2023屆高三數(shù)學理科一輪復習試卷詳解第9單元平面解析幾何

高三單元滾動檢測卷·數(shù)學考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上．3．本次考試時間120分鐘，滿分150分．4．請在密封線內作答，保持試卷清潔完整．單元檢測九平面解析幾何第Ⅰ卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．當方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓的面積最大時，直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α的值為()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,2) D.eq\f(5π,4)2．已知點P(x，y)在以原點為圓心的單位圓上運動，則點Q(x′，y′)＝(x＋y，xy)的軌跡是()A．圓 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線3．(2015·濰坊模擬)設F是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦點，橢圓上的點與點F的最大距離為M，最小距離是m，則橢圓上與點F的距離等于eq\f(1,2)(M＋m)的點的坐標是()A．(0，±2) B．(0，±1)C．(eq\r(3)，±eq\f(1,2)) D．(eq\r(2)，±eq\f(\r(2),2))4．已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的離心率為e，拋物線x＝2py2的焦點為(e,0)，則p的值為()A．2 B．1C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,16)5．若AB是過橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中心的弦，F(xiàn)1為橢圓的焦點，則△F1AB面積的最大值為()A．6 B．12C．24 D．486．(2015·武漢調研)已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4eq\r(2)，則△POF的面積為()A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．47．(2015·北京海淀區(qū)期末練習)雙曲線C的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且F2恰好為拋物線y2＝4x的焦點，設雙曲線C與該拋物線的一個交點為A，若△AF1F2是以AF1為底邊的等腰三角形，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．1＋eq\r(3) D．2＋eq\r(3)8．P(x，y)是圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點，欲使不等式x＋y＋c≥0恒成立，則實數(shù)c的取值范圍是()A．[－1－eq\r(2)，eq\r(2)－1] B．[eq\r(2)－1，＋∞)C．(－1－eq\r(2)，eq\r(2)－1) D．(－∞，－eq\r(2)－1)9．(2016·福州質檢)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，若雙曲線左支上存在一點P與點F2關于直線y＝eq\f(bx,a)對稱，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\r(5)C.eq\r(2) D．210．設拋物線y2＝2x的焦點為F，過點M(eq\r(3)，0)的直線與拋物線相交于A、B兩點，與拋物線的準線相交于點C，|BF|＝2，則△BCF與△ACF的面積之比eq\f(S△BCF,S△ACF)等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,7) D.eq\f(1,2)11．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為eq\f(2π,3)，離心率為e，則eq\f(a2＋e2,2b)的最小值為()A．2eq\r(3) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3) D．3eq\r(3)12．(2015·河南豫東豫北十校聯(lián)考)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的焦點，A為雙曲線上一點，若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(1,4)第Ⅱ卷二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知動點P(x，y)在橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，若點M滿足|Meq\o(F,\s\up6(→))|＝1且Meq\o(P,\s\up6(→))·Meq\o(F,\s\up6(→))＝0，則|Peq\o(M,\s\up6(→))|的最小值為________．14．過拋物線y2＝4x的焦點，作傾斜角為α的直線交拋物線于A，B兩點，且|AB|＝eq\f(16,3)，則α＝________.15．(2014·遼寧)已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點M與C的焦點不重合．若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝________.16．設A，B為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)同一條漸近線上的兩個不同的點，已知向量m＝(1,0)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·m,|m|)＝3，則雙曲線的離心率為________．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)(2015·安徽六校聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．18．(12分)已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，其一個頂點是拋物線x2＝－4eq\r(3)y的焦點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M，求直線l的方程和點M的坐標．19.(12分)如圖所示，離心率為eq\f(1,2)的橢圓Ω：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的點到其左焦點的距離的最大值為3，過橢圓Ω內一點P的兩條直線分別與橢圓交于點A，C和B，D，且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，其中λ為常數(shù)，過點P作AB的平行線交橢圓于M，N兩點．(1)求橢圓Ω的方程；(2)若點P(1,1)，求直線MN的方程，并證明點P平分線段MN.20．(12分)設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，M∈C，以M為圓心的圓M與l相切于點Q，Q的縱坐標為eq\r(3)p，E(5,0)是圓M與x軸除F外的另一個交點．