2022-2023學(xué)年廣西柳州市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣西柳州市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，即點位于第二象限.故選：B2．已知向量，，若，則（

）A．－1 B．6 C．－6 D．2【答案】B【分析】利用向量線性運算的坐標表示，和向量共線的坐標表示，求解參數(shù).【詳解】向量，，則，由，得，解得.故選：B3．在中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】由已知及正弦定理可求，利用大邊對大角可知，從而得出結(jié)果．【詳解】∵，∴由正弦定理可得：，，，.故選：A．4．如圖所示，圓柱與圓錐的組合體，已知圓錐部分的高為，圓柱部分的高為，底面圓的半徑為，則該組合體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圓柱和圓錐的體積公式即可求解.【詳解】依題意可知，底面圓的半徑為圓柱部分的高為，圓錐部分的高為，所以圓柱部分的體積為，圓錐部分的體積為，所以該組合體的體積為.故選：C.5．在平行四邊形中，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以.故選：D6．如圖，在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則異面直線與所成的角大小等于（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】取的中點，連接，證明，可得即為異面直線與所成角的平面角，從而可得出答案.【詳解】解：取的中點，連接，因為，，，分別為，，，的中點，所以，所以，故即為異面直線與所成的角，在正方體中，由，，分別為，，的中點，可知，即為等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角大小等于.故選：C.7．設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，且，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，利用正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理求得角，再根據(jù)，利用余弦定理化角為邊求得邊，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】因為，由正弦定理得得，所以，又，所以，因為，所以，所以，由，得，所以，當且僅當時，取等號，則，所以的面積的最大值為.故選：B.8．如圖，為了測量河的寬度，在岸邊選定兩點A，B，望對岸的標記物C，測得米，則河的寬度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】先計算，然后使用正弦定理得到，最后可以得到和寬.【詳解】，，在中，，∴，河寬為米．故選：B二、多選題9．已知，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若與夾角為銳角，則【答案】AB【分析】選項A由向量垂直找出等式解出即可；選項B利用向量共線性質(zhì)即可；選項C利用向量模的坐標表示出來，然后解不等式即可：選項D由向量夾角及數(shù)量積關(guān)系即可解決問題.【詳解】對A：若，則，求得，故A正確；對B：若，則，求得，故B正確；對C：若，則，解得或，故C錯誤；對D：若與夾角為銳角，則且不同向，得且，故D錯誤.故選：AB10．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則，是異面直線D．若，，，則或，是異面直線【答案】AD【分析】利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷A；舉例說明判斷B，C；利用面面平行的定義判斷D作答.【詳解】對于A，因，，由線面垂直的性質(zhì)得，A正確；對于B，當時，存在過直線m的平面，有，此時必有，即滿足，，而，B不正確；對于C，因，是兩個不同的平面，則存在平面，有，即滿足，，而直線m，n共面，C不正確；對于D，因，則，沒有公共點，而，，因此直線m，n沒有公共點，即或m，n是異面直線，D正確.故選：AD11．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，則外接圓半徑為10C．若，則為等腰三角形D．若，，，則三角形面積【答案】ACD【分析】利用三角形性質(zhì)和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用余弦定理及三角形面積公式可知D正確.【詳解】因為，所以，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因為，所以，即，整理可得，即，因為為三角形的內(nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因為，，，由余弦定理得，解得，所以，D正確.故選：ACD.12．如圖，正方體的棱長為，且，分別為，的中點，則下列說法正確的是（

）

A．平面B．C．直線與平面所成角為D．點到平面的距離為【答案】ABD【分析】取棱中點，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；求出EF與平面ABCD所成的線面角判斷C；使用等積法求點到平面的距離.【詳解】在正方體中，取棱中點，連接，

因為M，N分別為AC，的中點，則，因此四邊形為平行四邊形，則平面，平面，所以平面，A正確；因為平面，平面，則，所以，B正確；顯然平面，則是與平面所成的角，又，有，由于，所以直線MN與平面ABCD所成的角為，C錯誤；等邊三角形的面積為，設(shè)到平面的距離為，由得，解得，D正確.故選：ABD三、填空題13．已知數(shù)（為虛數(shù)單位），且的共軛復(fù)數(shù)為，則__________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長的性質(zhì)求解【詳解】由得，所以，即，所以.故答案為：14．在中，角，，的對邊分別為，，，若的面積，，，則________________．【答案】【分析】先由已知解得c=4,再利用余弦定理求出a的值.【詳解】因為，，，所以，解得．在中，由余弦定理可得，所以．故答案為【點睛】本題主要考查余弦定理解解三角形，考查三角形的面積公式，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.15．已知四邊形是邊長為的正方形，延長至，使得，若點為線段上的動點，則的最小值為___________.【答案】【分析】建立直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】如圖建立平面直角坐標系,則,所以,則.所以當時,取最小值.故答案為：16．《九章算術(shù)》把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，把底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”現(xiàn)有如圖所示的“塹堵”，其中，當“陽馬”即四棱錐體積為時，則“塹堵”即三棱柱的外接球的體積為_________．【答案】【分析】利用棱錐的體積公式結(jié)合已知可以求出的值，這樣可以求出三棱柱的外接球的直徑，最后利用球表面積公式求解即可.【詳解】由已知得將三棱柱置于長方體中，如下圖所示，此時“塹堵”即三棱柱的外接球的直徑為，三棱柱的外接球的體積為.故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了多面體外接球問題，考查了球的表面積公式，對于解決多面體的外接球和內(nèi)切球的問題，關(guān)鍵在于求得球心的位置和球半徑．.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)．（1）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，求．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的概念得出，解方程即可求解.（2）將在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點代入直線方程即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，實部為，虛部為.（1）若為純虛數(shù)，則，解得.（2）由題意可得，解得.所以，所以.18．已知向量，且.(1)求向量，的夾角；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，求得，利用夾角公式，即可求解；（2）根據(jù)，即可求解.【詳解】（1）由，，可得，解得，則，又因為，所以.（2）由且，則.19．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，且，且.(1)求角；(2)若，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量垂直得數(shù)量積為0，由數(shù)量積坐標表示及正弦定理可得角；（2）根據(jù)余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）∵，∴，由正弦定理得，是三角形內(nèi)角，，∴，，是三角形內(nèi)角，∴；（2）由余弦定理得：，又，，，所以，解得，則的面積.20．如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，平面，，是的中點.(1)證明：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，從而得到線面平行；（2）作出輔助線，找到異面直線與所成角，利用余弦定理求出余弦值.【詳解】（1）證明：連接，交的于，連接，則為的中點，因為分別是，的中點，，平面，平面，平面；（2）由（1）得：，（或其補角）就是異面直線與所成的角，∵三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，∴，，，∴由余弦定理得：，故異面直線與所成角的余弦值為.21．設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知的面積為，且.(1)求角;(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式及三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)的特殊角即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式，利用向量的線性運算及向量的模公式，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及基本不等式即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理，得，即，所以，因為，所以即,因為，所以，所以，因為，所以.（2）由（1）知，，所以,解得.因為，所以,所以,所以，當且僅當且即時，等號成立.所以當時，的最小值為.22．如圖，在四棱錐中，，，，，，，.(1)證明：平面