2022-2023學(xué)年河北省保定市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省保定市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部是，故選:C.2．已知，為兩條不同的直線(xiàn)，，為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列四個(gè)命題：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，那么.其中正確命題的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤，即可知正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】①如果，，，，僅當(dāng)，相交時(shí)，否則，不一定平行，錯(cuò)誤；②如果，，則或，錯(cuò)誤；③如果，，，則或，為異面直線(xiàn)，錯(cuò)誤；④如果，，則或，為異面直線(xiàn)，錯(cuò)誤；故選：A3．已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．三點(diǎn)共線(xiàn)C．三點(diǎn)共線(xiàn) D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷AD，根據(jù)共線(xiàn)向量判斷三點(diǎn)共線(xiàn)可判斷BC.【詳解】因?yàn)橹?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，故B正確；因?yàn)?所以，即三點(diǎn)不共線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：B4．已知在中，，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)結(jié)合余弦定理即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，則，即，所以，所以，所以為等腰三角形，又，所以為等邊三角形.故選：D.5．斜二測(cè)畫(huà)法是畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形直觀圖的常用方法之一．現(xiàn)在有高一年級(jí)（14）班的某學(xué)生用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=AB=1，則原平面圖形的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則：平行軸的線(xiàn)段與原線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，平行軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度是原長(zhǎng)的一半，求出原長(zhǎng)，再利用梯形面積公式求解即可.【詳解】直觀圖中，∠ADC=45°，AB=BC=1，DC⊥BC，∴，DC=2，∴原來(lái)的平面圖形上底長(zhǎng)為1，下底為2，高為的直角梯形，∴該平面圖形的面積為.故選：B6．“端午節(jié)”為中國(guó)國(guó)家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，吃粽子便是端午節(jié)食俗之一．全國(guó)各地的粽子包法各有不同．如圖，粽子可包成棱長(zhǎng)為的正四面體狀的三角粽，也可做成底面半徑為，高為（不含外殼）的圓柱狀竹筒粽．現(xiàn)有兩碗餡料，若一個(gè)碗的容積等于半徑為的半球的體積，則這兩碗餡料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的個(gè)數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】分別計(jì)算正四面體，圓柱和半球的體積，再根據(jù)題意將體積相除進(jìn)行分析即可【詳解】棱長(zhǎng)為的正四面體的體積，底面半徑為，高為的圓柱的體積，半徑為的半球的體積．因?yàn)?，，所以這兩碗餡料最多可包三角粽個(gè)，最多可包竹筒粽個(gè)．故選：C7．在△ABC中，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，且，P為上一點(diǎn)，向量，則的最小值為（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】由三點(diǎn)共線(xiàn)及平面向量基本定理得的關(guān)系，然后結(jié)合基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，又三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．故選：B8．已知直三棱柱的各頂點(diǎn)都在球的球面上，且，．若球的體積為，則這個(gè)直三棱柱的體積等于（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由球的體積公式求得球的半徑，由余弦定理求出，即可求出底面三角形外接圓的半徑與面積，再根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和平面幾何知識(shí)可求得直三棱柱的高，由柱體的體積公式計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為，∵球的體積為，∴，解得.∵，，所以，又，所以，所以，∴外接圓的半徑，解得.設(shè)球心到底面的距離為，則，∴這個(gè)直三棱柱的體積.故選：B.二、多選題9．已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角為60° D．向量在上的投影向量為2【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)向量坐標(biāo)線(xiàn)性運(yùn)算得到，進(jìn)而求出模長(zhǎng)；B選項(xiàng)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算；C選項(xiàng)，利用向量夾角計(jì)算公式計(jì)算；D選項(xiàng)，代入公式求出投影向量.【詳解】，所以，A錯(cuò)誤；，B正確；，因?yàn)?，故，所以向量與的夾角為60°，C正確；向量在上的投影向量為，故D正確.故選：BCD10．如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．直線(xiàn)A1C1與AD1為異面直線(xiàn)B．平面ACD1C．正方體的外接球的表面積為12D．三棱錐D1—ADC的體積為【答案】ABC【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)異面直線(xiàn)定義即可判斷A正確；對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)題意得到，再利用線(xiàn)面平行的判定即可得到平面，即B選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)C，首先求出正方體外接球半徑，再求表面積即可判斷C正確；對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)，即可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫妫矫?，，所以直線(xiàn)與為異面直線(xiàn).對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，正方體外接球半徑，所以球體表面積，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．在中，角的對(duì)邊分別是，．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為銳角三角形 B．面積為或C．長(zhǎng)度為 D．外接圓的面積為【答案】BD【分析】利用余弦定理求出，從而求出邊，再利用面積公式及正弦定理求出外接圓的半徑，即可得解；【詳解】解：由，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，解得或，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以為鈍角，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故B正確；，所以，所以外接圓的面積，故D正確；故選：BD12．如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】BD【分析】先求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面積公式判斷A；當(dāng)時(shí)，的面積最大，計(jì)算體積最大值判斷B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用求范圍判斷C；將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，求出判斷D作答.