2023屆高三數(shù)學簡單的三角恒等變換（二）

簡單的三角恒等變換（二）一、主要知識：兩角和與差的三角函數(shù)公式；二倍角公式；二、主要方法：1．尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關系，把握式子的變形方向，準確運用公式；2．三角變換主要體現(xiàn)在：函數(shù)名稱的變換、角的變換、的變換、和積的變換、冪的變換等方面；3．掌握基本技巧：切化弦，異名化同名，異角化同角等；4.應注意的幾點:eq\o\ac(○,1)熟悉公式的正用、逆用，還要熟練掌握公式的變形應用.eq\o\ac(○,2)注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.eq\o\ac(○,3)注意倍角的相對性，如3α是的倍角.eq\o\ac(○,4)要時時注意角的范圍的討論.5．三角函數(shù)式的化簡要求：通過對三角函數(shù)式的恒等變形使最后所得到的結(jié)果中：①所含函數(shù)和角的名類或種類最少；②各項的次數(shù)盡可能地低；③出現(xiàn)的項數(shù)最少；④一般應使分母和根號不含三角函數(shù)式；⑤對能求出具體數(shù)值的，要求出值．三角函數(shù)式的化簡常用方法是：異名函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化．三、例題分析例1.（1）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為（2）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－ B. C.－ D.*（3）的值是A. B. C. D.例2.已知.變式1.在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角,，它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點，已知A,B的橫坐標分別為．（Ⅰ）求tan()的值；（Ⅱ）求的值．例3．已知，sin()=－sin則cos=________.變式1.已知α∈（0，），β∈（，π），sin（α+β）=，cosβ=－，則sinα=_______.四、課后作業(yè)：1.若tanα=，則tan（α+）=____________.2.已知x∈（－，0），cosx=，則tan2x等于A. B.－ C. D.－3.若，則的值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4.若，，則等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5.下列各式中，值為的是（）A． B．C． D．6.已知且則7.已知,則的值為（）8.已知，若，則若,則9.已知，，則的值為（）*10．求值：簡單的三角恒等變換（二）（答案）一、主要知識：兩角和與差的三角函數(shù)公式；二倍角公式；二、主要方法：1．尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關系，把握式子的變形方向，準確運用公式；2．三角變換主要體現(xiàn)在：函數(shù)名稱的變換、角的變換、的變換、和積的變換、冪的變換等方面；3．掌握基本技巧：切化弦，異名化同名，異角化同角等；4.應注意的幾點:eq\o\ac(○,1)熟悉公式的正用、逆用，還要熟練掌握公式的變形應用.eq\o\ac(○,2)注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.eq\o\ac(○,3)注意倍角的相對性，如3α是的倍角.eq\o\ac(○,4)要時時注意角的范圍的討論.5．三角函數(shù)式的化簡要求：通過對三角函數(shù)式的恒等變形使最后所得到的結(jié)果中：①所含函數(shù)和角的名類或種類最少；②各項的次數(shù)盡可能地低；③出現(xiàn)的項數(shù)最少；④一般應使分母和根號不含三角函數(shù)式；⑤對能求出具體數(shù)值的，要求出值．三角函數(shù)式的化簡常用方法是：異名函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化．三、例題分析例1.（1）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°==－．（2）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－ B. C.－ D.cos43°=cos60°=.*（3）的值是A. B. C. D.解析：原式====.例2.已知.解法一：由題設條件，應用兩角差的正弦公式得即①由題設條件，應用二倍角余弦公式得故②由①式和②式得.因此，，由兩角和的正切公式解法二：由題設條件，應用二倍角余弦公式得解得由由于，故在第二象限，于是.從而變式1.在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角,，它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點，已知A,B的橫坐標分別為．（Ⅰ）求tan()的值；（Ⅱ）求的值．【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式．由條件的，因為,為銳角，所以=因此（Ⅰ）tan()=（Ⅱ），所以∵為銳角，∴，∴=例3．已知，sin()=－sin則cos=________.解：，，，∴，，則==變式1.已知α∈（0，），β∈（，π），sin（α+β）=，cosβ=－，則sinα=_______.解析：由0＜α＜，＜β＜π，得＜α+β＜.故由sin（α+β）=，得cos（α+β）=－.由cosβ=－，得sinβ=.∴sinα=sin［（α+β）－β］=sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=·（－）－（－）·=－.四、課后作業(yè)：1.若tanα=，則tan（α+）=____________.解析：tan（α+）===3.2.已知x∈（－，0），cosx=，則tan2x等于A. B.－ C. D.－解析：∵cosx=，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.∴tan2x===－×=－.答案：D3.若，則的值為（C）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4.若，，則等于（D）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5.下列各式中，值為的