2022-2023學(xué)年河北省保定市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省保定市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求解.【詳解】因為，所以，所以的虛部是，故選:C.2．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，對于下列四個命題：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，那么.其中正確命題的個數(shù)有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷各項的正誤，即可知正確命題的個數(shù).【詳解】①如果，，，，僅當(dāng)，相交時，否則，不一定平行，錯誤；②如果，，則或，錯誤；③如果，，，則或，為異面直線，錯誤；④如果，，則或，為異面直線，錯誤；故選：A3．已知，為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（

）A． B．三點共線C．三點共線 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算判斷AD，根據(jù)共線向量判斷三點共線可判斷BC.【詳解】因為知，所以，故A錯誤；因為，即，所以三點共線，故B正確；因為,所以，即三點不共線，故C錯誤；因為，故D錯誤.故選：B4．已知在中，，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)結(jié)合余弦定理即可得出結(jié)論.【詳解】解：因為，所以，所以，則，即，所以，所以，所以為等腰三角形，又，所以為等邊三角形.故選：D.5．斜二測畫法是畫一個水平放置的平面圖形直觀圖的常用方法之一．現(xiàn)在有高一年級（14）班的某學(xué)生用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=AB=1，則原平面圖形的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則：平行軸的線段與原線段長度不變，平行軸的線段長度是原長的一半，求出原長，再利用梯形面積公式求解即可.【詳解】直觀圖中，∠ADC=45°，AB=BC=1，DC⊥BC，∴，DC=2，∴原來的平面圖形上底長為1，下底為2，高為的直角梯形，∴該平面圖形的面積為.故選：B6．“端午節(jié)”為中國國家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，吃粽子便是端午節(jié)食俗之一．全國各地的粽子包法各有不同．如圖，粽子可包成棱長為的正四面體狀的三角粽，也可做成底面半徑為，高為（不含外殼）的圓柱狀竹筒粽．現(xiàn)有兩碗餡料，若一個碗的容積等于半徑為的半球的體積，則這兩碗餡料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的個數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】分別計算正四面體，圓柱和半球的體積，再根據(jù)題意將體積相除進行分析即可【詳解】棱長為的正四面體的體積，底面半徑為，高為的圓柱的體積，半徑為的半球的體積．因為，，所以這兩碗餡料最多可包三角粽個，最多可包竹筒粽個．故選：C7．在△ABC中，點M是上一點，且，P為上一點，向量，則的最小值為（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】由三點共線及平面向量基本定理得的關(guān)系，然后結(jié)合基本不等式得最小值．【詳解】因為，所以，又三點共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以的最小值為．故選：B8．已知直三棱柱的各頂點都在球的球面上，且，．若球的體積為，則這個直三棱柱的體積等于（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由球的體積公式求得球的半徑，由余弦定理求出，即可求出底面三角形外接圓的半徑與面積，再根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和平面幾何知識可求得直三棱柱的高，由柱體的體積公式計算可得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為，∵球的體積為，∴，解得.∵，，所以，又，所以，所以，∴外接圓的半徑，解得.設(shè)球心到底面的距離為，則，∴這個直三棱柱的體積.故選：B.二、多選題9．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角為60° D．向量在上的投影向量為2【答案】BCD【分析】A選項，根據(jù)向量坐標(biāo)線性運算得到，進而求出模長；B選項，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則計算；C選項，利用向量夾角計算公式計算；D選項，代入公式求出投影向量.【詳解】，所以，A錯誤；，B正確；，因為，故，所以向量與的夾角為60°，C正確；向量在上的投影向量為，故D正確.故選：BCD10．如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，則下列四個結(jié)論正確的是（

）A．直線A1C1與AD1為異面直線B．平面ACD1C．正方體的外接球的表面積為12D．三棱錐D1—ADC的體積為【答案】ABC【分析】對選項A，根據(jù)異面直線定義即可判斷A正確；對選項B，根據(jù)題意得到，再利用線面平行的判定即可得到平面，即B選項正確；對選項C，首先求出正方體外接球半徑，再求表面積即可判斷C正確；對選項D，根據(jù)，即可判斷D錯誤.【詳解】對選項A，因為平面，平面，，所以直線與為異面直線.對選項B，因為，平面，平面，所以平面，故B正確；對選項C，正方體外接球半徑，所以球體表面積，故C正確；對選項D，，故D錯誤.故選：ABC11．在中，角的對邊分別是，．則下列說法正確的是（