【詳解】在中，，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，半徑，對(duì)于A，圓錐的側(cè)面積為：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為：，B正確；對(duì)于C，是等腰三角形，，又因?yàn)?，則，依題意，，而，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，得，有為等邊三角形，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面的位置，得到，則為等邊三角形，，如圖，于是，因?yàn)?，，所以，D正確.故選：BD三、填空題13．在中，已知，則________________．【答案】【分析】先利用余弦定理求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求出．【詳解】解：，．故答案為：．14．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】5【分析】確定表示復(fù)數(shù)幾何意義，再結(jié)合的幾何意義求解作答.【詳解】由，得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到的距離，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以的最大值為.故答案為：515．如圖所示，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及，從點(diǎn)測(cè)得，若山高米，則山高等于___________.【答案】300米【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出【詳解】解：在中，，所以米，在中，，則，由正弦定理得，，所以米，在中，米，所以米，故答案為：米16．已知圓錐底面圓的直徑為2，高為，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】/【分析】四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，求出圓錐的內(nèi)切球半徑，即可求正四面體的棱長(zhǎng)a的最大值．【詳解】依題意，正四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體棱長(zhǎng)最大時(shí)內(nèi)接于這個(gè)圓錐的內(nèi)切球，設(shè)圓錐內(nèi)切球球心為，球的半徑為，圓錐的底面圓半徑為，作出圓錐的軸截面，截圓錐得等腰，其中，截圓錐內(nèi)切球得球的大圓，該圓是的內(nèi)切圓，如圖；其中為切點(diǎn)，，則，即為正三角形，于是是的中心，連接，則平分，有，即有，則，設(shè)半徑的球的內(nèi)接正四面體棱長(zhǎng)為，正四面體可以從正方體中截得，如圖：從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為時(shí)，截得它的正方體的棱長(zhǎng)為，而正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在正方體上，于是正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，因此，即，所以的最大值為﹒故答案為：四、解答題17．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求實(shí)數(shù)k的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)3；(2)k＝；(3)k＜且k≠－6.【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【詳解】（1）解：因?yàn)橄蛄浚剑?，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．（2）解：因?yàn)椋?＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．（3）解：因?yàn)榕c的夾角是鈍角，則＜0且與不共線(xiàn)．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．18．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）(1)求實(shí)數(shù)及；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念得到方程（不等式）組，求出的值，即可求出，從而求出其模；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）∵，∴，，為純虛數(shù)，，解得，故，則（2），，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．如圖，某地計(jì)劃在一海灘處建造一個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)，射線(xiàn)為海岸線(xiàn)，，現(xiàn)用長(zhǎng)度為1千米的網(wǎng)依托海岸線(xiàn)圍成一個(gè)的養(yǎng)殖場(chǎng)(1)已知，求的長(zhǎng)度(2)問(wèn)如何選取點(diǎn)，才能使得養(yǎng)殖場(chǎng)的面積最大，并求其最大面積【答案】(1)千米；(2)千米時(shí)，取得最大值平方千米.【分析】（1）運(yùn)用正弦定理可求出的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)面積公式和余弦定理可求.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，代入數(shù)據(jù)得解之：千米；（2）在中，由余弦定理可得令可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得又千米時(shí)，取得最大值平方千米.20．從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．①，②，③．問(wèn)題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知：，，__________．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】由正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換可得，若選擇①：由正弦定理得，再由余弦定理解方程即可得解；若選擇②：由面積公式可得，再由余弦定理解方程即可得解；若選擇③：由誘導(dǎo)公式可得，求得后即可得解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以；若選擇①：，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，所以；若選擇②：因?yàn)椋?，得，又由余弦定理，可得，得，從而得或．若選擇③：因?yàn)?，且，所以，即，因?yàn)椋?，此時(shí)，這與三角形的內(nèi)角和等于相矛盾，所以這樣的三角形不存在．21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使平面？說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，，利用中位線(xiàn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線(xiàn)面平行的判斷定理即可證明；（3）取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可證明．【詳解】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，，（2）取的中點(diǎn)，連接，，是的中點(diǎn)，，，又由（1）可得，，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（3）取中點(diǎn)，連接，，，分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又由（2）可得平面，，平面平面，是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，平面，線(xiàn)段存在點(diǎn)，使得平面．22．△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長(zhǎng).【答案】(1)(2).【詳解】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，