自考線性代數(shù)教案第一章行列式

自考線性代數(shù)教案第一章行列式第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一試題類型：單項(xiàng)選擇題2分×10=20分填空題2分×10=20分計(jì)算題9分×6=54分證明題6分×1=6分各部分內(nèi)容試題分?jǐn)?shù)的大致分布：第一章行列式13分左右第二章矩陣26分左右第三章向量空間21分左右第四章線性方程組19分左右第五章特征值與特征向量16分左右第六章實(shí)二次型5分左右第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一昆山市科高人才技術(shù)培訓(xùn)中心

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預(yù)備知識一、連加號與連乘號1、連加號例如：第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一2、雙重連加號兩個(gè)連加號可交換第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一3、連乘號這說明，公因數(shù)從連乘號中提出來后要乘n次。第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一二、充分必要條件第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)學(xué)歸納法第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一第一章行列式行列式行列式的定義行列式按行按列展開行列式的性質(zhì)與計(jì)算克拉默法則二階行列式與三階行列式n階行列式行列式的性質(zhì)行列式的計(jì)算知識結(jié)構(gòu)第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一1.1行列式的定義首先看一個(gè)線性方程組：如何求解？得到得到如何記憶呢？第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一一、二階行列式與三階行列式1、二階行列式定義二階行列式等于它的左上角到右下角的兩個(gè)元素的乘積減去從左下角到右上角的兩個(gè)元素的乘積。前面方程的求解公式可以改寫為第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一2、三階行列式記憶方法：用對角線法來記憶三階行列式中每一項(xiàng)前面的正、負(fù)號。第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一因此，當(dāng)a=0且b=0時(shí)，上式為零.第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一二、二階行列式與三階行列式的關(guān)系先來觀察三階行列式的定義：說明要計(jì)算一個(gè)三階行列式，可以拆成三個(gè)二階行列式來計(jì)算，但是要注意在第二個(gè)二階行列式前面的系數(shù)的前面必須取“—”號！能否推廣？這就涉及到余子式和代數(shù)余子式的問題了。第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一三、n階行列式第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一四、余子式、代數(shù)余子式第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一前面的等式可改寫為：可以推廣為能否進(jìn)一步推廣呢？第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一1.2行列式按行（列）展開

實(shí)際上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求它的值。或(1)(2)

根據(jù)定理可知：凡是含零行（行中元素全為零）或零列（列中元素全為零）的行列式，其值必為零。第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例1：分別按第二行與第三列展開行列式解：按第二行展開按第三列展開第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例2、求四階行列式的值。解：行列式的第二列及第四行中均有兩個(gè)元素為零，按第二列及第四行計(jì)算要簡單一些。第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一特例：1、對角行列式例如第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一2、上三角行列式3、下三角行列式第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一1.3行列式的性質(zhì)與計(jì)算一、行列式的性質(zhì)行列式的轉(zhuǎn)置：行列式D的行與列互換后得到的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為如果則第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)1行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即

根據(jù)性質(zhì)可知，在任意一個(gè)行列式中，行與列是處于平等地位的，凡是對“行”成立的性質(zhì)，對“列”也是成立的；反之，凡是對“列”成立的性質(zhì)，對“行”也成立。所以只需研究行列式有關(guān)行的性質(zhì)，其所有結(jié)論對列也是成立的。性質(zhì)2第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例2說明：任意一個(gè)奇數(shù)階反對稱行列式必為零。性質(zhì)3互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號，即對于如下兩個(gè)行列式第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一推論如果行列式中某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零。性質(zhì)4如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零。例如：性質(zhì)5行列式可以按行（列）拆開，即第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例如：注意：利用性質(zhì)5拆分行列式時(shí)，應(yīng)當(dāng)逐行逐列拆開。例如：第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)6利用性質(zhì)6，可以將行列式簡化，從而求出行列式的值。例：證明證：第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一定理1.3.1根據(jù)行列式的展開定理和行列式的性質(zhì)，有如下結(jié)論：第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一二、行列式的計(jì)算基本方法1、利用行列式的性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值。注意：轉(zhuǎn)化的過程，必須是恒等變換。2、利用性質(zhì)6使原行列式中的某一行或某一列產(chǎn)生很多個(gè)“0”，再按這一行或這一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求值。事實(shí)上在計(jì)算行列式值時(shí)，兩種方法結(jié)合起來使用，能使解題更加簡單。第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例1：計(jì)算行列式解：第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例2計(jì)算行列式解：第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例3計(jì)算行列式解：第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例4計(jì)算行列式解：第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例5計(jì)算n階行列式（n>1)解：將行列式按第一列展開第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例8:范德蒙德行列式（要求掌握低階的）第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一例9:計(jì)算行列式解：第四十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一第四十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一1.4克拉默法則第一節(jié)中已知道，二元線性方程組第四十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期一