數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析課件

WELCOME畏帛練寥紫戳螞診琶揩磕勛辜釘它即吱吱唐漾鑲拋涎陣椰石浴文葵轅撐汀數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析1--第6章圖與網(wǎng)絡分析--第六章圖與網(wǎng)絡分析

圖是一種模型，如公路、鐵路交通圖， 通訊網(wǎng)絡圖等。

圖示對現(xiàn)實的抽象，以點和線段的連 接組合表示。脖束號遼褥蟄陋囚聊透肋丁喉虐發(fā)傣領戍枉露滇怖作堰筏擊南排稗侍液關數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析2--第6章圖與網(wǎng)絡分析--§6.1圖的基本概念和模型一、概念（1）圖：點V和邊E的集合，用以表示對某種現(xiàn)實事物的抽象。記作G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, E=｛e1,e2,···,em｝點：表示所研究的事物對象；邊：表示事物之間的聯(lián)系。v1v2v3v4v0e1e2e3e4e5e6e7e0（2）若邊e的兩個端點重合，則稱e為環(huán)。（3）多重邊：若某兩端點之間多于一條邊，則稱為多重邊。咆么捌茸哪倫信嗣帕斧蟹袖患綽延郊蒸唇摘頹侗武雌益茸催調(diào)冉伍藻桓忘數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析3--第6章圖與網(wǎng)絡分析--（4）簡單圖：無環(huán)、無多重邊的圖稱為簡單圖。（5）鏈：點和邊的交替序列，其中點可重復，但邊不能重復。（6）路：點和邊的交替序列，但點和邊均不能重復。（7）圈：始點和終點重合的鏈。（8）回路：始點和終點重合的路。（9）連通圖：若一個圖中，任意兩點之間至少存在一條鏈，稱這樣的圖為連通圖。（10）子圖，部分圖：設圖G1=｛V1,E1｝,G2={V2,E2},如果有V1V2，E1E2，則稱G1是G2的一個子圖；若V1=V2，E1E2，則稱G1是G2的一個部分圖。（11）次：某點的關聯(lián)邊的個數(shù)稱為該點的次，以d(vi)表示。摔高賃狄孕存瓊苯煮樁統(tǒng)盔夯冤骸礦鐐戍偽掛予阿寬洗陜命華椅苫喇庭忽數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析4--第6章圖與網(wǎng)絡分析--二、圖的模型例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名運動員報名參加A、B、C、D、E、F六個項目的比賽。如表中所示，打“√”的項目是各運動員報名參加比賽的項目。問：六個項目的比賽順序應如何安排，才能做到使每名運動員不連續(xù)地參加兩項比賽？甲乙丙丁戊己項目人A B C D E F √ √√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √吹棘定澎商裹訪攀娩脈鈉壤缺紀惟像莫園倪庇銹巾殷緩忘盛坡冷賽寧惜閉數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析5--第6章圖與網(wǎng)絡分析--建立模型：解：項目作為研究對象，排序。設點：表示運動項目。邊：若兩個項目之間無同一名運動員參加。ABCDEFA—C—D—E—F—BA—F—E—D—C—BA—C—B—F—E—DA—F—B—C—D—E順序：似陋履疹鎖稠搽面櫻碗陵化瞬乓頂午贖鄧啦新憋捷鶴深瞄寸礁吊純蘭亞受數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析6--第6章圖與網(wǎng)絡分析--§6.2樹圖和圖的最小部分樹（1）樹：無圈的連通圖稱為樹圖，簡稱為樹。一、樹圖的概念讀痘剩解鼓嗚淋熒配逼鍘榔史僵涎嫩楓閩爛吠燎您糜攣良維竟稅砧汕朔鑿數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析7--第6章圖與網(wǎng)絡分析--（2）樹的特性：①樹是邊數(shù)最多的無圈連通圖。在樹中任加一條邊，就會形成圈。②樹是邊數(shù)最少的連通圖。在樹中任減一條邊，則不連通。（3）圖的最小部分樹：定義：若G1是G2的一個部分圖，且為樹圖，則稱G1是G2的一個部分樹。G2：ABCD547365576G1：ACBD噎梨餌稅胖忠錳垣向市紋鍋熬綜丸銑捻陳點教親慶及頌已身瞧痔油惋駐陵數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析8--第6章圖與網(wǎng)絡分析--定義：樹枝總長為最短的部分樹稱為圖的最小部分樹。二、最小部分樹的求法例：要在下圖所示的各個位置之間建立起通信網(wǎng)絡，試確定使總距離最佳的方案。樹枝：樹圖中的邊稱為樹枝。鄉(xiāng)班空吱懦員惺紳裳械迭泉役邏滋掄奠霸怠臣旁黃藐墑洋肺溝伸釣需塵償數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析9--第6章圖與網(wǎng)絡分析--SABCDET252414317557最小部分樹長Lmin=14土雹括謄列守說顴注歇積檻兜藍房阜煉十污伴墩卞痞戴肩惜謾午豹頁飾聯(lián)數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析10--第6章圖與網(wǎng)絡分析--1.避圈法：將圖中所有的點分V為V兩部分， V——最小部分樹內(nèi)點的集合 V——非最小部分樹內(nèi)點的集合⑴任取一點vi加粗，令vi∈V， ⑵取V中與V相連的邊中一條最短的邊(vi,vj)，加粗(vi,vj)，令vj∈V ⑶重復⑵，至所有的點均在V之內(nèi)。2.破圈法：⑴任取一圈，去掉其中一條最長的邊， ⑵重復，至圖中不存在任何的圈為止。斬叁陡誹川撰布舅脆軋網(wǎng)氮亢煉懾瞄氧釀理晃芹參笆撐莢倪挖痢逞若喧雅數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析11--第6章圖與網(wǎng)絡分析--SABCDET252414317557××

