線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法

線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一Nyquist判據(jù)的延伸表述◆Nyquist判據(jù)1：若系統(tǒng)的開環(huán)函數(shù)G(s)有P個極點(diǎn)在右半S平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特曲線逆時針包圍G平面的(-1,j0)點(diǎn)P周。注釋1：F(s)=1+G(s)，兩映射曲線是平移單位1的關(guān)系，即F平面的坐標(biāo)原點(diǎn)對應(yīng)G平面的(-1,j0)點(diǎn)?！鬘yquist判據(jù)2：若開環(huán)系統(tǒng)G(s)是穩(wěn)定的，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍G平面的(-1,j0)點(diǎn)。注釋2：Z=0，P=0，則N=Z-P=0。第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/52Nyquist周線與Nyquist曲線的關(guān)系虛軸上無開環(huán)函數(shù)G(s)極點(diǎn)的情況原像點(diǎn)為S平面的Nyquist周線像點(diǎn)(映射點(diǎn))為G平面的Nyquist曲線S平面G平面第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/53例5.10：分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析如下開環(huán)傳函的閉環(huán)穩(wěn)定性[解]：首先繪制G(s)的奈奎斯特曲線（1）G(jω)的起點(diǎn)和終點(diǎn)：（2）G(jω)與負(fù)實軸的交點(diǎn)第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/54（續(xù)）（3）按對稱于實軸的方式補(bǔ)充繪制G(-jω)曲線。另外，S平面奈氏周線D2段映射到G平面坐標(biāo)原點(diǎn)。（4）如果，此時G(s)的奈氏曲線順時針包圍G平面上的(-1,j0)點(diǎn)，于是閉環(huán)系統(tǒng)有Z=N+P=2個極點(diǎn)在右半S平面，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（5）如果，此時G(s)的奈氏曲線不包圍G平面(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/55例5.11：分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析如下開環(huán)傳函G(s)的閉環(huán)穩(wěn)定性[解]：繪制G(s)的奈奎斯特曲線（1）G(jω)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為G(jω)軌跡在G平面第三象限，因為（2）若K>1，奈奎斯特曲線逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)一周，有N=-1，于是Z=N+P=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）若K<1，奈氏曲線不包圍(-1,j0)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/56虛軸上含有G(s)極點(diǎn)的情況考慮v(≠0)型系統(tǒng)的情況奈奎斯特周線應(yīng)該避開使G(s)奇異的點(diǎn)(即S平面坐標(biāo)原點(diǎn))。結(jié)論：D4段為繞坐標(biāo)原點(diǎn)無窮小半徑逆時針半周，則G(j0)為繞坐標(biāo)原點(diǎn)無窮大半徑順時針v個半周。第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/57例5.12：1型系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，分析其閉環(huán)穩(wěn)定性[解]：繪制G(s)的奈奎斯特曲線（1）G(jω)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為（2）求取G(jω)與負(fù)實軸的交點(diǎn)繪制G(jω)奈氏曲線第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/58（續(xù)）（3）按對稱于實軸方式補(bǔ)畫G(-jω)的軌跡。并且S平面D2段映射為G平面坐標(biāo)原點(diǎn)。（4）對1型系統(tǒng)，奈氏周線D4段映射為無窮大半徑順時針半周。（5）如果，此時奈氏曲線不包圍G平面上的(-1,j0)點(diǎn)，故此時閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（6）如果，此時奈氏曲線順時針包圍G平面(-1,j0)點(diǎn)兩周，于是Z=N+P=2，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/59例5.13：2型系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)為[解]：繪制G(s)的奈奎斯特曲線（1）G(jω)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為（2）求取G(jω)與負(fù)實軸的交點(diǎn)繪制G(jω)奈氏曲線無交點(diǎn)時第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/510（續(xù)）（3）按對稱于實軸繪G(-jω)，且奈氏周線D2段映射為G平面坐標(biāo)原點(diǎn)。（4）補(bǔ)充奈氏周線D4段的映射曲線G(j0)，即從ω=0-到ω=0+時順時針一周。（5）時，奈氏曲線不包圍G平面(-1,j0)點(diǎn)。（6）時呢？（7）無交點(diǎn)時呢？第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/511相對穩(wěn)定性的概念請回顧系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定與系統(tǒng)特征根的關(guān)系?！舢?dāng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，必然存在虛數(shù)根，即有所以，稱G平面上(-1,j0)點(diǎn)為臨界穩(wěn)定點(diǎn)?！