第三章離散傅里葉變換DFT總結(jié)

6DFT的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題7

FFT典型用法5DFT的性質(zhì)4DFT--有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示2周期序列的DFS3DFS的性質(zhì)1傅氏變換的幾種可能形式點(diǎn)擊進(jìn)入目當(dāng)前第1頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)二.DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理橋梁

DFT要解決兩個(gè)問(wèn)題： 一是離散與量化， 二是快速運(yùn)算。信號(hào)處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化當(dāng)前第2頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率—傅里葉變換連續(xù)時(shí)間、離散頻率—傅里葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換離散時(shí)間、離散頻率—離散傅里葉變換傅里葉變換的幾種可能形式時(shí)域頻域傅里葉變換當(dāng)前第3頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)一、連續(xù)時(shí)間，連續(xù)頻率——傅里葉變換(FT)

這是連續(xù)時(shí)間，非周期信號(hào)x(t)的傅里葉變換。它得到連續(xù)的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j)。時(shí)域連續(xù)頻域非周期時(shí)域非周期頻域連續(xù)當(dāng)前第4頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)二、連續(xù)時(shí)間，離散頻率——傅里葉級(jí)數(shù)(FS)

這是連續(xù)時(shí)間，周期信號(hào)x(t)的傅立葉變換。它得到離散的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j)。例如信號(hào)x(t)=sin100t只有一個(gè)頻率分量。X(jK0)是頻譜相鄰兩譜線間角頻率的間隔，K為諧波序號(hào)。時(shí)域周期頻域離散當(dāng)前第5頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)三、離散時(shí)間，連續(xù)頻率——序列的傅里葉變換(DTFT)

時(shí)域離散，將導(dǎo)致頻域周期化，且這個(gè)周期是s。時(shí)域離散頻域周期當(dāng)前第6頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)四、離散時(shí)間，離散頻率——離散傅里葉變換(DFT)

上面所講的三種傅里葉變換至少在一個(gè)域內(nèi)是連續(xù)的，不適于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。最好是時(shí)域和頻域均為離散的，才方便用計(jì)算機(jī)運(yùn)算。思路：從序列的傅里葉變換出發(fā)，若時(shí)域?yàn)殡x散的序列，則頻

域是連續(xù)周期的；若此時(shí)我們對(duì)頻域的連續(xù)信號(hào)抽樣，

人為的使其離散化，這樣，頻域的離散又導(dǎo)致時(shí)域的周

期化。于是有：時(shí)域離散、周期頻域周期、離散當(dāng)前第7頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)各種形式的傅里葉變換時(shí)域函數(shù)頻域函數(shù)變換類型傅里葉變換(FT)傅里葉級(jí)數(shù)(FS)序列傅里葉變換(DTFT)離散傅里葉變換(DFT)連續(xù)和非周期連續(xù)和周期非周期和連續(xù)非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散當(dāng)前第8頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)卷積特性時(shí)域卷積定理頻域卷積定理當(dāng)前第9頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)1.在一個(gè)域的相乘(卷積)等于另一個(gè)域的卷積(相乘)2.與脈沖函數(shù)的卷積，在每個(gè)脈沖的位置上將產(chǎn)生一個(gè)波形的鏡像。當(dāng)前第10頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)FS連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)問(wèn)題：計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理，所以需要將原模擬信號(hào)在時(shí)域離散化，即辦法：時(shí)域采樣當(dāng)前第11頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)問(wèn)題：怎樣時(shí)域采樣呢？離散和周期周期和離散DFT辦法：時(shí)域相乘，頻域卷積當(dāng)前第12頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)DTFT時(shí)域相乘頻域卷積離散和非周期周期和連續(xù)問(wèn)題：依然不能被計(jì)算機(jī)處理辦法：頻率采樣當(dāng)前第13頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)離散和周期周期和離散IDFT問(wèn)題：怎樣頻域采樣呢？辦法：頻域相乘，時(shí)域卷積當(dāng)前第14頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)DFT時(shí)域卷積頻域相乘離散和周期周期和離散IDFT計(jì)算機(jī)能夠處理問(wèn)題解決！當(dāng)前第15頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)問(wèn)題：(9)和(5)不同呢？Answer：周期延拓當(dāng)前第16頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)旋轉(zhuǎn)因子WN的性質(zhì)1.周期性2.共軛對(duì)稱性3.正交性當(dāng)前第17頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)例1設(shè)為周期脈沖串（3-8）因?yàn)閷?duì)于0≤n≤N-1， ,所以利用式（2-6）求出 的DFS系數(shù)為（3-9）在這種情況下，對(duì)于所有的k值均相同。于是，將式（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式（3-10）當(dāng)前第18頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

