線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)本節(jié)主要內(nèi)容：線性二次型最優(yōu)控制器概述連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制線性二次型Gauss最優(yōu)控制第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，能夠解決很多簡(jiǎn)單、確定系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計(jì)問(wèn)題。但是對(duì)于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。這時(shí)就需要有在狀態(tài)空間模型下建立的最優(yōu)控制策略。

最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可提出各種不用的性能指標(biāo)。最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指標(biāo)為最小。第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一一、線性二次型最優(yōu)控制概述

線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于狀態(tài)空間技術(shù)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制器。系統(tǒng)模型是用狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問(wèn)題就是在線性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。線性二次型最優(yōu)控制一般包括兩個(gè)方面：線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題（LQ問(wèn)題），具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型Gauss最優(yōu)控制問(wèn)題，一般是針對(duì)具體系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲的系統(tǒng)，用卡爾曼濾波器觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)。第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一二、連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制1.連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理

假設(shè)線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：要尋求控制向量使得二次型目標(biāo)函數(shù)為最小。式中，Q為半正定是對(duì)稱常數(shù)矩陣，R為正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣，Q、R分別為X和U的加權(quán)矩陣。

第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出最優(yōu)控制律：式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡夫（Riccati）代數(shù)方程

因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解黎卡夫（Riccati）方程的問(wèn)題，并求出反饋增益矩陣K。

第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù)

在MATLAB工具箱中，提供了求解連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函數(shù)：lqr()、lqr2()、lqry()。其調(diào)用格式為：第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中，A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；R為給定的正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；N代表更一般化性能指標(biāo)中交叉乘積項(xiàng)的加權(quán)矩陣；K為最優(yōu)反饋增益矩陣；S為對(duì)應(yīng)Riccati方程的唯一正定解P（若矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P存在）；E為矩陣A-BK的特征值。第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

其中，lqry()函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即其性能指標(biāo)為：這種二次型輸出反饋控制叫做次優(yōu)控制。此外，上述問(wèn)題要有解，必須滿足三個(gè)條件：（1）（A，B）是穩(wěn)定的；（2）R＞0且Q-NR-1NT≥0;

（3）（Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虛軸上不是非能觀模式。當(dāng)上述條件不滿足時(shí)，則二次型最優(yōu)控制無(wú)解，函數(shù)會(huì)顯示警告信號(hào)。第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)實(shí)例【例8.7】設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：(1)采用輸入反饋，系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：

取，R=1第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)采用輸出反饋，系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：，取Q=1,R=1

試設(shè)計(jì)LQ最優(yōu)控制器，計(jì)算最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣，并對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行單位階躍的仿真。

【解】

（1）我們可以用MATLAB函數(shù)lqr()來(lái)求解LQ最優(yōu)控制器，程序清單如下：第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6];B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0;Q=diag([1,1,1]);R=1;K=lqr(A,B,Q,R)k1=K(1);Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;Step(Ac,Bc,Cc,Dc)程序運(yùn)行結(jié)果如下：

K=0.41420.74860.2046第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一同時(shí)得到閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如圖1-1所示。圖1-1閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

由圖1-1可知，閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線略微超調(diào)后立即單調(diào)衰減，仿真曲線是很理想的，反映了最優(yōu)控制的結(jié)果。（2）我們可以用MATLAB函數(shù)lqry()來(lái)求解LQ最優(yōu)控制器，給出程序清單如下：

A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6];B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0;Q=1;R=1;K=lqry(A,B,C,D,Q,R)k1=K(1);Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;Step(Ac,Bc,Cc,Dc)第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一程序運(yùn)行結(jié)果如下：

K=0.41420.61040.1009同時(shí)得到閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如圖1-2所示。圖1-2閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線由圖1-1和圖1-2知，經(jīng)最優(yōu)輸出反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線與經(jīng)最優(yōu)狀態(tài)反饋后的階躍響應(yīng)曲線很接近。第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一三、離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制下面對(duì)離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制進(jìn)行詳細(xì)介紹。1、離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理假設(shè)完全可控離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：要尋求控制向量使得二次型目標(biāo)函數(shù)為最小。第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一式中，Q為半正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；R為正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；Q、R分別為X和U的加權(quán)矩陣。根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出最優(yōu)控制律：

式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡夫（Riccati）代數(shù)方程因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解黎卡夫（Riccati）方程的問(wèn)題，并求出反饋增益矩陣K。第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù)