(1)求拋物線C與圓M的方程；(2)已知直線n：y＝k(x－1)(k＞0)，n與C交于A，B兩點，n與l交于點D，且|FA|＝|FD|，求△ABQ的面積．21.(12分)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c,0)．(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－eq\r(3)，求雙曲線的離心率．22．(12分)(2015·青島質檢)已知橢圓C1的中心為原點O，離心率e＝eq\f(\r(2),2)，其一個焦點在拋物線C2：y2＝2px的準線上，若拋物線C2與直線l：x－y＋eq\r(2)＝0相切．(1)求該橢圓的標準方程；(2)當點Q(u，v)在橢圓C1上運動時，設動點P(2v－u，u＋v)的運動軌跡為C3.若點T滿足：Oeq\o(T,\s\up6(→))＝Meq\o(N,\s\up6(→))＋2Oeq\o(M,\s\up6(→))＋Oeq\o(N,\s\up6(→))，其中M，N是C3上的點，直線OM與ON的斜率之積為－eq\f(1,2)，試說明：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|TF1|＋|TF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，請說明理由．

答案解析1．A2.B3.B4.D5.B6.C7．B[依題意可知，點A(1，±2)，F(xiàn)1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，|AF1|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，|AF2|＝|F1F2|＝2，雙曲線C的離心率為e＝eq\f(|F1F2|,|AF1|－|AF2|)＝eq\f(2,2\r(2)－2)＝eq\r(2)＋1，故選B.]8．B[設圓上任一點P的坐標為(cosα，sinα＋1)，即x＝cosα，y＝sinα＋1，則x＋y＋c＝cosα＋sinα＋1＋c＝eq\r(2)[eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα]＋1＋c＝eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))＋1＋c≥0，即c≥－1－eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))，又因為－1≤sin(α＋eq\f(π,4))≤1，所以得到－1－eq\r(2)≤－1－eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))≤－1＋eq\r(2)，則c≥－1＋eq\r(2).]9．B[記線段PF2與直線y＝eq\f(b,a)x的交點為M，依題意，直線y＝eq\f(b,a)x是題中的雙曲線的一條漸近線，M是PF2的中點，且|PF2|＝2|MF2|＝2b；又點O是F1F2的中點，因此有|PF1|＝2|OM|＝2a；由點P在雙曲線的左支上得|PF2|＝|PF1|＋2a＝4a＝2b，b＝2a，該雙曲線的離心率是e＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\r(5)，故選B.]10．A[如圖，過A，B作準線l：x＝－eq\f(1,2)的垂線，垂足分別為A1，B1，由于F到直線AB的距離為定值．∴eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BC|,|AC|).又∵△B1BC∽△A1AC，∴eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(|BB1|,|AA1|)，由拋物線定義eq\f(|BB1|,|AA1|)＝eq\f(|BF|,|AF|)＝eq\f(2,|AF|)，由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝eq\f(3,2)，yB＝－eq\r(3)，∴AB：y－0＝eq\f(\r(3),\r(3)－\f(3,2))(x－eq\r(3))，把x＝eq\f(y2,2)代入上式，求得yA＝2，xA＝2，∴|AF|＝|AA1|＝eq\f(5,2).故eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BF|,|AF|)＝eq\f(2,\f(5,2))＝eq\f(4,5).]11．B[由題意，eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)a，∴c＝2a，e＝2，eq\f(a2＋e2,2b)＝eq\f(a2＋4,2\r(3)a)＝eq\f(a,2\r(3))＋eq\f(2,\r(3)a)≥eq\f(2\r(3),3)(當且僅當a＝2時取等號)，則eq\f(a2＋e2,2b)的最小值為eq\f(2\r(3),3).]12．C[因為雙曲線的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2eq\r(5)a，所以cos∠AF2F1＝eq\f(|F1F2|2＋|FA2|2－|F1A|2,2|F1F2||FA2|)＝eq\f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)＝eq\f(\r(5),5)，故選C.]13.eq\r(3)解析由題意可得Feq\o(P,\s\up6(→))·Feq\o(M,\s\up6(→))＝|Feq\o(M,\s\up6(→))|2＝1，所以|Peq\o(M,\s\up6(→))|＝|Feq\o(M,\s\up6(→))－Feq\o(P,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋|F\o(P,\s\up6(→))|2－2)＝eq\r(|F\o(P,\s\up6(→))|2－1)≥eq\r(5－32－1)＝eq\r(3)，當且僅當點P在右頂點時取等號，所以|Peq\o(M,\s\up6(→))|的最小值是eq\r(3).14．60°或120°解析當α＝90°時，|AB|＝4不成立；當α≠90°時，設直線方程為y＝tanα(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立得：(tanα)2x2－[2(tanα)2＋4]x＋(tanα)2＝0，∴由根與系數(shù)的關系得：x1＋x2＝eq\f(2tanα2＋4,tanα2)，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2tanα2＋4,tanα2)＋2＝eq\f(16,3)，∴tanα＝±eq\r(3)，∴α＝60°或120°.15．12解析取MN的中點G，G在橢圓上，因為點M關于C的焦點F1，F(xiàn)2的對稱點分別為A，B，故有|GF1|＝eq\f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.16．2或eq\f(2\r(3),3)解析設eq\o(AB,\s\up6(→))與m的夾角為θ，則eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·m,|m|)＝6cosθ＝3，所以cosθ＝eq\f(1,2).所以雙曲線的漸近線與x軸成60°角，可得eq\f(b,a)＝eq\r(3).當λ>0時，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝2；當λ<0時，e＝eq\f(c,b)＝eq\r(1＋\f(a,b)2)＝eq\f(2\r(3),3).17．