艏僭O(shè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在不改變系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)情況下，如果因系統(tǒng)參數(shù)變化而使開環(huán)奈氏曲線穿越負(fù)實軸之點(diǎn)發(fā)生跨越(-1,j0)點(diǎn)的變化，那么，系統(tǒng)將變?yōu)椴环€(wěn)定?！羧绻到y(tǒng)開環(huán)奈氏曲線距離(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則需“更大”參數(shù)變化才能改變奈氏曲線對臨界點(diǎn)的包圍狀況，于是，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/512穩(wěn)定程度度量指標(biāo)-相位裕度定義：開環(huán)頻率特性G(jω)的幅值等于1（或者0分貝）時的頻率ωc稱為幅值穿越頻率，此時有定義：開環(huán)頻率特性在幅穿頻率ωc處相角與-180°之差稱為相位裕度，用Pm表示，即注釋：保持開環(huán)頻率特性的幅值不變，僅僅改變其相角，則當(dāng)相角滯后Pm時，開環(huán)頻率特性在幅穿頻率處的幅值為1且相角為-180°，或者即奈氏曲線穿越(-1,j0)，于是，閉環(huán)系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定。第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/513相位裕度圖示◆系統(tǒng)相位裕度為正，表明系統(tǒng)進(jìn)一步滯后的相角在Pm內(nèi)時，系統(tǒng)仍然能夠保持穩(wěn)定；系統(tǒng)相位裕度為負(fù)，表明至少需要超前-Pm相角才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/514穩(wěn)定程度度量指標(biāo)-幅值裕度定義：對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)頻率特性G(jω)的相角等于-180°時的頻率ωg稱為相角穿越頻率定義：開環(huán)頻率特性在相穿頻率ωg處幅值的倒數(shù)稱為絕對幅值裕度，或者該頻率處幅值分貝數(shù)與0分貝之差稱為相對幅值裕度，用Gm(dB)表示，即注釋：幅值裕度表明，保持開環(huán)相角特性不變時，閉環(huán)系統(tǒng)可以容忍多大的增益變化還能保持其原來的屬性。第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/515幅值裕度圖示◆系統(tǒng)幅值裕度為正，表明系統(tǒng)的開環(huán)增益放大在Gm(dB)值以內(nèi)時，系統(tǒng)仍然能夠保持穩(wěn)定；系統(tǒng)幅值裕度為負(fù)，表明至少需要衰減-Gm(dB)分貝才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/516例5.14：計算幅值裕度和相位裕度已知如下二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，計算幅相裕度[解]：（1）計算幅穿頻率和相穿頻率（2）計算幅值裕度和相位裕度第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/517例5.15：計算幅值裕度和相位裕度已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，計算幅相裕度[解]：使用MATLAB語句運(yùn)算 Gs=tf(0.2,conv([10],[132])) margin(Gs)第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/518靈敏度和余靈敏度函數(shù)定義：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，則系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)S(s)和余靈敏度函數(shù)T(s)分別為第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/519最大靈敏度希望指令、擾動和噪聲對偏差的影響小，就是要求靈敏度函數(shù)小，或者系統(tǒng)偏差響應(yīng)對這些輸入不靈敏。S(jω)幅值小的一種度量是其最大值有多大：注釋：最大靈敏度表示開環(huán)奈氏曲線與臨界穩(wěn)定點(diǎn)的最短距離。顯然，系統(tǒng)的最大靈敏度越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度就越高。第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/520例5.16：最大靈敏度值的計算計算如下開環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度：[解]：第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/521最大余靈敏度◆余靈敏度函數(shù)既反映跟蹤指令行為，也反映抑制噪聲能力，二者不可兼得。定義：最大余靈敏度為余靈敏度函數(shù)頻率響應(yīng)的最大值，即第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/522最大余靈敏度值的計算單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，計算其最大余靈敏度[解]：余靈敏度函數(shù)的頻率響應(yīng)為第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/523第5章線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析●頻率響應(yīng)特性●頻率響應(yīng)的Bode圖●頻率響應(yīng)的Nyquist圖●Nyquist穩(wěn)定性●頻率響應(yīng)與系統(tǒng)性能第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期一2023/6/524開環(huán)頻率響應(yīng)與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為除開穩(wěn)定性，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能取決于系統(tǒng)的誤差系數(shù)：于是由伯德圖左邊第一段可得：0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2