高一數(shù)學人教A版必修4課件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

§3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺041.會從兩角和的正弦、余弦、正切公式導出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟練運用二倍角的公式進行簡單的恒等變換，并能靈活地將公式變形運用.明目標、知重點

2sinαcosα填要點·記疑點

cos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α

cosα1±sin2αsinα探要點·究所然情境導學在教材例4(2)中，若將題目改為cos20°cos70°＋sin20°sin70°，你還能利用誘導公式將70°換為20°嗎？當然能換！換出的結(jié)果是cos20°sin20°＋sin20°cos20°＝2sin20°cos20°.那么，利用我們已經(jīng)學習的公式，能否將2sin20°cos20°進一步化簡呢？顯然，利用我們已經(jīng)學習的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式已不能對2sin20°cos20°做進一步的化簡，這就使得我們有必要進一步擴展三角函數(shù)公式的“陣營”，以便于我們解決類似的問題.探究點一二倍角的正弦、余弦、正切公式的推導思考1

二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函數(shù)表示2α的三角函數(shù)的公式.根據(jù)前面學過的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.你能推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式嗎？試一試？答sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；思考2

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答∵cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.探究點二余弦的二倍角公式的變形形式及應(yīng)用

π練習2：函數(shù)f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是

.解析

f(x)＝cos2x＋4sinx＝1－2sin2x＋4sinx＝－2sin2x＋4sinx＋1＝－2(sinx－1)2＋3.當sinx＝1時，f(x)max＝3；當sinx＝－1時，f(x)min＝－5.[－5,3]思考因為3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推導出三倍角公式.請完成三倍角公式的證明：(1)sin3α＝3sinα－4sin3α；探究點三三倍角公式的推導答證明如下：sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos2α＋(1－2sin2α)sinα＝2sinα(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sinα＝2sinα－2sin3α＋sinα－2sin3α＝3sinα－4sin3α.(2)cos3α＝4cos3α－3cosα.答cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos2α－1)cosα－2sin2αcosα＝(2cos2α－1)cosα－2(1－cos2α)cosα＝2cos3α－cosα－2cosα＋2cos3α＝4cos3α－3cosα.于是sin4α＝2sin2αcos2α反思與感悟解答此類題目一方面要注意角的倍數(shù)關(guān)系；另一方面要注意函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化方法，同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導公式是常用方法.跟蹤訓練1

求值：(1)cos20°·cos40°·cos80°；＝tan4A＝右邊，反思與感悟利用倍角公式證明三角恒等式，關(guān)鍵是找到左、右兩邊式子中的倍角關(guān)系，先用倍角公式統(tǒng)一角，再用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等完成證明.＝tanθ.又tanB＝2，又tanB＝2，反思與感悟倍角公式、和角公式本質(zhì)上沒有區(qū)別，可用不同的思路去思考.解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系