）A．為銳角三角形 B．面積為或C．長度為 D．外接圓的面積為【答案】BD【分析】利用余弦定理求出，從而求出邊，再利用面積公式及正弦定理求出外接圓的半徑，即可得解；【詳解】解：由，所以，因為，所以，又，所以，解得或，故C錯誤；當(dāng)時，，所以為鈍角，故A錯誤；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故B正確；，所以，所以外接圓的面積，故D正確；故選：BD12．如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動點，則的最小值為【答案】BD【分析】先求出圓錐的母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式判斷A；當(dāng)時，的面積最大，計算體積最大值判斷B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用求范圍判斷C；將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，求出判斷D作答.【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于A，圓錐的側(cè)面積為：，A錯誤；對于B，當(dāng)時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，B正確；對于C，是等腰三角形，，又因為，則，依題意，，而，因此，C錯誤；對于D，由，，得，有為等邊三角形，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面的位置，得到，則為等邊三角形，，如圖，于是，因為，，所以，D正確.故選：BD三、填空題13．在中，已知，則________________．【答案】【分析】先利用余弦定理求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求出．【詳解】解：，．故答案為：．14．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為__________．【答案】5【分析】確定表示復(fù)數(shù)幾何意義，再結(jié)合的幾何意義求解作答.【詳解】由，得復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到的距離，點到點的距離為，所以的最大值為.故答案為：515．如圖所示，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角，點的仰角以及，從點測得，若山高米，則山高等于___________.【答案】300米【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出【詳解】解：在中，，所以米，在中，，則，由正弦定理得，，所以米，在中，米，所以米，故答案為：米16．已知圓錐底面圓的直徑為2，高為，在該圓錐內(nèi)放置一個棱長為的正四面體，并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則的最大值為__________．【答案】/【分析】四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該正四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，求出圓錐的內(nèi)切球半徑，即可求正四面體的棱長a的最大值．【詳解】依題意，正四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該正四面體棱長最大時內(nèi)接于這個圓錐的內(nèi)切球，設(shè)圓錐內(nèi)切球球心為，球的半徑為，圓錐的底面圓半徑為，作出圓錐的軸截面，截圓錐得等腰，其中，截圓錐內(nèi)切球得球的大圓，該圓是的內(nèi)切圓，如圖；其中為切點，，則，即為正三角形，于是是的中心，連接，則平分，有，即有，則，設(shè)半徑的球的內(nèi)接正四面體棱長為，正四面體可以從正方體中截得，如圖：從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長為時，截得它的正方體的棱長為，而正四面體的四個頂點都在正方體上，于是正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，因此，即，所以的最大值為﹒故答案為：四、解答題17．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求實數(shù)k的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)3；(2)k＝；(3)k＜且k≠－6.【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【詳解】（1）解：因為向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．（2）解：因為＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．（3）解：因為與的夾角是鈍角，則＜0且與不共線．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．18．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）(1)求實數(shù)及；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念得到方程（不等式）組，求出的值，即可求出，從而求出其模；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及代數(shù)形式的除法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）∵，∴，，為純虛數(shù)，，解得，故，則（2），，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在第二象限，，解得，故實數(shù)的取值范圍為.19．如圖，某地計劃在一海灘處建造一個養(yǎng)殖場，射線為海岸線，，現(xiàn)用長度為1千米的網(wǎng)依托海岸線圍成一個的養(yǎng)殖場(1)已知，求的長度(2)問如何選取點，才能使得養(yǎng)殖場的面積最大，并求其最大面積【答案】(1)千米；(2)千米時，取得最大值平方千米.【分析】（1）運用正弦定理可求出的長度；（2）根據(jù)面積公式和余弦定理可求.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，代入數(shù)據(jù)得解之：千米；（2）在中，由余弦定理可得令可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取得又千米時，取得最大值平方千米.20．從以下三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．①，②，③．問題：在中，角，，所對的邊分別為，，．已知：，，__________．【答案】答案見解析【分析】由正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換可得，若選擇①：由正弦定理得，再由余弦定理解方程即可得解；若選擇②：由面積公式可得，再由余弦定理解方程即可得解；若選擇③：由誘導(dǎo)公式可得，求得后即可得解.【詳解】因為，由正弦定理得，又因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，又，所以；若選擇①：，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，所以；若選擇②：因為，所以，得，又由余弦定理，可得，得，從而得或．若選擇③：因為，且，所以，即，因為，所以，此時，這與三角形的內(nèi)角和等于相矛盾，所以這樣的三角形不存在．21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點.（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若是線段上一動點，則線段上是否存在點，使平面？說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）取的中點，連接，，利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行的判斷定理即可證明；（3）取中點，連接，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可證明．【詳解】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，，（2）取的中點，連接，，是的中點，，，又由（1）可得，，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（3）取中點，連接，，，分別為，的中點，，平面，平面，平面，又由（2）可得平面，，平面平面，是上的動點，平面，平面，線段存在點，使得平面．22．△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.【答案】(1)(2).【詳解】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，