平面向量基礎(chǔ)題,提升題,文科適用,理科適用及平面向量基礎(chǔ)試題(卷)(一)

平面向量1．向量的有關(guān)概念(1)平行向量：方向相同或____的非零向量；平行向量又叫____向量．規(guī)定：0與任一向量____.(2)相等向量：長度____且方向____的向量．(3)相反向量：長度____且方向____的向量．2．向量的線性運算3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)λ，使__b＝λa__.結(jié)論：1．零向量與任何向量共線．2．與向量a(a≠0)共線的單位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零實數(shù)λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，則A，B，C三點共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.5．若P為AB的中點，則＝eq\f(1,2)(＋)．6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.1．下列結(jié)論正確的打“√”，錯誤的打“×”.(1)向量就是有向線段；()(2)零向量沒有方向；()(3)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；()(4)若a∥b，b∥c，則a∥c；()(5)若向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上．()2．(2018·江南十校聯(lián)考)化簡＋－－＝()A． B．0C． D．3.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，＋＋＝)A．0 B．C． D．4．(2017·太原模擬)向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置．如圖所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e25．(2015·新課標(biāo)2)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝____.(2)(2017·成都模擬)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)＝2b(1)(2017·南昌模擬)下列關(guān)于向量的敘述不正確的是()A．向量的相反向量是B．模長為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點在同一條直線上，且AB＝CD，則＝D．若向量a與b滿足關(guān)系a＋b＝0，則a與b共線例2(1)(2015·全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則()A．＝－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3) B．＝eq\f(1,3)－eq\f(4,3)C．＝eq\f(4,3)＋eq\f(1,3) D．＝eq\f(4,3)－eq\f(1,3)(2)(2018·山東曲阜期中)如圖，在△ABC中，＝eq\f(1,3)、P是BN上的一點，若＝m＋eq\f(2,9)，則實數(shù)m的值為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．3(3)(理)(2017·河南洛陽統(tǒng)考)如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為()A．eq\f(8,5) B．eq\f(5,8)C．1 D．－11)(2018·江西臨川一中月考)如圖，已知＝a，＝b，＝4，＝3，則＝()A．eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)a B．eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC．eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)b D．eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a(2)(2017·山東師大附中二模)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)(3)平行四邊形ABCD中，M為BC的中點，若＝λ＋μ，則λ－μ＝____.(1)設(shè)e1與e2是兩上不共線向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8) D．不存在(2)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)例4在△ABC中，若＝2，＝eq\f(1,3)＋λ，則λ＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)二、向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝_，a－b＝__，λa＝___，|a|＝___.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝__，||＝__.4．向量共線的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?____.1．下列命題中正確命題的個數(shù)為()①在△ABC中，、可以作為基底；②若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2；③若A(3,5)、B(－1,9)，則＝(－4,4)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).A．1 B．2C．3 D．42．(2015·新課標(biāo)卷)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)3．設(shè)向量a＝(2tanα，tanβ)，向量b＝(4，－3)，且a＋b＝0，則tan(α＋β)等于()A．eq\f(1,7) B．