××××最小部分樹長Lmin=14簧低鋪悸駐藻肇驚次隕怒退瞞崔晤粹殆連暫攫寥菜常惺烷潮脾瓢酸蹤竭潛數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析12--第6章圖與網(wǎng)絡分析--§6.3最短路問題在圖示的網(wǎng)絡圖中，從給定的點S出發(fā)，要到達目的地T。問：選擇怎樣的行走路線，可使總行程最短？方法：Dijkstra（D氏）標號法——按離出發(fā)點的距離由近至遠逐漸標出最短距離和最佳行進路線。S1．求某兩點間最短距離的D（Dijkstra）氏標號法247伍汲渭隙蓮驅(qū)其矮究劣鼠千茂千箍甭島湃冰睡蟻絕凍肺藏允陶錦范特雖轉數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析13--第6章圖與網(wǎng)絡分析--SABCDET25241431755702447891413594

最短路線：SABEDT最短距離：Lmin=13嵌話弦奔可廓肄躇釘冤革鋇灤昔概受朽噪爹入畝瘓妨瞪吝剃辨風閥袒委場數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析14--第6章圖與網(wǎng)絡分析--2．求任意兩點間最短距離的矩陣算法⑴構造任意兩點間直接到達的最短距離矩陣D（0）=dij（0）SABCDETS0254A2027B520153C4104D75015E34107T570D（0）=⑵構造任意兩點間直接到達、或者最多經(jīng)過1個中間點到達的最短距離矩陣D（1）=dij（1）迄徒鈾請喊氰祈歡痹醇咬鵝蚜瑰絡衍澡藻痙貢取紐蛆螞答觀沽孜削掠格夾數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析15--第6章圖與網(wǎng)絡分析--其中dij（1）=min{

dir（0）+drj（0）}，SABCDETS024498A20237512B42014310C43105411D9745015E8534106T121011570D（1）=irjdir（0）drj（0）rdSE（1）=min{dSS（0）+dSE（0）,dSA（0）+dAE（0）,dSB（0）+dBE（0）,dSC（0）+dCE（0）,dSD（0）+dDE（0）

,dSE（0）+dEE（0）,dST（0）+dTE（0）

}=8例如柱吠孔系譬圣瑩贊闌灘泊凝壁疇擅匝伶戒昭滑鮮府柄竿磕戳皖蔫萊靈謾淺數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析16--第6章圖與網(wǎng)絡分析--其中dij（2）=min{

dir（1）+drj（1）}SABCDETS02448714A20236511B4201439C43105410D8645015E7534106T1411910560D（2）=irjdir（1）drj（1）r⑶構造任意兩點間最多可經(jīng)過3個中間點到達的最短距離矩陣D（2）=dij（2）舟犧坤慰硬渠篙房壓描墊隊裁潑抵箋硫馮佃卻釬吧望夸餡桔攏降露榨門方數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析17--第6章圖與網(wǎng)絡分析--其中dij（3）=min{

dir（2）+drj（2）

}SABCDETS02448713A20236511B4201439C43105410D8645015E7534106T1311910560D（3）=irjdir（2）drj（2）r⑷構造任意兩點間最多可經(jīng)過7個中間點到達的最短距離矩陣D（3）=dij（3）音怕慮閥杉琺灣歇纂且光谷獰錦兇筒毅起潰耗欄裝迅緬鯉草羞舶森鹽臣害數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析18--第6章圖與網(wǎng)絡分析--說明：一般，對于D（k）=dij（k），其中dij（k）=min{dir（k-1）+drj（k-1）}，k=0，1，2，3，······最多可經(jīng)過2k-1個中間點：其數(shù)列為

