2022屆吉林省白山市高三下學(xué)期3月一?？荚嚁?shù)學(xué)(文)試題

白山市2022屆高三下學(xué)期3月一模考試

數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的．

1．設(shè)集合Axx60，Bxx2，則AB（）

R

A．2,6B．,2C．2,6D．6,

2．若復(fù)數(shù)z12i2i，則z（）

A．25B．5C．25D．5

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sinA:sinB:sinC2:4:5，

則cosB（）

133751

A．B．C．D．

2040168

4．函數(shù)fxax1exx的圖象在點(diǎn)0,f0處的切線斜率為1，則a（）

A．1B．1C．2D．2

b

5．函數(shù)fxax2ab0的圖象被稱為牛頓三叉戟曲線，當(dāng)ab1時，函數(shù)fx的大

x

致圖象為（）

A．B．C．D．

6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S（）

1

A．2B．1C．D．1

2

7．某校隨機(jī)抽取100名同學(xué)進(jìn)行“垃圾分類”的問卷測試，發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的得分都在50,100

內(nèi)，按得分分成50,60，60,70，70,80，80,90，90,100這5組，得到如圖所示的頻

率分布直方圖，則這100名同學(xué)得分的中位數(shù)為（）

A．72.5B．73.75C．74.5D．75

8．已知向量a1,3，b3，且aba7，則a與b的夾角為（）

A．B．C．D．

6432

9．有這樣一種說法：一張紙經(jīng)過一定次數(shù)對折之后厚度能超過地月距離．但實(shí)際上，因?yàn)榧垙埍?/p>

身有厚度，我們并不能將紙張無限次對折，當(dāng)厚度超過紙張的長邊時，便不能繼續(xù)對折了，一張長

1

邊為a，厚度為x的矩形紙張沿兩個方向不斷對折，則經(jīng)過兩次對折，長邊變?yōu)閍，厚度變?yōu)?x．在

2

a2

理想情況下，對折次數(shù)n滿足關(guān)系：nlog，根據(jù)以上信息，一張長為40cm，厚度為0.1mm

8x

的紙經(jīng)過對折后的厚度的最大值約為（）（lg20.3）

A．1.28cmB．2.56cmC．12.8cmD．25.6cm

10．如圖，在正方體ABCDABCD中，P為CD的中點(diǎn)，則過點(diǎn)A，B，P的平面截正方

1111111

體所得的截面的側(cè)視圖（陰影部分）為（）

A．B．C．D．

11．函數(shù)fxAsinxA0,0,的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將fx的圖象向

5

右平移個單位長度，得到函數(shù)ygx的圖象，則gx在區(qū)間,上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

61212

2,21,20,20,2

A．B．C．D．

x2y2

12．已知雙曲線C:1a0,b0的右焦點(diǎn)為F，以實(shí)軸為直徑的圓與其中一條漸近線

a2b2

的一個交點(diǎn)為P，若直線PF與另一條漸近線平行，則C的離心率為（）

A．3B．2C．3D．2

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

y1,

13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件xy0,則z2xy的最大值為______．

x2,

1sin21

14．已知tan，則______．

3cos2

15．一個球被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段

長叫作球缺的高，球缺的體積公式為V3Rhh2，其中R為球的半徑，h為球缺的高，則

3

棱長為2的正四面體的一個側(cè)面截其外接球所得的球缺（不大于半球的部分）的體積為______．

16．已知拋物線C:y22px，焦點(diǎn)為F1,0，過F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，C在A處的

切線與C的準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，若PF5，則AB______．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

某部門為了解某企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用電情況，對其每天的用電量做了記錄，得到了大量該企業(yè)的

日用電量（單位：度）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示

的統(tǒng)計(jì)表．若日用電量不低于200度，則稱這一天的用電量超標(biāo)．

分組170,180180,190190,200200,210

頻數(shù)3633

（1）估計(jì)該企業(yè)日用電量的平均值；（各組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表）

（2）用分層抽樣的方法從日用電量在180,190和200,210內(nèi)的數(shù)據(jù)中抽取6天的日用電量數(shù)

據(jù)，再從這6個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2天的日用電量數(shù)據(jù)，求這2天中至少有1天的日用電量超標(biāo)的概

率．

18．（12分）

已知正項(xiàng)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，且a2，6Sa23a2．

nn1nnn

（1）求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；

n

3

（2）若b，求數(shù)列b的前n項(xiàng)和T．

naann

nn1

19．（12分）

如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為3的菱形ABCD，ABC，

3

PBPD2PA23．

（1）證明：PA平面ABCD．

（2）若棱BC上存在一點(diǎn)E滿足BE1，求PC與平面PAE所成角的正弦值．

20．（12分）

已知Q是圓C:x12y216上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1,0，線段QF的垂直平分線交CQ于點(diǎn)

P．

（1）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）折線ykx1k0與E相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求k的值．

21．（12分）

已知函數(shù)fxxlnx，gxx2x．

（1）證明：當(dāng)x0,時，fxgx．

（2）證明：當(dāng)x0,時，有且只有一條直線與函數(shù)fx，gx的圖象都相切．

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分．

22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中著名的有笛卡爾心型曲線．如圖，在直角坐標(biāo)系