－eq\f(1,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(1,7)4．(文)(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝____.(理)(2018·吉林省統(tǒng)考)向量a＝(－1,1)，b＝(x，－2)，若(a＋2b)∥b，則x＝()A．1 B．－eq\f(3,2)C．2 D．eq\f(2,7)5．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9,－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_例1(1)(2014·福建)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2eq\r(3)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為____.(1)如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2例2(1)(2017·廣西耒賓實驗中學(xué)診斷)設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，則λ＋x的值為()A．－eq\f(11,2) B．eq\f(11,2)C．－eq\f(29,2) D．eq\f(29,2)(2)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝____.(3)(理)(2017·東北三省四市二模)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m＋n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，則||的最小值為()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\f(\r(10),2)C．eq\r(5) D．eq\r(10)(1)已知a＝(1，－1)，b＝(1,0)，c＝(1，－2)，若a與mb－c平行，則m＝()A．－1 B．1C．2 D．3(2)已知a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈(0，eq\f(π,2))，若a∥b，則x＝___.1．向量的夾角范圍是____.2．向量數(shù)量積幾何意義：a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝__.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝____.③設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離|AB|＝||＝④夾角：cosθ＝_=__.⑤已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b＝0?___；1．下列結(jié)論正確的打“√”，錯誤的打“×”.(1)兩個向量的數(shù)量積是一個向量．((2)向量在另一個向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角．(×)(4)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.()2．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A．6 B．5C．1 D．－63．(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝____..4．(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝____.5．(2016·課標(biāo)全國Ⅲ)已知向量＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，則∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°例2(1)(2018·四川綿陽一診)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，則|a＋b|＝()A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)(2)若平面向量a、b的夾角為60°，且a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝3，則|2a－b|的值為()A．13 B．eq\r(37)C．eq\r(13) D．1(3)(2018·云南昆明一中模擬)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|＝____.(1)(2018·山西康杰中學(xué)五校期中)已知向量a、b滿足|b|＝2|a|＝2，a與b的夾角為120°，則|a－2b|＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號58532679)(B)A．eq\r(13) B．eq\r(21)C．13 D．21(2)(2017·吉林市調(diào)研)向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，則|a－2b|＝____.例3(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，則向量2a－b與a的夾角為()A．135° B．60°C．45° D．30°(2)設(shè)平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|a－2b|＝eq\r(15).則向量a，b的夾角的余弦值為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(1,4)上題中a在a＋b方向上的投影為____.例4(1)已知向量a＝(6，－2)，b＝(1，m)，且a⊥b，則|a－2b|＝____.(2)(2017·重慶)已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)向量a，b均為非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)(1)(文)(2018·河南八市測評)設(shè)向量a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，若a⊥b，則tanθ＝___.