在MATLAB工具箱中，提供了求解離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函數(shù)dlqr()與dlqry()。其調(diào)用格式為：其中，A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；R為給定的正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；N代表更一般化性能指標(biāo)中交叉乘積項(xiàng)的加權(quán)矩陣；K為最優(yōu)反饋增益矩陣；S為對(duì)應(yīng)Riccati方程的唯一正定解P（若矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P存在）；E為矩陣A-BK的特征值。第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

其中，dlqr()函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即，則其性能指標(biāo)為：

3.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)實(shí)例

【例2】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程

試計(jì)算穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反饋增益矩陣，并給出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。

第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一【解】設(shè)定性能指標(biāo)為，取,R=1。用MATLAB函數(shù)dlqr()來(lái)求解最優(yōu)控制器，給出程序清單如下：

%求解最優(yōu)控制器

a=2;b=1;c=1;d=0;Q=[1000,0;0,1];R=1;A=[a,0;-c*a,1];B=[b;-c*b];Kx=dlqr(A,B,Q,R)k1=-Kx(2);k2=Kx(1);axc=[(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1)];bxc=[0;1];cxc=[1,0];dxc=0;dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一程序運(yùn)行后得到系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣KX為：Kx=1.9981-0.0310以及閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，如圖1-3所示。圖1-3閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一四、線性二次型Gauss最優(yōu)控制

考慮系統(tǒng)隨機(jī)輸入噪聲與隨機(jī)量測(cè)噪聲的線性二次型的最優(yōu)控制叫做線性二次Gauss(LQG)最優(yōu)控制。這是一種輸出反饋控制，對(duì)解決線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題更具有實(shí)用性。

1.LQG最優(yōu)控制原理

假設(shè)對(duì)象模型的狀態(tài)方程表示為：式中，ω(t)和ν(t)為白噪聲信號(hào)，ω(t)為系統(tǒng)干擾噪聲，ν(t)為傳感器帶來(lái)的量測(cè)噪聲。假設(shè)這些信號(hào)為零均值的Gauss過(guò)程，它們的協(xié)方差矩陣為：式中，E〔x〕為向量x的均值。E〔xxT〕為零均值的Gauss信號(hào)x的協(xié)方差。進(jìn)一步假設(shè)ω(t)和ν(t)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，使得E〔ω(t)νT(t)〕=0。定義最優(yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)為：式中，Q為給定的半正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣，R為給定的正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣。第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

根據(jù)LQG問(wèn)題的分離原理，典型的線性二次型Gauss最優(yōu)控制的解可以分解為下面兩個(gè)問(wèn)題：LQ最優(yōu)狀態(tài)反饋控制問(wèn)題；帶有擾動(dòng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。設(shè)計(jì)LQG控制器的一般步驟如下。（1）根據(jù)二次型的性能指標(biāo)J，尋求最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣K。（2）設(shè)計(jì)一個(gè)卡爾曼濾波器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)。（3）構(gòu)建LQG控制器。下面介紹Kalman濾波器和LQG控制器設(shè)計(jì)的MATLAB實(shí)現(xiàn)。2.Kalman濾波器在實(shí)際應(yīng)用中，若系統(tǒng)存在隨機(jī)擾動(dòng)，通常系統(tǒng)的狀態(tài)需要由狀態(tài)方程Kalman濾波器的形式給出。Kalman濾波器就是最優(yōu)觀測(cè)器，能夠抑制或?yàn)V掉噪聲對(duì)系統(tǒng)的干擾和影響。利用Kalman濾波器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)控制是非常有效的。第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

在MATLAB的工具箱中提供了Kalman()函數(shù)來(lái)求解系統(tǒng)的Kalman濾波器。其調(diào)用格式為：對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)sys，噪聲協(xié)方差Q，R，N函數(shù)返回一個(gè)Kalman濾波器的狀態(tài)空間模型kest,濾波器反饋增益為L(zhǎng)，狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差為P。用MATLAB構(gòu)建的Kalman狀態(tài)觀測(cè)器模型為：【例3】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知，試設(shè)計(jì)系統(tǒng)Kalman濾波器?！窘狻繛橛?jì)算系統(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣與估計(jì)誤差的協(xié)方差，給出一下程序：第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一%Kalman濾波器

A=[-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2];B=[6,1,1]';C=[0,0,1];D=0;S=ss(A,B,C,D);Q=0.001;R=0.1;[kest,L,P]=kalman(S,Q,R);L,P

運(yùn)行程序，得到系統(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣L與估計(jì)誤差的協(xié)方差P為：

L=1.06411.15662