平面向量基本定理及平面向量基本定理導(dǎo)學(xué)案

PAGE1-2.3.1平面向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面向量基本定理和意義，能用基底表示平面內(nèi)任意給定向量.2.掌握三點(diǎn)共線的向量表示方法.3.在了解平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，理解并掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.4.體會(huì)向量與幾何問(wèn)題、物理中力學(xué)問(wèn)題的聯(lián)系.一、引入悟境1.回顧三個(gè)基本內(nèi)容：（1）向量的加法運(yùn)算與平行四邊形法則；（2）實(shí)數(shù)與向量的積；（3）向量共線定理.2.由平行四邊形法則思考這樣一個(gè)問(wèn)題：是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？二、引領(lǐng)悟識(shí)1.作圖研究任一向量與兩不共線向量的關(guān)系作圖：任意畫(huà)兩個(gè)不共線的向量，及任意向量，如何用，表示2.平面向量基本定理平面向量基本定理：如果，是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，實(shí)數(shù)，，使.此時(shí)不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組.【對(duì)定理的理解】（1）定理的實(shí)質(zhì)：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合.（2）對(duì)基底的理解，同一平面內(nèi)可以有不同的基底，只要是兩個(gè)不共線的向量都可以成為一組基底.一旦基底定了，那么定理中的，就唯一確定了，也就是說(shuō)，λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量.（基底可以有零向量嗎？）（3）基底背景下向量共線的條件我們很容易得到下述結(jié)論：設(shè)，為一組基底，若向量與向量共線，則，反之亦然.（4）基底背景下向量相等的條件：設(shè)，為一組基底，若向量與向量相等，則：。3.兩向量的夾角非零向量、的夾角，一般用表示兩向量的夾角.注意向量、的始點(diǎn)為同一點(diǎn).夾角的范圍，而不共線向量夾角范圍為.幾個(gè)特殊夾角對(duì)應(yīng)的特殊位置：若向量、的夾角為，那么時(shí)，與；時(shí)，與；（）時(shí)，與，記作.三、引導(dǎo)悟技1.理解平面向量基本定理例1.設(shè)是平面內(nèi)一組基底，用反證法證明：當(dāng)時(shí)，恒有.變式1：如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A.①②B.②③C.③④D.②2.利用基底表示平面內(nèi)的向量例2.（1）已知中，為的中點(diǎn)，、為的三等分點(diǎn)，若，，用，表示、、.（2）在△OAB中，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)=，=，用,表示.【變式2】（1）已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足，則（）A． B． C． D．（2）如圖所示，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點(diǎn)，若＝a，＝b，試以a，b為基底表示，.3.向量共線及應(yīng)用例3.已知向量，平面內(nèi)一組基底，且，，.（1）若、、三點(diǎn)共線，求的值.（2）、C、能否共線？【變式3】1．已知，一組基底，且，，若，共線，則=_______.2．已知向量，是一組基底，且∥，則實(shí)數(shù)的值為.3.如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，若。試問(wèn)：是否為定值？4.利用平面向量基本定理進(jìn)行幾何證明例4.在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求證：、、三點(diǎn)共線.【變式3】證明：三角形中線的交于一點(diǎn).四、引申悟道1.充分理解基底條件及平面向量基本定理.2.能利用基底表示平面內(nèi)任一給定向量.3.掌握三點(diǎn)共線的向量表示.§2.3.1平面向量基本定理高一（）班姓名：上課時(shí)間：【目標(biāo)與導(dǎo)入】1、學(xué)習(xí)平面向量基本定理及其應(yīng)用；2、學(xué)會(huì)在具體問(wèn)題中適當(dāng)選取基底，使其他向量能夠用基底來(lái)表達(dá)。【預(yù)習(xí)與檢測(cè)】1、點(diǎn)C在線段AB上，且，,則等于（）ABA、B、C、-D、-AB2、設(shè)兩非零向量不共線，且與共線，則的值為（）。3、已知向量，作出向量與。兩個(gè)向量相加與物理學(xué)中的兩個(gè)力合成相似，如果與力的分解類(lèi)比，上述所作的分解成兩個(gè)向量：在方向上的____與在方向上的______，則分解成_____與_____。4、閱讀課本P93—94，了解平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_______向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的______向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使_____________，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組__________。5、已知兩個(gè)非零向量，作，則叫做向量與的__________，若,則與_______；若,則與__________；若,則與_______，記作______。【精講與點(diǎn)撥】HBACD如圖所示，在平等四邊形ABCD中，AH=HD，MC=BC，設(shè)，以為基底表示。HBACD【檢測(cè)與糾錯(cuò)】1、設(shè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有（）一定平行的模相等同一平面內(nèi)的任一向量都有若不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有P2.在中，，若,=()PA、B、C、D、EACDEACDFBA組：如圖所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，以，為基底表示。BB組：1、已知向量，其中不共線，則與的關(guān)系（）不共線共線相等無(wú)法確定2、若向量不共線，實(shí)數(shù)滿足，則的值為_(kāi)_______;3、已知，是一組基底，且，則與__________，與_________.（填共線或不共線）【總結(jié)與體會(huì)】1、基底有什么作用？________________________________2、要成為基底需滿足什么條件？______________________3、基底唯一嗎？_______________4、基底確定了，向量分解形式唯一嗎？