(理)(2018·河南八市測評)設(shè)向量a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，若a⊥b，則sin2θ＝___.(2)(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝()A．－8 B．－6C．6 D．8例5(1)已知向量a＝(eq\r(3)sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，則a·b的最大值為____.(2)(2017·廣西桂林、崇左聯(lián)合調(diào)研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為線段BC上的點，則·的最小值為()A．2 B．eq\f(15,4)C．eq\f(17,4) D．4平面向量基礎(chǔ)試題（一）一．選擇題（共12小題）1．已知向量=（1，2），=（﹣1，1），則2+的坐標(biāo)為（）A．（1，5） B．（﹣1，4） C．（0，3） D．（2，1）2．若向量，滿足||=，=（﹣2，1），?=5，則與的夾角為（）A．90° B．60° C．45° D．30°3．已知均為單位向量，它們的夾角為60°，那么=（）A． B． C． D．44．已知向量滿足||=l，=（2，1），且=0，則||=（）A． B． C．2 D．5．已知A（3，0），B（2，1），則向量的單位向量的坐標(biāo)是（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．6．已知點P（﹣3，5），Q（2，1），向量，若，則實數(shù)λ等于（）A． B．﹣ C． D．﹣7．已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+與﹣平行，則實數(shù)x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣48．已知平面向量，且，則為（）A．2 B． C．3 D．19．已知向量=（3，1），=（x，﹣1），若與共線，則x的值等于（）A．﹣3 B．1 C．2 D．1或210．已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若m+與3﹣共線，則實數(shù)m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．11．下列四式不能化簡為的是（）A． B． C． D．12．如圖所示，已知，=，=，=，則下列等式中成立的是（）A． B． C． D．二．選擇題（共10小題）13．已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，則λ=．14．已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，則m=．15．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+與垂直，則m=．16．已知，若，則等于．17．設(shè)m∈R，向量=（m+2，1），=（1，﹣2m），且⊥，則|+|=．18．若向量=（2，1），=（﹣3，2λ），且（2﹣）∥（+3），則實數(shù)λ=．19．設(shè)向量，不平行，向量+m與（2﹣m）+平行，則實數(shù)m=．20．平面內(nèi)有三點A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），且∥，則x為．21．向量，若，則λ=．22．設(shè)B（2，5），C（4，﹣3），=（﹣1，4），若=λ，則λ的值為．三．選擇題（共8小題）23．在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=120°，若=﹣2，則?=．24．已知，的夾角為120°，且||=4，||=2．求：（1）（﹣2）?（+）；（2）|3﹣4|．25．已知平面向量，滿足||=1，||=2．（1）若與的夾角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求實數(shù)k的值．26．已知向量=（3，4），=（﹣1，2）．（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若向量﹣λ與+2平行，求λ的值．27．已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．（1）求+與﹣的夾角；（2）若滿足⊥（+），（+）∥，求的坐標(biāo)．28．平面內(nèi)給定三個向量=（1，3），=（﹣1，2），=（2，1）．（1）求滿足=m+n的實數(shù)m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求實數(shù)k．29．已知△ABC的頂點分別為A（2，1），B（3，2），C（﹣3，﹣1），D在直線BC上．（Ⅰ）若=2，求點D的坐標(biāo)；（Ⅱ）若AD⊥BC，求點D的坐標(biāo)．30．已知，且，求當(dāng)k為何值時，（1）k與垂直；（2）k與平行．

平面向量基礎(chǔ)試題（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．（2017?天津?qū)W業(yè)考試）已知向量=（1，2），=（﹣1，1），則2+的坐標(biāo)為（）A．（1，5） B．（﹣1，4） C．（0，3） D．（2，1）【解答】解：∵=（1，2），=（﹣1，1），∴2+=（2，4）+（﹣1，1）=（1，5）．故選：A．2．（2017?天津?qū)W業(yè)考試）若向量，滿足||=，=（﹣2，1），?=5，則與的夾角為（）A．90° B．60° C．45° D．30°【解答】解：∵=（﹣2，1），∴，又||=，?=5，兩向量的夾角θ的取值范圍是，θ∈[0，π]，∴cos＜＞===．∴與的夾角為45°．故選：C．3．（2017?甘肅一模）已知均為單位向量，它們的夾角為60°，那么=（）A． B． C． D．4【解答】解：∵，均為單位向量，它們的夾角為60°，∴====．故選C．4．（2017?龍巖二模）已知向量滿足||=l，=（2，1），且=0，則||=（）A． B． C．