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y＝x－1))得圓心C(3,2)，∵圓C的半徑為1，∴圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1，顯然切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，∴eq\f(|3k－2＋3|,\r(k2＋1))＝1，∴|3k＋1|＝eq\r(k2＋1)，∴2k(4k＋3)＝0，∴k＝0或k＝－eq\f(3,4)，∴所求圓C的切線方程為y＝3或y＝－eq\f(3,4)x＋3，即y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)∵圓C的圓心在直線l：y＝2x－4上，∴設圓心C為(a,2a－4)，則圓C的方程為(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.又∵|MA|＝2|MO|，∴設M(x，y),則eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，整理得x2＋(y＋1)2＝4，設為圓D，∴點M既在圓C上又在圓D上，即圓C和圓D有交點，∴2－1≤eq\r(a2＋[2a－4－－1]2)≤2＋1，解得a的取值范圍為[0，eq\f(12,5)]．18．解(1)設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由題意得b＝eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，c＝1.故橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)因為過點P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所以直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y＝k(x－2)＋1(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx－2＋1))得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因為直線l與橢圓C相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得96(2k＋1)＝0，解得k＝－eq\f(1,2).所以直線l的方程為y＝－eq\f(1,2)(x－2)＋1＝－eq\f(1,2)x＋2.將k＝－eq\f(1,2)代入①式，可以解得M點的橫坐標為1，故切點M的坐標為(1，eq\f(3,2))．19．解(1)由題意得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，a＋c＝3，聯(lián)立a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))可得C(eq\f(1－x1,λ)＋1，eq\f(1－y1,λ)＋1)．∵點C在橢圓上，故eq\f(1＋λ－x12,4λ2)＋eq\f(1＋λ－y12,3λ2)＝1，整理得eq\f(7,12)(1＋λ)2－eq\f(1,6)(1＋λ)(3x1＋4y1)＋(eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3))＝λ2，又點A在橢圓上可知eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，故有eq\f(7,12)(1＋λ)2－eq\f(1,6)(1＋λ)(3x1＋4y1)＝λ2－1.①由eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，同理可得eq\f(7,12)(1＋λ)2－eq\f(1,6)(1＋λ)(3x2＋4y2)＝λ2－1.②②－①得3(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，即kAB＝－eq\f(3,4).又AB∥MN，故kMN＝－eq\f(3,4)，∴直線MN的方程為y－1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－7＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,3x＋4y－7＝0))可得21x2－42x＋1＝0?xM＋xN＝2＝2xp，∴P是MN的中點，即點P平分線段MN.20．解(1)由拋物線的定義知，圓M經過焦點F(eq\f(p,2)，0)，Q(－eq\f(p,2)，eq\r(3)p)，點M的縱坐標為eq\r(3)p，又M∈C，則M(eq\f(3p,2)，eq\r(3)p)，|MF|＝2p.由題意，M是線段EF的垂直平分線上的點，故eq\f(3p,2)＝eq\f(\f(p,2)＋5,2)，解得p＝2.故拋物線C：y2＝4x，圓M：(x－3)2＋(y－2eq\r(3))2＝16.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,x＝－1))得y＝－2k，則D(－1，－2k)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))得ky2－4y－4k＝0(k＞0)，即y＝eq\f(2＋2\r(1＋k2),k)或y＝eq\f(2－2\r(1＋k2),k).∵|FA|＝|FD|，則A的縱坐標為eq\f(2＋2\r(1＋k2),k)，且eq\f(2＋2\r(1＋k2),k)＝2k，解得k＝eq\r(3).∴A(3,2eq\r(3))，B(eq\f(1,3)，－eq\f(2\r(3),3))，直線n：y＝eq\r(3)(x－1)，Q(－1,2eq\r(3))，則|AB|＝eq\f(16,3)，點Q到直線n的距離d＝2eq\r(3)，△ABQ的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(16\r(3),3).21．解(1)∵雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，可得eq\f(b,a)＝1，解之得a＝b，∵c＝eq\r(a2＋b2)＝2，∴a＝b＝eq\r(2).由此可得雙曲線方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)設A的坐標為(m，n)，可得直線AO的斜率滿足k＝eq\f(n,m)＝eq\f(－1,－\r(3))，即m＝eq\r(3)n.①∵以點O為圓心，c為半徑的圓的方程為x2＋y2＝c2，∴將①代入圓的方程，得3n2＋n2＝c2，解得n＝eq\f(1,2)c，m＝eq\f(\r(3),2)c，將點A(eq\f(\r(3),2)c，eq\f(1,2)c)代入雙曲線方程，得eq\f(\f(\r(3),2)c2,a2)－eq\f(\f(1,2)c2,b2)＝1，化簡得eq\f(3,4)c2b2－eq\f(1,4)c2a2＝a2b2，∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2代入上式，化簡整理得eq\f(3,4)c4－2c2a2＋a4＝0，兩邊都除以a4，整理得3e4－8e2＋4＝0，解之得e2＝eq\f(2,3)或e2＝2，∵雙曲線的離心率e>1，∴該雙曲線的離心率e＝eq\r(2)(舍負)．22．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x－y＋\r(2)＝0))?y2－2py＋2eq\r(2)p＝0，∵拋物線C2：y2＝2px與直線l：x－y＋eq\r(2)＝0相切，∴Δ＝4p2－8eq\r(2)p＝0?p＝2eq\r(2).∴拋物線C2的方程為y2＝4eq\r(2)x，其準線方程為x＝－eq\r(2)，∴c＝eq\