例2已知周期序列

如圖3-2所示，其周期N=10,試求解它的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。圖3-2例3-2的周期序列（周期N=10）當(dāng)前第19頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)由式（3-6）（3-11）這一有限求和有閉合形式（3-12）圖3-3圖3-2所示序列的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的幅值當(dāng)前第20頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）DFT的定義上一節(jié)我們討論的周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，因而它和有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長(zhǎng)序列之間的關(guān)系，由周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示即離散傅里葉變換（DFT）。設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上有值，其他n時(shí)，x(n)=0。即當(dāng)前第21頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期，而把看成x(n)的以N為周期的周期延拓，即表示成:這個(gè)關(guān)系可以用圖2-8來(lái)表明。通常把的第一個(gè)周期n=0到n=N-1定義為“主值區(qū)間”，故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱 為x(n)的周期延拓。對(duì)不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫成當(dāng)前第22頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)當(dāng)前第23頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)用((n))N表示（nmodN），其數(shù)學(xué)上就是表示“n對(duì)N取余數(shù)”，或稱“n對(duì)N取模值”。令0≤n1≤N-1,m為整數(shù)則n1為n對(duì)N的余數(shù)。例如，是周期為N=9的序列，則有：當(dāng)前第24頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)利用前面的矩形序列RN(n)，式可寫成同理，頻域的周期序列也可看成是對(duì)有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓，而有限長(zhǎng)序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即:我們?cè)倏幢磉_(dá)DFS與IDFS：當(dāng)前第25頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)這兩個(gè)公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義:0≤k≤N-10≤n≤N-1當(dāng)前第26頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

x(n)和X(k)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換對(duì)。我們稱上面第一式為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT),稱式第二式為X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個(gè)序列，就能唯一地確定另一個(gè)序列。這是因?yàn)閤(n)與X(k)都是點(diǎn)數(shù)為N的序列，都有N個(gè)獨(dú)立值（可以是復(fù)數(shù)），所以信息當(dāng)然等量。此外，值得強(qiáng)調(diào)得是，在使用離散傅里葉變換時(shí)，必須注意所處理的有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示的。換句話說(shuō)，離散傅里葉變換隱含著周期性。當(dāng)前第27頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

例1已知序列x(n)=δ(n)，求它的N點(diǎn)DFT。

解單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（2-30）得到：

k=0,1,…,N-1

δ(n)的X(k)如圖2-9。這是一個(gè)很特殊的例子，它表明對(duì)序列δ(n)來(lái)說(shuō)，不論對(duì)它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列。當(dāng)前第28頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)圖2-9序列δ(n)及其離散傅里葉變換當(dāng)前第29頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

例2已知x(n)=cos(nπ/6)是一個(gè)長(zhǎng)度N=12的有限長(zhǎng)序列，求它的N點(diǎn)DFT。

解由DFT的定義式（2-30）利用復(fù)正弦序列的正交特性，再考慮到k的取值區(qū)間，可得當(dāng)前第30頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)圖2-10有限長(zhǎng)序列及其DFT當(dāng)前第31頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)例：求序列：x(n)=(n)+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)的4點(diǎn)DFT。當(dāng)前第32頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)例2-8一個(gè)有限長(zhǎng)序列為（1）計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。當(dāng)前第33頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

解（1）由式（2-30）可求得x(n)的10點(diǎn)DFT（2）X(k)乘以一個(gè)WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當(dāng)于是x(n)圓周移位m點(diǎn)。本題中m=-2,x(n)向左圓周移位了2點(diǎn)，就有y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)當(dāng)前第34頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

（1）混迭對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣

采樣序列的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，周期為fs，如采樣率過(guò)低，不滿足采樣定理，fs<2fh，則導(dǎo)致頻譜混迭，使一個(gè)周期內(nèi)的譜對(duì)原信號(hào)譜產(chǎn)生失真，無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)，進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。DFT實(shí)際問(wèn)題當(dāng)前第35頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

（2）

泄漏處理實(shí)際信號(hào)序列x（n）時(shí)，一般總要將它截?cái)酁橐挥邢揲L(zhǎng)序列，長(zhǎng)為N點(diǎn)，相當(dāng)于乘以一個(gè)矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無(wú)窮大時(shí)，就是一個(gè)沖擊函數(shù)。我們知道，時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實(shí)際是原信號(hào)頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸到無(wú)窮。當(dāng)窗口無(wú)窮大時(shí)，與沖擊函數(shù)的卷積才是其本身，這時(shí)無(wú)畸變，否則就有畸變。當(dāng)前第36頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

例如，信號(hào)為，是一單線譜，但當(dāng)加窗后，線譜與抽樣函數(shù)進(jìn)行卷積，原來(lái)在Ω0處的一根譜線變成了以Ω0為中心的，形狀為抽樣函數(shù)的譜線序列，原來(lái)在一個(gè)周期（Ωs）內(nèi)只有一個(gè)頻率上有非零值，而現(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)幾乎所有頻率上都有非零值，即的頻率成份從Ω0處“泄漏”到其它頻率處去了。

考慮各采樣頻率周期間頻譜“泄漏”后的互相串漏，卷積后還有頻譜混迭現(xiàn)象產(chǎn)生。當(dāng)前第37頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)當(dāng)前第38頁(yè)\共有40頁(yè)\編于星期五\21點(diǎn)

（3）柵欄效應(yīng)N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間[0，2π]上對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn)X（k），且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過(guò)縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮擋，所以稱之為柵欄效應(yīng)。減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補(bǔ)零，使譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來(lái)漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測(cè)出來(lái)。當(dāng)前第39頁(yè)