中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐

標(biāo)方程為1sin

02,0，M為該曲線上一動點(diǎn)．

1

（1）當(dāng)OM時，求M的直角坐標(biāo)；

2

（2）若射線OM逆時針旋轉(zhuǎn)后與該曲線交于點(diǎn)N，求△OMN面積的最大值．

2

23．[選修4-5：不等式選講]（10分）

已知函數(shù)fxx1．

（1）解不等式fxx22；

4

（2）若存在xR，使得fxm2m2成立，求m的取值范圍．

fx

白山市2022屆高三下學(xué)期3月一?？荚?/p>

數(shù)學(xué)試卷參考答案（文科）

1．A

2．B

3．A

4．A

5．D

6．C

7．A

8．A

9．B

10．C

11．C

12．D

13．3

1

14．

2

．

76

15．

27

16．5

1753185619532053

17．解：（1）估計(jì)該企業(yè)日用電量的平均值x189（度）．

15

6

（2）由題意可知應(yīng)從日用電量在180,190內(nèi)的數(shù)據(jù)中抽取64個，記為a，b，c，d，

63

3

從日用電量在200,210內(nèi)的數(shù)據(jù)中抽取62個，記為e，f．

63

從這6個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2天的日用電量數(shù)據(jù)的情況有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，

bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15種；

93

其中符合條件的情況有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9種．故所求概率P．

155

18．解：（1）當(dāng)n1時，6aa23a2，所以a1或a2．

11111

因?yàn)閍2，所以a1．當(dāng)n2時，6Sa23a2，

11n1n1n1

所以6SS6aa2a23a3a，所以3aaaaaa．

nn1nnn1nn1nn1nn1nn1

因?yàn)閍a0，所以aa3，所以a是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，故a3n2．

nn1nn1nn

311

（2）因?yàn)閎，

n3n23n13n23n1

1111113n

所以T11．

n4473n23n13n13n1

19．（1）證明：因?yàn)锳BAD3，PBPD2PA23，

所以AB2PA2PB2，AD2PA2PD2，所以PAAB，PAAD．

因?yàn)锳BADA，且AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PA平面ABCD．

（2）解：在△ABE中，AEAB2BE22ABBEcosABE7．

111333

設(shè)三棱錐CPAE的高為h，因?yàn)閂SPA23，

PACE3△ACE3222

111321

VSh73h．所以h．

CPAE3△AEP327

2h3737

因?yàn)镻C33223，所以，故PC與平面PAE所成角的正弦值為．

PC1414

20．解：（1）因?yàn)镻QPF，所以PFPCPQPCCQ4FC，

所以P的軌跡是以F，C為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，

x2y2

因?yàn)閍2，c1，b3，所以動點(diǎn)P的軌跡E的方程為1．

43

（2）設(shè)Ax,y，Bx,y，則Bx,y

112222

ykx1,

8k24k212

x2y2得34k2x28k2x4k2120，則xx，xx．

1,1234k21234k2

43

因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，所以O(shè)AOB0，所以xxyy0，

1212

所以xxk2x1x10，即1k2xxk2xxk20，

12121212

4k2128k2239

則1k2k2k20，所以k．

34k234k213

21．證明：（1）欲證fxgx，即要證xlnxx2x．

因?yàn)閤0,，所以只需證lnxx1，即證lnxx10．

11x

令hxlnxx1，因?yàn)閔x1，令hx0，則0x1，

xx

所以hx在0,1上單調(diào)遞增，在1,上單調(diào)遞減，所以hxh10，

max

所以hx0，所以fxgx成立．

（2）設(shè)直線l與曲線yfx相切于點(diǎn)x,xlnx，x0．

0000

則直線l的斜率kfxlnx1，所以直線l的方程為ylnx1xx，

0000

ylnx1xx,

聯(lián)立方程組00得x2lnx2xx0，

yx2x,00

lnx2

則lnx224x0，且00．

002

12lnx2x2

令Fxlnx224x，x，則Fx，

e2x

11

令xlnx2x2x，則x2，

e2x

111

所以x在,上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減．

e222

121

因?yàn)?，ln210，10，

e2e22

11

所以存在x,，使得x0，

1e221

1

所以當(dāng)x,x時，x0；當(dāng)xx,1時，x0；當(dāng)x1,，x0．

e211

1

所以Fx在x,1上單調(diào)遞增，在,x，1,上單調(diào)遞減．

1e21

14

因?yàn)镕0，F(xiàn)10，所以FxF10，

e2e2max

所以當(dāng)且僅當(dāng)x1時，F(xiàn)x0，即方程lnx224x0有唯一解x1，

000

所以有且只有一條直線l與函數(shù)fx，gx的圖象都相切．

111

22．解：（1）因?yàn)镺M，所以1sin，sin，

222

5115

因?yàn)?2，所以或，所以M的極坐標(biāo)為,或,，

662626

3131

M,,

故的直角坐標(biāo)為或．

4444

（2）設(shè)M,，0,2，則N,．

122

因?yàn)?sin，1sin1cos，

122

111

所以SOMON1sin1cos1sincossincos．

△OMN222

t21

令tsincos2sin2,2，則sincos．

4