第四章妙趣橫生的幾何變換

第四章妙趣橫生的幾何變換第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.1圖形的相等或合同如果兩個(gè)圖形F和F’的點(diǎn)之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且F上任意兩點(diǎn)所確定的線段與F’上與之對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)所確定的線段總相等，那么圖形F和圖形F’稱為相等或合同．顯然，圖形的相等具有反身性，對(duì)稱性和傳遞性．定理1

在相等的圖形中，與共線點(diǎn)對(duì)應(yīng)的仍是共線點(diǎn)．推論直線的相等圖形是直線．定理2

相等圖形的對(duì)應(yīng)角相等．第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一圖形的相等有兩種情況.在平面幾何中，兩個(gè)相等的圖形F和F’，對(duì)于F上不共線的任意三點(diǎn)A、B、C和F’上三個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A’、B’、C’，如果我們讓兩雙對(duì)應(yīng)點(diǎn)重合，則第三雙對(duì)應(yīng)點(diǎn)或者重合，或者對(duì)稱于重合直線

．第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一如果重合，兩圖形F和F’

稱為全(相)等，這時(shí)兩圖形的轉(zhuǎn)向相同,如圖

(1)．如果對(duì)稱于重合直線

，則稱F和F’

鏡照相等，這時(shí)兩圖形的轉(zhuǎn)向相反,如圖(2)．（1）（2）兩個(gè)全相等的平面圖形，只要有兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)疊合，便完全疊合了．兩個(gè)鏡照相等的平面圖形，若不將其中一個(gè)離開平面，就無(wú)法疊合．第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.2平移和旋轉(zhuǎn)變換4.2.1運(yùn)動(dòng)所謂運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)變換，把圖形F的點(diǎn)變換為圖形F’的點(diǎn)，使任意兩點(diǎn)間的距離(從而使角度)總保持不變，轉(zhuǎn)向也保持不變．兩個(gè)全等圖形可用運(yùn)動(dòng)而疊合．將一圖形變換為其自身使其每一點(diǎn)都不動(dòng)的運(yùn)動(dòng)稱為幺變換．記作I.設(shè)圖形F經(jīng)運(yùn)動(dòng)f變換為圖形F’

，則寫作f(F)＝F’

．因?yàn)閮蓚€(gè)圖形的運(yùn)動(dòng)是可逆的，所以稱F’到F的變換為f的逆(變換)，記作F＝f

-1(F’)．第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一如果一個(gè)平面圖形經(jīng)過(guò)f1與f2兩次一一變換，所得到的像與經(jīng)過(guò)一一變換f3所得到的像完全相同，我們就說(shuō)f3是f1與f2的積，記作f3＝f2·f1．

這里，值得注意的是運(yùn)動(dòng)的先后順序跟書寫的先后順序相反.經(jīng)過(guò)一個(gè)變換，沒有變動(dòng)位置的點(diǎn)和直線，稱為這個(gè)變換的二重點(diǎn)(或不變點(diǎn))和二重線(或不變直線)．第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.2.2平移變換設(shè)a是已知向量，T是平面上的變換．如果對(duì)于任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、P’，通過(guò)變換

T總有

，那么T叫做平移變換，記為

T(a),其中a的方向叫做平移方向，|a|叫做平移距離.由定義可知，平移變換由一向量或一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定.恒等變換可以看成是平移變換，其平移向量是零向量，即I=T(0).在T(a)變換下，點(diǎn)A變?yōu)锳’，圖形F變?yōu)镕’，可表示為第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一平移變換具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1

