數(shù)學(xué)建模無約束優(yōu)化

優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可行解（只滿足(2)）與最優(yōu)解（滿足(1),(2)）無約束優(yōu)化（只有(1)）與約束優(yōu)化（(1),(2)）實際問題一般總有約束，何時可用無約束優(yōu)化處理？第五章無約束優(yōu)化模型

現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題

靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型5.1存貯模型問題已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費(fèi)900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計127500元。平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——每天總費(fèi)用的平均值周期短，產(chǎn)量小周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費(fèi)用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答問題經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費(fèi)c1,每天每件貯存費(fèi)c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即到貨。允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費(fèi)c3,缺貨需補(bǔ)足T一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)5.2森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊員數(shù)量。問題分析問題記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).

損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小

關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）2）t1tt2,降為-x

(為隊員的平均滅火速度）4）每個隊員的單位時間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,為已知參數(shù)模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計,

c2x

c1,t1,

x

c3,x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個隊員單位時間滅火費(fèi),c3~每個隊員一次性費(fèi)用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊員平均滅火速度.為什么?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量x無約束優(yōu)化問題的基本算法

1．最速下降法（共軛梯度法）2．牛頓法3．?dāng)M牛頓法Matlab優(yōu)化工具箱簡介1.MATLAB求解優(yōu)化問題的主要函數(shù)2.優(yōu)化函數(shù)的輸入變量

使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其它優(yōu)化函數(shù)時,輸入變量見下表:3.優(yōu)化函數(shù)的輸出變量下表:4．控制參數(shù)options的設(shè)置(3)MaxIter:允許進(jìn)行迭代的最大次數(shù),取值為正整數(shù).Options中常用的幾個參數(shù)的名稱、含義、取值如下:(1) Display:顯示水平.取值為’off’時,不顯示輸出;取值為’iter’時,顯示每次迭代的信息;取值為’final’時,顯示最終結(jié)果.默認(rèn)值為’final’.(2) MaxFunEvals:允許進(jìn)行函數(shù)評價的最大次數(shù),取值為正整數(shù).例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8)該語句創(chuàng)建一個稱為opts的優(yōu)化選項結(jié)構(gòu),其中顯示參數(shù)設(shè)為’iter’,TolFun參數(shù)設(shè)為1e-8.控制參數(shù)options可以通過函數(shù)optimset創(chuàng)建或修改。命令的格式如下：(1)options=optimset(‘optimfun’)創(chuàng)建一個含有所有參數(shù)名,并與優(yōu)化函數(shù)optimfun相關(guān)的默認(rèn)值的選項結(jié)構(gòu)options.（2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...)創(chuàng)建一個名稱為options的優(yōu)化選項參數(shù),其中指定的參數(shù)具有指定值,所有未指定的參數(shù)取默認(rèn)值.(3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’,value2,...)創(chuàng)建名稱為oldops的參數(shù)的拷貝,用指定的參數(shù)值修改oldops中相應(yīng)的參數(shù).用Matlab解無約束優(yōu)化問題其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。常用格式如下：（1）x=fminbnd(fun,x1,x2)（2）x=fminbnd(fun,x1,x2，options)（3）[x，fval]=fminbnd（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminbnd（...）（5）[x，fval，exitflag，output]=fminbnd（...）ToMatlab(wliti1)主程序為wliti1.m:f='2*exp(-x).*sin(x)';fplot(f,[0,8]);%作圖語句[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)f1='-2*exp(-x).*sin(x)';[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)例2對邊長為3米的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解先編寫M文件fun0.m如下:functionf=fun0(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序為wliti2.m:[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);xmax=xfmax=-fval運(yùn)算結(jié)果為:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5米時水槽的容積最大,最大容積為2立方米.ToMatlab(wliti2)命令格式為:（1）x=fminunc（fun,X0）；或x=fminsearch（fun,X0）（2）x=fminunc（fun,X0，options）；或x=fminsearch（fun,X0，options）（3）[x，fval]=fminunc（...）；或[x，fval]=fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag]=fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag，output]=fminsearch（...）2、多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)型為：minF(X)[3]fminunc為中型優(yōu)化算法的步長一維搜索提供了兩種算法，由options中參數(shù)LineSearchType控制：LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多項式插值；LineSearchType=’cubicpoly’，三次多項式插使用fminunc和fminsearch可能會得到局部最優(yōu)解.說明:fminsearch是用單純形法尋優(yōu).fminunc的算法見以下幾點說明：[1]fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由options中的參數(shù)LargeScale控制：LargeScale=’on’(默認(rèn)值),使用大型算法LargeScale=’off’(默認(rèn)值),使用中型算法[2]fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由options中的參數(shù)HessUpdate控制：HessUpdate=’bfgs’（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，擬牛頓法的DFP公式；HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法例3minf(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)ToMatlab(wliti3)1、編寫M-文件fun1.m:functionf=fun1(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

2、輸入M文件wliti3.m如下:x0=[-1,1];x=fminunc(‘fun1’,x0);y=fun1(x)

3、運(yùn)行結(jié)果:x=0.5000-1.0000y=1.3029e-10例4

產(chǎn)銷量的最佳安排某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個牌號，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大.所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量.基本假設(shè)1．價格與銷量成線性關(guān)系2．成本與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系

模型建立

若根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λ2=0.02,c2=30,則問題轉(zhuǎn)化為無約束