點集拓?fù)鋵W(xué)第1章樸素集合論課件

點集拓?fù)鋵W(xué)2013年1月1拓?fù)鋵W(xué)導(dǎo)論

●拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的分支，且是與歐氏幾何不同的幾何學(xué)分支●研究對象：一般的幾何圖形（拓?fù)淇臻g）●中心任務(wù)：研究幾何圖形的一類性質(zhì)即所謂的拓?fù)湫再|(zhì)，但這類性質(zhì)與我們在歐氏幾何中研究的長度、角度、面積等不同。2

平面歐氏幾何的研究對象與內(nèi)容●研究對象：直線和圓構(gòu)成的圖形●研究內(nèi)容：長度、角度、面積、全等；

兩圖形全等即經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱兩圖形重合；而長度、角度、面積經(jīng)過上述正交變換保持不變。

●結(jié)論：歐氏幾何研究圖形在正交變換下的不變性和不變量。3

與拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)的幾個例子一筆畫問題哥尼斯堡七橋問題四色問題4一筆畫問題平面上由曲線段構(gòu)成的一個圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上不重復(fù)？例如：日，中可以一筆畫出

田，目不能一筆畫出

56歐拉的結(jié)論歐拉考察了一筆畫圖形的結(jié)構(gòu)特征。發(fā)現(xiàn)，凡是能用一筆畫成的圖形，都有這樣一個特點：每當(dāng)你用筆畫一條線進(jìn)入中間的一個點時，你還必須畫一條線離開這個點。否則，整個圖形就不可能用一筆畫出。也就是說，單獨考察圖中的任何一個點（除起點和終點外），它都應(yīng)該與偶數(shù)條線相連；如果起點與終點重合，那么，連這個點也應(yīng)該與偶數(shù)條線相連。7一筆畫問題的特點該問題與線段的長短曲直、交點的準(zhǔn)確方位、面積、體積無關(guān)。重要的是圖形中點線之間的相關(guān)位置，或相互連結(jié)的情況不能變。

8哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡是位于波羅的海東岸一座古老而美麗的城市，布勒格爾河的兩條支流在這里匯合，然后橫貫全城，流入大海。河心有一個小島。河水把城市分成了４塊，于是，人們建造了７座各具特色的橋，把哥尼斯堡連成一體。

一天又一天，７座橋上走過了無數(shù)的行人。不知從什么時候起，腳下的橋梁觸發(fā)了人們的靈感，一個有趣的問題在居民中傳開了：誰能夠一次走遍所有的７座橋，而且每座橋都只通過一次？

這個問題似乎不難，誰都樂意用它來測試一下自己的智力?？墒?，誰也沒有找到一條這樣的路線。以博學(xué)著稱的大學(xué)教授們，也感到一籌莫展。"七橋問題"難住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七橋問題"而出了名。

9七橋問題10歐拉的解法哥尼斯堡七橋問題引起了大數(shù)學(xué)家歐拉的興趣。他知道，如果沿著所有可能的路線都走一次的話，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的時間。實際上，歐拉只用了幾天的時間就解決了七橋問題。

11歐拉的想法是：兩岸的陸地與河中的小島，都是橋梁的連接點，它們的大小、形狀均與問題本身無關(guān)。因此，不妨把它們看作是4個點。7座橋是7條必須經(jīng)過的路線，它們的長短、曲直，也與問題本身無關(guān)。因此，不妨任意畫7條線來表示它們。就這樣，歐拉將七橋問題抽象成了一個“一筆畫”問題，從而否定了問題的答案。12對七橋問題的反思

七橋問題是一個幾何問題，然而，它卻是一個以前歐氏幾何學(xué)里沒有研究過的幾何問題。在以前的幾何學(xué)里，不論怎樣移動圖形，它的大小和形狀都是不變的；而歐拉在解決七橋問題時，把陸地變成了點，橋梁變成了線，而且線段的長短曲直，交點的準(zhǔn)確方位、面積、體積等概念，都變得沒有意義了。不妨把七橋畫成別的什么類似的形狀，照樣可以得出與歐拉一樣的結(jié)論。