平移是運(yùn)動(dòng).性質(zhì)2

平移的逆是平移.性質(zhì)3

兩平移變換的乘積仍是一個(gè)平移.性質(zhì)4

在平移變換下，直線l變?yōu)橹本€l’，并且l∥l’或者l與l’重合．性質(zhì)5

非恒等變換的平移沒有不變點(diǎn)，但有無(wú)數(shù)條不變直線，它們都平行于平移方向.第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.2.3旋轉(zhuǎn)變換設(shè)O為平面上一定點(diǎn)，φ為一個(gè)有向角，R是平面上的變換．如果對(duì)于任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、P’，通過(guò)變換R總有OP=OP’，∠POP’=φ．那么變換R叫做以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，φ為旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換，記為R(O,φ).顯然，旋轉(zhuǎn)變換由旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角唯一確定.旋轉(zhuǎn)中心相同，旋轉(zhuǎn)角相差2π的整數(shù)倍的旋轉(zhuǎn)變換被認(rèn)為是相同的.旋轉(zhuǎn)角為零的旋轉(zhuǎn)變換是恒等變換.在旋轉(zhuǎn)變換R(O,φ)下，點(diǎn)A變?yōu)锳’，圖形F變?yōu)镕’，可表示為.第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一旋轉(zhuǎn)變換具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角φ≠180°時(shí)，直線與其對(duì)應(yīng)直線的交角等于φ．性質(zhì)2關(guān)于同一旋轉(zhuǎn)中心的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的乘積仍是一個(gè)旋轉(zhuǎn)．性質(zhì)3旋轉(zhuǎn)變換的逆變換仍是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換．性質(zhì)4非恒等的旋轉(zhuǎn)變換只有一個(gè)不變點(diǎn)——旋轉(zhuǎn)中心，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角φ≠180°時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換沒有不變直線．特別地，旋轉(zhuǎn)角為180°的旋轉(zhuǎn)變換稱為中心對(duì)稱變換或點(diǎn)反射，其旋轉(zhuǎn)中心叫做對(duì)稱中心．綜上可知，平面上的運(yùn)動(dòng)有平移、旋轉(zhuǎn)、以及它們的乘積．第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.2.4平移和旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用根據(jù)已知圖形的特點(diǎn)，對(duì)圖形中部分元素施行某種變換，構(gòu)成新圖形，使得在新圖形中容易發(fā)現(xiàn)已知元素與未知元素的關(guān)系.這里運(yùn)用變換思想，實(shí)際上就是啟發(fā)我們?nèi)绾翁碇幂o助線，以達(dá)到快捷解題的目的.第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1

P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，試證以PA,PB,PC,PD為邊，可以構(gòu)成一個(gè)凸四邊形，其面積恰為平行四邊形ABCD面積的二分之一．P’第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2有一條河，兩岸有A、B兩地，要設(shè)計(jì)一條道路，并垂直于河岸架一座橋.如何設(shè)計(jì)才能使A、B路線最短？EFA’第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3

點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)，若PA:PB:PC=1:2:3，求∠APB的度數(shù).第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例4在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足條件∠APB=

∠BPC=∠CPA

=120°．求證P是到三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)．注

本例稱為三角形的費(fèi)爾馬問(wèn)題．此題有多種證法，比較簡(jiǎn)潔的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換，將從一點(diǎn)出發(fā)的三線段適當(dāng)變位，使它們首尾相連，處于同一條直線（或折線）上，再進(jìn)行比較．第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.3軸反射或軸對(duì)稱變換4.3.1軸反射變換的性質(zhì)

l是平面上的定直線，S是平面上的變換，P，P’是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．如果線段PP’被直線l垂直平分，那么S叫做平面上的軸反射或軸對(duì)稱變換，記為S(l)，l叫做反射軸.軸反射變換由反射軸和一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定.在軸反射變換S(l)作用下，點(diǎn)A變?yōu)辄c(diǎn)A’，圖形F變?yōu)閳D形F’，可表示為:第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一軸反射變換具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1具有同一條反射軸的兩個(gè)軸反射的乘積是恒等變換．注具有不同反射軸的兩個(gè)軸反射的乘積不一定是軸反射變換．性質(zhì)2在軸反射S(l)變換下，反射軸l是不動(dòng)點(diǎn)的集合，垂直于反射軸的直線是不變直線．性質(zhì)3設(shè)P為反射軸l上一點(diǎn)，A、A’是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則∠APA’被l所平分.第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.3.2軸反射變換的運(yùn)用例1(蝴蝶定理)如圖，AB是⊙O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q.求證

MP=QM．第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2A、B在直線l的同側(cè)，定長(zhǎng)線段PQ在a上平行移動(dòng)，問(wèn)PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+PQ

+QB的長(zhǎng)最短？第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.4平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射之間的關(guān)系兩個(gè)平移變換的乘積仍然是平移變換，兩個(gè)同中心的旋轉(zhuǎn)變換的乘積仍然是旋轉(zhuǎn)變換，具有同一反射軸的兩個(gè)軸反射變換的乘積是恒等變換.問(wèn)：具有不同反射軸的兩個(gè)軸反射的乘積是什么變換？?jī)蓚€(gè)不同中心的旋轉(zhuǎn)變換的乘積是什么變換？第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理1

