【高1數(shù)學(xué)】002四種命題的形式充分條件與必要條件

四種命題的形式、充分條件與必需條件基礎(chǔ)看法一、基礎(chǔ)知識(shí)概括本周主要學(xué)習(xí)了四種命題的形式，充分條件與必需條件等有關(guān)看法，及反證法的思想．充分條件、必需條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)看法，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系．本節(jié)主假如經(jīng)過不一樣的知識(shí)點(diǎn)來分析充分必需條件的意義，讓考生能正確判斷給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系．二、要點(diǎn)知識(shí)概括及解說1、命題的看法：能夠判斷真假的語句叫做命題．2、簡單命題與復(fù)合命題：簡單命題：不含邏輯聯(lián)絡(luò)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，簡單命題一般不可以分解出其余的命題，往常簡單命題難以區(qū)分條件和結(jié)論，所以簡單命題的真假判斷不能依賴命題邏輯推理，其真假只好依照客觀事實(shí)或生活經(jīng)驗(yàn)自行判斷。以下命題均是簡單命題。1+1=2,5>3,雪是白色的，今日沒有下雨。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)絡(luò)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題。簡單命題經(jīng)過"非"、“或”、“與”、“包含”以及“等值”這些命題連結(jié)詞（亦稱邏輯連接詞）而構(gòu)成的命題稱為復(fù)合命題。平時(shí)生活中的“假如那么"、”只有才“、”不但并且“、”固然可是“、”當(dāng)且僅當(dāng)"、“只有”等連結(jié)詞語均可符號(hào)化為最基本的五種命題連結(jié)詞。以下例子都是復(fù)合命題：5≥3，假如x是整數(shù)，那么x+3也是整數(shù)。3、判斷復(fù)合命題的真假：（1）“非p”形式復(fù)合命題的真假能夠用下表表示：p非p真假假真即一個(gè)命題的否認(rèn)與原命題的真假相反．（2）“p且q”形式復(fù)合命題的真假能夠用下表表示：pqp且q真真真1真假假假真假假假假即當(dāng)p、q為真時(shí)，p且q為真；當(dāng)p、q中起碼有一個(gè)為假時(shí)，p且q為假．（3）“p或q”形式復(fù)合命題的真假能夠用下表表示：pqp或q真真真真假真假真真假假假即當(dāng)p、q中起碼有一個(gè)為真時(shí)，p或q為真；當(dāng)p、q都為假時(shí)，p或q為假．4、原命題：若p則q（p是原命題的條件，q是原命題的結(jié)論）；抗命題：若q則p（互換原命題的題設(shè)和結(jié)論）；否命題：若非p則非q（同時(shí)否認(rèn)原命題的條件與結(jié)論）；逆否命題：若非q則非p（互換原命題的題設(shè)和結(jié)論后同時(shí)否認(rèn)之）．四種命題及相互關(guān)系用圖表表示為：說明：①原命題、否命題、抗命題和逆否命題是相互的．②寫原命題的否命題、抗命題和逆否命題的要點(diǎn)是：找出所給原命題的條件p與結(jié)論q．5、反證法：欲證“若p則q”為真命題，從否認(rèn)其結(jié)論“非p”出發(fā)，經(jīng)過正確的邏輯推理得出矛盾，從而“非p”為假，即原命題為真，這樣的方法叫反證法．2證題的步驟：1）假定數(shù)題的結(jié)論不建立，即假定結(jié)論的反面建立；2）從假定出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；3）由矛盾判斷假定不正確，從而必定數(shù)題的結(jié)論正確．說明：反證法是一種間接證明命題的基本方法．在證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題時(shí)，假如運(yùn)用直接證明法比較困難或難以證明時(shí)，可運(yùn)用反證法進(jìn)行證明．反證法的基本思想：經(jīng)過證明命題的否認(rèn)是假命題，從而說明原命題是真命題．6、推測符號(hào)“”的含義：由p經(jīng)過推理能夠得出q，即假如p建立，那么q必定建立，此時(shí)可記作“pq”；由p經(jīng)過推理得不出q，即假如p建立，推不出q建立，此時(shí)可記作“pq”．7、充分條件與必需條件：一般地，假如已知pq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必需條件．8、充要條件：一般地，假如既有pq，又有qp，就記作：pq．“”叫做等價(jià)符號(hào)．pq表示pq且qp．這時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必需條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．9、充分條件與必需條件的分類：命題按條件和結(jié)論的充分性和必需性可分為四類：若pq但qp，則p是q的充分不用要條件；若qp但pq，則p是q的必需不充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件；若pq且qp，則p是q的既不充分也不用要條件．10、從會(huì)合角度理解：3①pq，相當(dāng)于PQ，即或即：要使xQ建立，只需xP就足夠了——有它就行．②qp，相當(dāng)于PQ，即或4即：為使xQ建立，一定要使xP——缺它不可以．qp等價(jià)于pq．