2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題-附答案

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)乘方的性質(zhì)即可求得該式的值.【詳解】故選：D2．已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線(xiàn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若與異面，，，，，則【答案】B【分析】根據(jù)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系可判斷ABC；利用反證法可判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng)，根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行可知A正確；對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理可知C正確；對(duì)于D，假設(shè)，因?yàn)?，，，所以，同理可得，所以，這與與異面相矛盾，故假設(shè)不成立，則，故D正確.故選：B3．已知長(zhǎng)方體中，，，若與平面所成的角的余弦值為，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線(xiàn)與平面所成角的定義得，即，設(shè)，求出，根據(jù)該長(zhǎng)方體外接球的直徑是，可求出，再根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.【詳解】連，因?yàn)槠矫?，所以是與平面所成的角，所以，所以，設(shè)，則，即，又，所以，所以，即，所以，，因?yàn)樵撻L(zhǎng)方體外接球的直徑是，所以半徑，所以該外接球的表面積為.故選：B4．已知中，為的中點(diǎn)，分別為上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，用、作為基底表示，再根據(jù)向量相等，列方程求解即可.【詳解】設(shè)，則，則，則，又為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，解得，故.故選：A5．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，在其中有一個(gè)內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，圓柱的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得圓柱的側(cè)面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得其側(cè)面積最大時(shí)圓柱的高.【詳解】設(shè)該內(nèi)接圓柱底面半徑為r，高為h，又圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，高為，則，整理得，則該內(nèi)接圓柱的側(cè)面積，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）此時(shí)圓柱的高故選：B6．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上的投影向量為可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，所以在上的投影為，所以在上的投影向量?故選：C7．科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀(guān)測(cè)，最高升空至9050米，超過(guò)珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀(guān)測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力．“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長(zhǎng)55米，高18米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)球、圓柱、圓臺(tái)的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】該組合體的直觀(guān)圖如圖：半球的半徑為米，圓柱的底面半徑為米，母線(xiàn)長(zhǎng)為米，圓臺(tái)的兩底面半徑分別為米和米，高為米，所以半球的體積為（立方米），圓柱的體積為（立方米），圓臺(tái)的體積為（立方米），故該組合體的體積為（立方米）.故選：C8．在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，設(shè)的面積為S，若不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為恒成立，由余弦定理、三角形面積公式以及不等式知識(shí)，得，再令，利用輔助角公式求出的最小值即可得解.【詳解】若不等式恒成立，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，其中，，則由，得，得，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，取得最小值，所以.故選：A二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．的虛部為－2C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何表示以及共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】，，故A不正確；的虛部為－2，故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故C正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．對(duì)于，有如下命題，其中正確的有（

）A．若是銳角三角形，則不等式恒成立B．恒成立C．若，則為銳角三角形D．若，則為鈍角三角形【答案】ABD【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)單調(diào)性求得的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)A；利用余弦定理求得的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)B；利用正弦定理余弦定理求得的形狀判斷選項(xiàng)C；利用正弦定理余弦定理求得的形狀判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：若是銳角三角形，則，則，則，即.判斷正確；選項(xiàng)B：.判斷正確；選項(xiàng)C：由，可得，則，則，又，則.則為鈍角三角形.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若，則，則中C為最大角，可令，則又，則.則為鈍角三角形.判斷正確.故選：ABD11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，面和面的中心分別為，，，，分別為，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．該正方體的內(nèi)切球半徑為1B．直線(xiàn)平面C．直線(xiàn)與直線(xiàn)相交D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】ABD【分析】A顯然正確；通過(guò)證明和可證平面；根據(jù)異面直線(xiàn)的判定定理可得C不正確；作出截面為梯形，計(jì)算梯形的面積可得D正確.【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以該正方體的內(nèi)切球半徑為1，故A正確；對(duì)于B，連，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，又，平面，所以平?故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面，，平面，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，故C不正確；對(duì)于D，連，，則，，所以，則平面截正方體所得的截面是梯形，設(shè)，，的中點(diǎn)分別為，連，則，，，則，又，，所以梯形的面積為，故D正確.故選：ABD12．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得⊥平面【答案】BCD【分析】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線(xiàn)段（不含點(diǎn)）上，取兩個(gè)特殊點(diǎn)計(jì)算可知A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)在線(xiàn)段（不含上，利用線(xiàn)面平行以及棱錐的體積公式可知B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，可得點(diǎn)在線(xiàn)段（不含點(diǎn)）上，設(shè)，根據(jù)勾股定理計(jì)算可得，可判斷C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，可得點(diǎn)在線(xiàn)段上（不含），當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，可證平面，根據(jù)過(guò)定點(diǎn)與定直線(xiàn)垂直的平面有且只有一個(gè)，可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，，得，得，因?yàn)?