很清楚，圖中什么都可以變，唯獨點線之間的相關(guān)位置，或相互連結(jié)的情況不能變。13四色問題14

以上幾個問題顯示出幾何圖形的一類新的幾何性質(zhì)。這類性質(zhì)與幾何圖形的大小、形狀以及所含線段的曲直等等都無關(guān)，他們不能用歐氏幾何的方法來處理，它們的特點是：在“彈性變形”下保持不變，研究這類新問題的幾何學(xué)，歐拉稱之為“位置幾何學(xué)”，人們通俗地把它叫做“橡皮幾何學(xué)”。后來，這門數(shù)學(xué)分支被正式命名為“拓?fù)鋵W(xué)”15拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)歐氏幾何研究圖形在正交變換下的不變性和不變量。拓?fù)鋵W(xué)研究更一般的圖形在“彈性變形”

下的不變性和不變量（例子）?！皬椥宰冃巍钡奶攸c：可復(fù)原，把相近的點變成相近的點（連續(xù)）16基本概念的嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述一般圖形：集合變形：映射彈性變形：可逆映射或一一映射相近：鄰域，開集相近變相近：連續(xù)圖形全等：同胚不變性：連通性，可數(shù)性，分離性等17拓?fù)鋵W(xué)的近代發(fā)展點集拓?fù)鋵W(xué)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)微分拓?fù)鋵W(xué)幾何拓?fù)鋵W(xué)思考題：設(shè)C代表平面上的圓周，“點A位于圓周的內(nèi)部”這一性質(zhì)是否在“彈性變形”下保持不變？18樸素集合論19集合的基本概念20集合的基本運算冪等律分配律交換律21集合的基本運算DeMorgan律22集合的基本運算23笛卡兒積24關(guān)系與等價關(guān)系關(guān)系相關(guān)

25恒同關(guān)系設(shè)X是一個集合，從X到X的關(guān)系簡稱為X中的一個關(guān)系，集合X中的關(guān)系{(x,x)|x∈X}稱為恒同關(guān)系或?qū)蔷€，記作Δ(X)或Δ.26自反的

對稱的若xRy則有yRx傳遞的如果xRy,yRz,則有xRz.27等價關(guān)系集合X中的一個關(guān)系如果同時是自反的，對稱的和傳遞的，則稱為集合X中的一個等價關(guān)系.28映射的性質(zhì)29常用映射單射、滿射、一一映射常值映射恒同映射（單位映射）30投射自然投射31321.6集族及其運算有標(biāo)集族設(shè)Γ是一個集合.如果對每一個γ∈Γ，指定一個集合Aγ，我們就說給定一個有標(biāo)集族{Aγ}γ∈Γ,在不至于引起混淆的前提下就直接說給定一個集族{Aγ}γ∈Γ，同時Γ稱為集族的指標(biāo)集.3334注：在集族的并中，若Γ是空集，則其并為空集，在集族的交中，Γ不能是空集.35363738集族的運算性質(zhì)定理：設(shè){Aγ}γ∈Γ是一個非空的有標(biāo)集族，A是一個集合，則39集族的運算性質(zhì)40集族的運算性質(zhì)414243映射與集族的性質(zhì)4445§1.7可數(shù)集，不可數(shù)集

重點:可數(shù)集合的定義和性質(zhì)

難點：不可數(shù)集合的存在性46對于有限集，我們今后使用下面的定義.

定義1.7.1

設(shè)X是一個集合,如果X是空集或者存在正整數(shù)使得集合X和集合{1,2,…,n}之間有一個一一映射,則稱集合X是一個有限集.

不是有限集的集合稱為無限集;如果存在一個從集合X到正整數(shù)集Z+的單射,則稱集合X是一個可數(shù)集,不是可數(shù)集的集合稱為不可數(shù)集.

注：1.有限集的任何一個子集都是有限集。2.凡是有限集都是可數(shù)