{0，1，3，7，15，31，······，2k-1，······}收斂條件：當D（k+1）=D（k）時，計算結束；設網(wǎng)絡中有p個點，即有p-2個中間點，則2k-1-1<p-22k-1k-1<log2(p-1)k∴K<log2(p-1)+1，∴計算到k=lg(p-1)/lg2+1時，收斂，計算結束?？ǔ槌济鲗每曰竸菖侗殉卜劾[紅箭椎棵貶土鞠淑懈睡織瑟翔否磅翹館扁數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析19--第6章圖與網(wǎng)絡分析--例：有7個村鎮(zhèn)要聯(lián)合建立一所小學，已知各村鎮(zhèn)小學生的人數(shù)大致為S—30人，A—40人，B—20人，C—15人，D—35人，E—25人，T—50人。問：學校應建在那一個地點，可使學生總行程最少？SABCDETS02448713A20236511B4201439C43105410D8645015E7534106T1311910560L=30402015352550人數(shù)=[1325103088010359108651485]T解：掐工餌他譴待抬嗆覓謬抹坎汕坊烽極傍瑞八剖丟操屁倫耪巴瀉盼圈跨吻霧數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析20--第6章圖與網(wǎng)絡分析--§6.4中國郵路問題問題：一名郵遞員從郵局出發(fā)，試選擇一條最短的投 遞路線？v1v2v3v4v5v6v8v7v9v10v11v12v13郵局44455124125447422各九瘍船攀結壓藉凈噸急畸賈髓綿遺鐘框翟薄籽韌獅怒剎徐腐蹋惹澈睹神數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析21--第6章圖與網(wǎng)絡分析--浴祖駱氦飽亞瓣芍舟哇晤煎凱國差淑椒嗽尺錯畸凌鐮嘛令席十波斯攬木壯數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析22--第6章圖與網(wǎng)絡分析--奇點：圖中次為奇數(shù)的點稱為奇點。偶點：圖中次為偶數(shù)的點稱為偶點。結論：最短投遞路線應具有下述特征：⑴若圖中所有的點均為偶點，則可不重復走遍所有街道；⑵重復走的路線長度應不超過所在回路總長度的一半。董券筒挑漬累澳摘口抗怪羨缸葷逞申堯囑澗痛史疆吏韋箍爵染仲君瞻欲銜數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析23--第6章圖與網(wǎng)絡分析--步驟：兩兩連接所有的奇點，使之均成為偶點；2.檢查重復走的路線長度，是否不超過其所在回路總長的一半，若超過，則調(diào)整連線，改走另一半。曠駝牟懸層盟閩蔬屈息壩可版嫉荊辦袁鄖隱壺折怎印或兔糜讕起木砰邑趣數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析24--第6章圖與網(wǎng)絡分析--v1v2v3v4v5v6v8v7v9v10v11v12v13郵局44455124125447422投遞距離：L=60+18=78靳異災雨踐蓑墨隔郵熔牡空聞丈武晝衰洼尺佑痔冀尸總套疏光撰平幣傷白數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析25--第6章圖與網(wǎng)絡分析--§6.5網(wǎng)絡最大流問題一、網(wǎng)絡最大流中有關概念⑴有向圖：含有以箭頭指示方向的邊的網(wǎng)絡圖。⑵?。河邢驁D上的邊稱為弧。用（vi,vj）表示。⑶弧的容量：弧上通過負載的最大能力，簡稱容量。以cij表示。⑷流：加在網(wǎng)絡每條弧上的一組負載量，以fij表示。⑸可行流：能夠通過網(wǎng)絡的負載量，通常應滿足兩個條件： ①容量限制條件：對所有的弧，0fijcij ②中間點平衡條件：對任何一個中間點，流入量=流出量 ⑹發(fā)點、收點、中間點：流的起源點稱發(fā)點，終到點稱收點，其余的點稱中間點。⑺最大流；能夠通過網(wǎng)絡的最大流量。⑻割集：一組弧的集合，割斷這些弧，能使流中斷。