_____________________§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算高一（）班姓名：上課時(shí)間：【目標(biāo)與導(dǎo)入】1、學(xué)習(xí)平面向量的坐標(biāo)的概念；2、能夠進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【預(yù)習(xí)與檢測(cè)】BDAC1、D是的邊AB上的中點(diǎn)，則向量BDACA、B、C、D、2、下列說(shuō)法：①一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可作為表示該平面的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可以作為基底中的向量；④基底給定時(shí)，分解形式唯一，是被唯一確定的數(shù)量。其中正確的說(shuō)法是（）①②②③④①③①②③3、在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即坐標(biāo)）來(lái)表示，一個(gè)向量是否也可以用坐標(biāo)來(lái)表示呢？若可以，它們是否是一一對(duì)應(yīng)的？閱讀課本P95，了解向量坐標(biāo)的定義方法：（1）把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量____________________.（2）在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與方向相同的兩個(gè)單位向量，對(duì)于平面上的任一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做的坐標(biāo)，記作=________。這樣用坐標(biāo)表示。4、若，則5、若，則【精講與點(diǎn)撥】例1：如圖，已知，求的坐標(biāo)。思考：若，則例2、已知，求的坐標(biāo)。例3、已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，試求頂點(diǎn)的坐標(biāo)?！緳z測(cè)與糾錯(cuò)】完成課本P100練習(xí)1題、2題、3題【作業(yè)與預(yù)習(xí)】A組：1、設(shè)，（1）已知，則點(diǎn)B坐標(biāo)為_(kāi)______（2）已知，則點(diǎn)B坐標(biāo)為_(kāi)______（3）已知，則點(diǎn)A坐標(biāo)為_(kāi)______2、作用在坐標(biāo)原點(diǎn)的三個(gè)力分別為，則合力=_____。3、已知的頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)。B組：4、在中，，，對(duì)角線交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)是______.5、已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，求向量的坐標(biāo)。【總結(jié)與體會(huì)】本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)？_________________________________________________________________________________________________________________________.§2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示高一（）班姓名：上課時(shí)間：【目標(biāo)與導(dǎo)入】1、理解平面向量共線的坐標(biāo)表示；2、能夠熟練運(yùn)用平面向量共線的坐標(biāo)表示的知識(shí)解決有關(guān)向量共線問(wèn)題?！绢A(yù)習(xí)與檢測(cè)】1、若，則2、若，且，則，用坐標(biāo)表示為_(kāi)___________________________，消去有___________________。所以，判斷向量共線的條件有兩種形式：3、證明三點(diǎn)共線的方法：設(shè)，只要證明______________，即可證三點(diǎn)共線。4、設(shè)，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________________________.5、設(shè)，當(dāng)時(shí)，______________________.【精講與點(diǎn)撥】例1：已知，且，求。例2：已知，試判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系?！举|(zhì)疑與互動(dòng)】設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，（1）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求的坐標(biāo)。探究：（2）當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)?！緳z測(cè)與糾錯(cuò)】完成《課本》P100練習(xí)4題、5題、6題【作業(yè)與預(yù)習(xí)】A組：1、當(dāng)=_____時(shí)，向量共線。2、已知，若與平行，則的值為_(kāi)____________。3、若，且，則=（）4、已知，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。B組：1、設(shè)，且，則的值是（）【總結(jié)與體會(huì)】本節(jié)課的重點(diǎn)是什么？_________________________________________平面向量基本定理測(cè)試班級(jí)：成績(jī)：時(shí)間：一、選擇題1、若ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)=，=，則向量等于A．+B．－－C．－+D．－2、已知向量和不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(2x﹣y)+4=5+(x﹣2y)，則x+y的值等于（）A．－1B．1C．0D．33、若5EQ\s\up8(→)\d\ba24()AB+3EQ\s\up8(→)\d\ba24()CD=，且|EQ\s\up8(→)\d\ba24()AD|=|EQ\s\up8(→)\d\ba24()BC|，則四邊形ABCD是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形4、設(shè)M是△ABC的重心，則EQ\s\up8(→)\d\ba24()AM=（）A．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AC－\s\up8(→)\d\ba24()AB,2) B．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AB+\s\up8(→)\d\ba24()AC,2) C．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AC－\s\up8(→)\d\ba24()AB,3) D．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AB+\s\up8(→)\d\ba24()AC,3)5、設(shè)和為不共線的向量，則2﹣3與k+λ（k ．λ∈R）共線的充要條件是（）A．3k+2λ=0B．2k+3λ=0C．3k﹣2λ=0D．2k﹣3λ6、D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的中點(diǎn)，且，給出下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是①②③=－④A．1B．2C．3D．4二、填空題1、設(shè)向量和不共線，若+=