，所以點(diǎn)在線(xiàn)段（不含點(diǎn)）上，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，所以不是定值，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，得，因?yàn)椋渣c(diǎn)在線(xiàn)段（不含上，因?yàn)?，所以的面積為定值，又三棱錐的高也為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，則，則，則，則點(diǎn)在線(xiàn)段（不含點(diǎn)）上，設(shè)，則，則，，，若，則，則，則，所以或（舍），則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，由，得，得，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)在線(xiàn)段上（不含），當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，取的中點(diǎn)，連，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在正方形中，，又，平面，所以平面，又平面，所以，在正方形中，，又，平面，所以平面，因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)與定直線(xiàn)垂直的平面有且只有一個(gè)，故有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得⊥平面，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵是得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用以及或的取值，利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得點(diǎn)的軌跡.三、填空題13．正三棱錐中，，，則直線(xiàn)和平面所成的角的正弦值為_(kāi)__．【答案】/【分析】先作出直線(xiàn)和平面所成的角，進(jìn)而利用三角函數(shù)求得該角的正弦值.【詳解】取正中心為O，連接并延長(zhǎng)交于D，連接，則D為中點(diǎn)，平面，則為直線(xiàn)和平面所成的角，中，，，，則，中，，，，則，則.則直線(xiàn)和平面所成的角的正弦值為.故答案為：14．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，i為虛數(shù)單位，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，又的幾何意義是表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，其最小值為原點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離減去圓的半徑，故的最小值為.故答案為：.15．趙爽是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，給出了“趙爽弦圖”：四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為1，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理求出，然后求出，，，，根據(jù)兩角和的余弦公式求出，最后利用平面向量數(shù)量積的定義可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，在直角三角形中，，即，即，解得或（舍），在直角三角形中，，，，在直角三角形中，，，所以，所以.故答案為：.16．在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)D與點(diǎn)A位于直線(xiàn)BC的兩側(cè)．，，則AD=______．【答案】【分析】根據(jù)余弦定理，結(jié)合不等式以及三角函數(shù)的有界性可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而由余弦定理即可求解.【詳解】由，與相加可得，由于，所以,所以,由于,故，如圖可知：,，,在中，由余弦定理可得,解得或（舍去），故答案為：四、解答題17．設(shè)，為平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩個(gè)單位向量，，，．(1)以，為基底表示；(2)若，求【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量基本定理列方程組即可求得；（2）利用向量數(shù)量積即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)，又，，．則，則，解之得，則（2），，則又由，可得，則，，又，，則，則18．已知棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱，M，N分別為棱，中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；【分析】（1）利用線(xiàn)面平行判定定理即可證得平面；（2）利用線(xiàn)面垂直判定定理即可證得平面．【詳解】（1）設(shè)，連接又棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中，M，N分別為棱，中點(diǎn)．則，，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面；（2）取中點(diǎn)S，連接，則又面面，面面，面，則面，又面，則又正方形中，，則,則，又，則，則，又，，面，則面，又面，則，又正方形中，，，平面，則平面．19．已知銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c．在下列三個(gè)條件：①，，且；②；③中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題．(1)求角A；(2)若，求內(nèi)切圓的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①利用向量平行充要條件列出關(guān)于角A的三角方程解之即可求得A的值；選②利用三角形面積公式和余弦定理列出關(guān)于角A的三角方程解之即可求得A的值；選③利用正弦定理和余弦定理列出關(guān)于角A的三角方程解之即可求得A的值；（2）利用題給條件求得的值，進(jìn)而利用面積等式求得內(nèi)切圓的半徑．【詳解】（1）選①，，且；則，即，則，又，則，即；選②由，可得則，又，則；選③由，可得，即，則，則，又，則（2）由，，可得，，聯(lián)立，解之得，或，則內(nèi)切圓的半徑20．如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)．(1)若，棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？并說(shuō)明理由；(2)若，，，異面直線(xiàn)與成角，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．【答案】(1)存在，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)面面平行的判定定理可證平面平面；（2）在上取點(diǎn)，且，連，可得，又，可得（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)與所成的角，在中，根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果.【詳解】（1）棱上存在點(diǎn)，且時(shí)，平面平面，理由如下：連，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又平面，平面，且，所以平面平?（2）由（1）可知，，又，所以，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)與成角，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在上取點(diǎn)，且，因?yàn)?，所以，又由?）知，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)與所成的角，，，所以，，，，在中，.所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.21．已知點(diǎn)為線(xiàn)段上的點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，，，，設(shè)，．(1)求證：，并求出的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）在和中用正弦定理可得，在、中用正弦定理可得，由得到，從而可得；（2）由得，代入，求出，得，再根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，得，在中，由正弦定理得，得，因?yàn)?，，，，所以，在中，由正弦定理得，得，在中，由正弦定理得，得，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，因?yàn)楹投际侨切蔚膬?nèi)角，所以，，所以，所以，所以.（2）若，則，，所以，得，所以，得，因?yàn)?，所以，則，在直角三角形中，，所以的面積為.22．已知矩形ABCD中，，，分別為中點(diǎn)，為對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿將，折疊，并使與重合，與重合，連接，得到由平面，，，圍成的無(wú)蓋幾何體，如圖2所示．(1)求證：平面；(2)若為棱上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)求此多面體體積的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）在圖2中，取的中點(diǎn)，連，，，通過(guò)證明，，可證平面；（2）將側(cè)面與展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短可求出結(jié)果；（3