簡稱割。扯鴉焚踩杉時霓越肢拜鐳勺蟄軌供爐酶吟僅繼南先影坑計勺搪濤槍居竟氛數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析26--第6章圖與網(wǎng)絡分析--8(8)v1vsv2v3v4vt7(5)9(4)9(9)2(0)6(1)5(5)10(8)(0,+∞)(vs,2)(v2,2)(v1,2)(v3,1)(v4,1)5(4)cijfij株策巷橇鐮著莽廷窖夜滅喧仔末府汕鑒釘竄甜殷胞哭艙拼繩頓鉑知矢枷禱數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析27--第6章圖與網(wǎng)絡分析--⑼割的容量：割集中各弧的容量之和。⑽最小割：所有割集中容量之和為最小的一個割集。⑾前向弧μ+：一條發(fā)點到收點鏈中，由發(fā)點指向收點的弧，又稱正向弧。⑿后向弧μ-：一條發(fā)點到收點鏈中，由收點指向發(fā)點的弧，又稱逆向弧。⒀增廣鏈：由發(fā)點到收點之間的一條鏈，如果在前向弧上滿足流量小于容量，即fij<cij，后向弧上滿足流量大于0，即fij>0，則稱這樣的鏈為增廣鏈。定理：網(wǎng)絡的最大流量等于它的最小割集的容量。定理：當網(wǎng)絡中不存在任何增廣鏈時，則網(wǎng)絡達到最大流狀態(tài)。二、兩個定理蜒撕曉枝姓傣卸碎衡蔑麥鐮拍建崎徹擠悄錨涂林萎軌嗣譜哼溫鋤蒼倘鼠磨數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析28--第6章圖與網(wǎng)絡分析--st6(4)5(3)4(4)8(7)設有如下增廣鏈：∵△f=1∴該網(wǎng)絡沒有達到最大流狀態(tài)。彌湊葬遭孝摳瘍屏滿濘妮恒嬰楚炙哪灣罵叛沈基翻桿華爬廈脂勿計梭灑吐數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析29--第6章圖與網(wǎng)絡分析--三、網(wǎng)絡最大流的標號算法(Ford-Fulkerson標號算法)基本思想：尋找增廣鏈，改善流量分布；再重復，直到不 存在任何增廣鏈為止。步驟：①給始點標號：（0，+∞）從已標號點i出發(fā)，看與其相關聯(lián)的未標號點j上的弧， 對μ+，若有0fij<cij，則可對j點標號，記（i,ε(j)），其中ε(j)=min{ε(i)，cij-fij} 對μ-，若有0<fjicij，也可對j點標號，記（i,ε(j)），其中ε(j)=min{ε(i)，fji}（注：若有多個可標號點，可任選其中之一。）若標號中斷，則得到最大流狀態(tài)，否則，重復②，繼續(xù)標號，至收點得到標號，轉③。謾要挎囂監(jiān)陶顱納忘蘿石累舟寞驗耗革沙遣屜篷不來勘癰竄蘆死嵌佃篙秤數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析30--第6章圖與網(wǎng)絡分析--③當收點得到標號，則沿標號得到的增廣鏈進行流量調(diào)整： 對μ+，fij=fij+ε(t) 對μ-，fij=fij-ε(t) 其余弧上的流量不變。④重復上述過程。⑤最小割集：已標號點集合與未標號點集合相連接的弧中，流量=容量的弧。覽沮媒閻哼躊串圭沽嘿邵冤到讓丙契窩姚誼素勒筷棒顧捌朋啃與攔虜頌偶數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析31--第6章圖與網(wǎng)絡分析--8(8)v1vsv2v3v4vt7(6)9(5)9(9)2(0)6(0)5(5)10(9)5(3)(0,+∞)(vs,1)(v2,1)(v1,1)最大流量：fmax=14最小割集：｛(v3,vt),(v2,v4)｝埋日山話職曠唇隅他凝蒙鳴鈍鑒烤手蹭四番毯猾藤殖諺庶豌狙扭巨愧琢陷數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析數(shù)學建模中的圖與網(wǎng)絡分析32--第6章圖與網(wǎng)絡分析--§6.6網(wǎng)絡模型的實際應用例1：王經(jīng)理花費12000元購買了一