式兩邊的模相等，又要證明方向相同.你能根據(jù)這兩條證明其中的第①條運(yùn)算律嗎？答①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，則由向量數(shù)乘的定義有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同號(hào)，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號(hào)，則①式兩邊向量的方向都與a反向.因此，向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.例1

計(jì)算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).解(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.反思與感悟向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”、“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

計(jì)算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；解原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).解原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.思考1

請(qǐng)觀察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何關(guān)系？答因?yàn)閎＝－2a，所以a、b是平行向量.思考2

若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？為什么？

答可以.因?yàn)閍、b平行，它們的方向相同或相反.探究點(diǎn)三共線向量定理及應(yīng)用

例2

已知e1，e2是不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，則a與b是否共線？解若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，所以λ不存在，所以a與b不共線.反思與感悟(1)本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.(2)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線.跟蹤訓(xùn)練2

已知非零向量e1，e2不共線.(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.解∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，探究點(diǎn)四三點(diǎn)共線的判定令1－λ＝α，λ＝β，則觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點(diǎn)B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點(diǎn)共線.反思與感悟本題給出了證明三點(diǎn)共線的方法，利用向量共線定理，關(guān)鍵是找到唯一實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，先證向量共線，再證三點(diǎn)共線.＝10e1＋15e2.當(dāng)堂測(cè)·查疑缺12341.化簡(jiǎn)：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；解原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.12341234123412344.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e