2 D．【解答】解：||=l，=（2，1），且=0，則||2==1+5﹣0=6，所以||=；故選A5．（2017?山東模擬）已知A（3，0），B（2，1），則向量的單位向量的坐標(biāo)是（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．【解答】解：∵A（3，0），B（2，1），∴=（﹣1，1），∴||=，∴向量的單位向量的坐標(biāo)為（，），即（﹣，）．故選：C．6．（2017?日照二模）已知點P（﹣3，5），Q（2，1），向量，若，則實數(shù)λ等于（）A． B．﹣ C． D．﹣【解答】解：=（5，﹣4）．∵，∴﹣4×（﹣λ）﹣5=0，解得：λ=．故選：C．7．（2017?金鳳區(qū)校級一模）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+與﹣平行，則實數(shù)x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+與﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．故選：C．8．（2017?西寧二模）已知平面向量，且，則為（）A．2 B． C．3 D．1【解答】解：∵∥，平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴﹣2×2﹣m=0，解得m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），∴||==2，故選：A．9．（2017?三明二模）已知向量=（3，1），=（x，﹣1），若與共線，則x的值等于（）A．﹣3 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：=（3，1），=（x，﹣1），故=（3﹣x，2）若與共線，則2x=x﹣3，解得：x=﹣3，故選：A．10．（2017?汕頭二模）已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若m+與3﹣共線，則實數(shù)m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【解答】解：向量=（1，2），=（2，﹣3），則m+=（m+2，2m﹣3），3﹣=（1，9）；又m+與3﹣共線，∴9（m+2）﹣（2m﹣3）=0，解得m=﹣3．故選：A．11．（2017?河?xùn)|區(qū)模擬）下列四式不能化簡為的是（）A． B． C． D．【解答】解：由向量加法的三角形法則和減法的三角形法則，===，故排除B==故排除C==，故排除D故選A12．（2017?海淀區(qū)模擬）如圖所示，已知，=，=，=，則下列等式中成立的是（）A． B． C． D．【解答】解：===．故選：A．二．選擇題（共10小題）13．（2017?山東）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，則λ=﹣3．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案為：﹣3．14．（2017?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，則m=2．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案為：2．15．（2017?新課標(biāo)Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+與垂直，則m=7．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+與垂直，∴（）?=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案為：7．16．（2017?龍鳳區(qū)校級模擬）已知，若，則等于5．【解答】解：∵=（2，1），=（3，m），∴﹣=（﹣1，1﹣m），∵⊥（﹣），∴?（﹣）=﹣2+1﹣m=0，解得，m=﹣1，∴+=（5，0），∴|+|=5，故答案為：5．17．（2017?蕪湖模擬）設(shè)m∈R，向量=（m+2，1），=（1，﹣2m），且⊥，則|+|=．【解答】解：=（m+2，1），=（1，﹣2m），若⊥，則m+2﹣2m=0，解得：m=2，故+=（5，﹣3），故|+|==，故答案為：．18．（2017?南昌模擬）若向量=（2，1），=（﹣3，2λ），且（2﹣）∥（+3），則實數(shù)λ=﹣．【解答】解：2﹣=（7，2﹣2λ），+3=（﹣7，1+6λ），∵（2﹣）∥（+3），∴7（1+6λ）+7（2﹣2λ）=0，解得λ=﹣．故答案為：﹣．19．（2017?武昌區(qū)模擬）設(shè)向量，不平行，向量+m與（2﹣m）+平行，則實數(shù)m=1．【解答】解：∵向量，不平行，向量+m與（2﹣m）+平行，∴，解得實數(shù)m=1．故答案為：1．20．（2017?龍巖一模）平面內(nèi)有三點A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），且∥，則x為1．【解答】解：=（3，6），=（x，2），∵∥，∴6x﹣6=0，可得x=1．故答案為：1．21．（2017?海淀區(qū)校級模擬）向量，若，則λ=1．【解答】解：∵，∴2（λ+1）﹣（λ+3）=0，解得λ=1．故答案為：1．22．（2017?重慶二模）設(shè)B（2，5），C（4，﹣3），=（﹣1，4），若=λ，則λ的值為﹣2．【解答】解：=（2，﹣8），∵=λ，∴（2，﹣8）=λ（﹣1，4），∴2=﹣λ，解得λ=﹣2．故答案為：﹣2．三．選擇題（共8小題）23．（2017?臨汾三模）在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=120°，若=﹣2，則?=．【解答】解：∵=﹣2，∴AD==（﹣）．∴?=（﹣）=（﹣﹣）=﹣﹣?=﹣×42﹣×4×6×（﹣）=，故答案為：．24．（2017春?宜昌期末）已知，的夾角為120°，且||=4，||=2．求：（1）（﹣2）?（+）；（2）|3﹣4|．【解答】解：，的夾角為120°，且||=4，||=2，∴?=||?||cos120°=4×2×（﹣）=﹣4，（1）（﹣2）?（+）=||2﹣2?+?﹣2||2=16+4﹣2×4=12；（2）|3﹣4|2=9||2﹣24?+16||2=9×42﹣24×（﹣4）+16×22=16×19，∴|3﹣4|=4．25．（201