設(shè)

S(l1)、S(l2)是兩個(gè)軸反射變換．(1)如果l1∥l2，那么S(l2)·S(l1)是一個(gè)平移變換；(2)如果l1與l2相交，那么S(l2)·S(l1)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換．定理1的逆命題也成立．即定理2

任何一個(gè)平移變換可以表示為兩個(gè)反射軸平行的軸反射變換的乘積；任何一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換可以表示為兩個(gè)反射軸相交的軸反射變換的乘積．值得注意的是，由于第一條軸可以任意取，所以定理2中的分解方法并不唯一．第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理3對(duì)于兩個(gè)不同中心的旋轉(zhuǎn)變換R(O1，φ1)、R(O2，φ2)，如果φ1+φ2≠2kπ(k∈Z)，則R(O2，φ2）·R(O1，φ1）是個(gè)旋轉(zhuǎn)變換；如果

φ1+φ2=2kπ(k∈Z)，則R(O2，φ2)·R(O1，φ1)是個(gè)平移變換．推論及例題自學(xué)。第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.5相似變換4.5.1相似變換的性質(zhì)

一個(gè)平面圖形到自身的變換

，如果對(duì)于任意兩點(diǎn)A、B，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’、B’，總有

A’B’=kAB（k為正實(shí)數(shù)），那么，這個(gè)變換叫做相似變換，實(shí)數(shù)k叫做相似比．相似比為k的相似變換常記為H(k)．顯然，當(dāng)k＝1時(shí)，H(k)就是合同變換．在相似變換下，點(diǎn)

A變?yōu)辄c(diǎn)A’

，圖形F變?yōu)閳D形F’，可表示為此時(shí)，稱F、F’是相似圖形，記為F∽F’．第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一與合同圖形類似，如果在兩個(gè)相似圖形上，每?jī)蓚€(gè)對(duì)應(yīng)三角形沿周界環(huán)繞方向相同，則稱這兩個(gè)圖形真正相似；如果對(duì)應(yīng)三角形沿周界環(huán)繞方向相反，那么稱這兩個(gè)圖形鏡像相似．相似變換具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1相似變換的乘積仍然是相似變換．性質(zhì)2相似變換的逆變換仍然是相似變換．性質(zhì)3相似變換保持點(diǎn)與直線的結(jié)合關(guān)系，以及點(diǎn)在直線上的順序關(guān)系不變．第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一性質(zhì)4在相似變換下，三點(diǎn)

所確定的線段之比保持不變．相似變換的其它不變量還有：兩直線間夾角的大小，兩平面圖形的面積之比，等等．第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.5.2位似變換的性質(zhì)位似變換是最簡(jiǎn)單、最基本的相似變換．O是平面π上一定點(diǎn)，H是平面上的變換．若對(duì)于任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、P’，都有(k為非零實(shí)數(shù))，則稱H為位似變換，記為H(O,k)，O叫做位似中心，k叫做位似比．第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一由定義可知：(1)O，P，P’共線；(2)OP’=|k|·OP；(3)當(dāng)k＞0時(shí)，P，P’在點(diǎn)O同側(cè)(此時(shí)O叫做外位似中心)；當(dāng)k＜0時(shí)，P，P’在點(diǎn)O異側(cè)(此時(shí)O叫做內(nèi)位似中心)．顯然，位似變換H(O,1)就是恒等變換，而位似變換H(O,-1)是以點(diǎn)O為中心的中心對(duì)稱變換．第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一由于位似變換是相似變換，所以位似變換具有相似變換的所有性質(zhì).除此，位似變換還具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1具有相同位似中心的兩個(gè)位似變換的乘積，仍為位似變換．性質(zhì)2位似變換的逆變換仍為位似變換．性質(zhì)3在位似變換下，位似中心是不變點(diǎn)，過(guò)位似中心的直線是不變直線．第二十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一性質(zhì)4在位似變換下，對(duì)應(yīng)線段之比相等，對(duì)應(yīng)角相等且轉(zhuǎn)向相同，不過(guò)中心的對(duì)應(yīng)直線平行(當(dāng)k＞0時(shí)，