③pq，相當(dāng)于PQ，即即：互為充要的兩個(gè)條件刻劃的是同一事物．三、難點(diǎn)知識(shí)分析本節(jié)的難點(diǎn)主假如充要條件的判斷，其解決方法主要有：1、要理解“充分條件”“必需條件”的看法，當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必需條件，所以判斷充分條件或必需條件就歸納為判斷命題的真假．2、要理解“充要條件”的看法，對(duì)于符號(hào)“”要熟習(xí)它的各樣同義詞語：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“一定并且只需”，“，反之也真”等．3、數(shù)學(xué)看法的定義擁有相當(dāng)性，即數(shù)學(xué)看法的定義都能夠當(dāng)作是充要條件，既是看法的判斷依照，又是看法所擁有的性質(zhì)．54、從會(huì)合看法看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必需條件；若AB，則A、互為充要條件．5、證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題建立（即條件的充分性），又要證明它的抗命題建立（即條件的必需性）．典型例題例1、（1）“ABC中，若C90，則A、B都是銳角”的否命題為（）A．ABC中，若C90B．ABC中，若C90C．ABC中，若C90

，則A、B都不是銳角，則A、B不都是銳角，則A、B都不必定是銳角D．以上都不對(duì)（2）用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a、b、c中起碼有一個(gè)是偶數(shù)，以下假定中正確的選項(xiàng)是（）A．假定a、b、c都是偶數(shù)B．假定a、b、c都不是偶數(shù)C．假定a、b、c至多有一個(gè)是偶數(shù)D．假定a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù)3）有甲、乙、丙、丁四位歌手參加競賽，此中有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說：“我獲獎(jiǎng)了”；乙說：“甲、丙未獲獎(jiǎng)”；丙說：“是甲或乙獲獎(jiǎng)”；丁說：“是乙獲獎(jiǎng)”．四位歌手的話只有兩句是對(duì)了，則是_______獲獎(jiǎng)了．分析：1）由命題之間的關(guān)系易選B；（2）“起碼有一個(gè)”的反面是“一個(gè)都沒有”，應(yīng)選B；（3）設(shè)獲獎(jiǎng)用“1”表示，未獲獎(jiǎng)用“0”表示，則挨次四人的話列表以下：甲乙丙丁甲：甲獲獎(jiǎng)1000乙：甲、丙未獲獎(jiǎng)0101丙：甲或乙獲獎(jiǎng)1100?。阂耀@獎(jiǎng)0100由表可知，只有第一列切合四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，故是甲獲獎(jiǎng)了．答案：（1）B；（2）B；（3）甲例2、（上海）（1）a1,b1,c1,a2,b2,c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2b1xc10和6a2x2b2xc20的解集分別為會(huì)合M和N，那么“a1b1c1”是“MN”的（）a2b2c2A．充分非必需條件B．必需非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必需條件（2）已知p:|3x4|2，q:10，則p是q的（）2x2xA．充分非必需條件B．必需非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必需條件分析：（1）假如“a1b1c10”，則“MN”，假如“a1b1c10”，則“MN”，a2b2c2a2b2c2所以“a1b1c1”“MN”，反之若“MN”，即說明二次不等式的解a2b2c2集為空集，與它們的系數(shù)比無任何關(guān)系，只需求鑒別式小于零．所以“MN”“a1b1c1”，所以“a1b1c1”是“MN”的既不充分也不用要條件．a(chǎn)2b2c2a2b2c2（2）解法一：∵p:{x|x2或x2}，q:{x|x2或x1}．23∴p:{x|2}，q:{x|1x2}．x3∴pq，qp．∴p是q的充分不用要條件．解法二：由法一知，∴qp，pq．∴pq，qp．即：p是q的充分不必需條件．答案：（1）D（2）A例3、已知命題p:方程x2mx10有兩個(gè)不相等的實(shí)負(fù)根．命題q:方程4x24(m2)x10無實(shí)根；若p或q為真，p且q為假，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．分析：先分別求知足條件p和q的m的取值范圍，再利用復(fù)合命題的真假進(jìn)行轉(zhuǎn)變與議論．分析：7由命題p能夠獲得：m240，∴m2．m0由命題q能夠獲得：[4(m2)]2160，∴1m3．∵p或q為真，p且q為假，∴p、q有且僅有一個(gè)為真．m2m3，當(dāng)p為真，q為假時(shí)，或m3m1m21m2，當(dāng)p為假，q為真時(shí)，m31所以，m的取值范圍為{m|m3或1m2}．例4、已知p:1x12，q:x22x1m20(m0)，若p是q的充分而不用要3條件，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．分析：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)變，搞清命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包括關(guān)系，從而使問題解決．分析：x12x10，則p:A{x|x2或x10}．由12解得：3又當(dāng)m0時(shí)，由x22x1m20得：1mx1m，則q:B{x|x1m或x1m,m0}．p是q的充分非必需條件，m0∴AB，聯(lián)合數(shù)軸應(yīng)有1m2，解得：0m3為所求．1m10例5、若p0，q0，p3q32．試用反證法證明：pq2．分析：本題直接由條件推證pq2是較難的，由此用反證法證之．證明：假定pq2，∵p0，q0．∴(pq)3p33p2q3pq2q38．8又∵p3q32．∴代入上式得：3pq(pq)6，即：pq(pq)2(1)．又由p3q32，即(pq)(p2pqq2)2代入(1)得：pq(pq)(pq)(p2pqq2)．∵p0，q0．∴pq0．pqp2pqq2，但這與(pq)20矛盾，∴假定pq2不建立，故pq2．說明：反證法：是一種證明題目的間接方法，在有些題目的證明頂用反證法特別簡短，但其實(shí)不是每一題用反證都恰倒利處．那么，對(duì)于哪些題目適適用反證法呢？1）從這些條件推出所知的也極少或沒法用已知條件進(jìn)行直接證明的；2）當(dāng)問題中能用來作為推理依照的公義、定理極少，沒法直接證明或證明無從下手的；3）結(jié)論以否認(rèn)的形式出現(xiàn)，沒法引用定理來證明否定形式的結(jié)論；4）對(duì)要證明的命題，已知它的抗命題是正確的；5）要求證明的命題合適某種條件的結(jié)論獨(dú)一存在．對(duì)反證法的掌握，還有待于跟著學(xué)習(xí)的深入，逐漸提升．9基礎(chǔ)練習(xí)一、選擇題1、有以下5個(gè)命題：（1）沒有男生愛踢足球；（2）全部男生都不愛踢足球；（3）起碼有一個(gè)男生不愛踢足球；（4）全部女生都愛踢足球；（5）全部男生都愛踢足球．此中命題（5）的否認(rèn)是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）2、某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，假如當(dāng)nk(kN)時(shí)，該命題建立，那么可適當(dāng)nk1時(shí)命題也建立，現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)，該命題不建立，則可推出（）．當(dāng)C．當(dāng)

n6時(shí)，該命題不建立B．當(dāng)n4時(shí)，該命題不建立D．當(dāng)

6時(shí)，該命題建立4時(shí)，該命題建立3、設(shè)會(huì)合A{x|x2x60}，B{x|mx10}，則B是A的真子集的一個(gè)充分不必需的條件是（）A．m{1,3}B．m1C．m{0,1,1}D．m{0,2}2224、（湖北）有限會(huì)合S中元素個(gè)數(shù)記作card(S)，設(shè)A、B都為有限會(huì)合，給出以下命題：①AB的充要條件是card(AB)card(A)card(B)；②AB的必需條件是card(A)card(B)；③AB（真包括）的充分條件是card(A)card(B)；④AB的充要條件是card(A)card(B)．此中真命題的序號(hào)是（）A．③④B．①②C．①④D．②③二、填空題5、有以下命題：①面積相等的三角形是全等三角形；②“若xy0，則|x||y|0”的逆命題；③“若ab，則acbc”的否命題；④“矩形的對(duì)角線相互垂直”的逆否命題．其中真命題共有_________個(gè)．6、在原命題及其抗命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)能夠是_________．7、命題p:{2}{1,2,3}，q:{2}{1,2,3}，則對(duì)復(fù)合命題的下述判斷：①p或q為真；p或q為假；③p且q為真；④p且q為假；⑤非p為真；⑥非q為假．此中判斷正確的序號(hào)是_________（填上你以為正確的全部序號(hào)）．8、假如x、y是實(shí)數(shù)，那么xy0是|xy||x||y|的________條件．109、若三條拋物線yx24ax4a3，yx2(a1)xa2，yx22ax2a中起碼有一條與x軸有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．10、設(shè)會(huì)合U{(x,y)|xR,yR}，A{(x,y)|2xym0}，B{(x,y)|xyn0}，那么點(diǎn)P(2,3)ACUB的充要條件是________．三、解答題：11、已知p:1x12，q:x22x1m20(m0)，若p是q的必需而不充分3條件，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．12、p:2m0，0n1；q:對(duì)于x的方程x2mxn0有2個(gè)小于1的正根，試分析p是q的什么條件．13、已知對(duì)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2axb0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，證明：||2且||2是2|a|4b且|b|4的充要條件．11答案：1-4：CCBB○○6：0或2或4.○○○⑥5：237：1458：充分非必需條件9：a≥0或a≤-3/210：m>-1,n>511、m>9,12、p是q的必需不充分條件對(duì)于X的方程x^2+mx+n=0有兩個(gè)小于1的正根依據(jù)韋達(dá)定理x1+x2=-mx1*x2=n由于0<x1<10<x2<1所以能夠推出:-2<m<0,0<n<1可是還需要一個(gè)條件：△=m^2-4n>0所以p不可以推出q,q能夠推出p即p是q的必