行波法積分變換法

行波法積分變換法1第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一第三章行波法、積分變換法Fourier變換積分變換法:

通過積分變換,將偏微分方程的某些定解問題化為常微分方程定解問題來求解。

在這一章中，我們將介紹求解數(shù)學(xué)物理問題的方法，行波法與積分變換法.

行波法又稱為達(dá)朗倍爾方法，它是求解無界域內(nèi)波動(dòng)方程定解問題的一種有效的方法。Laplace變換2第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一第一節(jié)一維波動(dòng)方程的達(dá)朗倍爾解法(行波法)

物理解釋：

認(rèn)為弦很長，考慮遠(yuǎn)離邊界的某段弦在較短時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)，其中給定初始位移和速度，并且沒有強(qiáng)迫外力作用。它可用來描述彈性體的振動(dòng)、聲波、電磁波等波動(dòng)的傳播。一、一維波動(dòng)方程的達(dá)朗倍爾解：考慮無界弦的自由振動(dòng)問題：3第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一給我們以啟發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，令將泛定方程改寫成以下形式：方程化為只含二階混合偏導(dǎo)數(shù)的下述標(biāo)準(zhǔn)形式：

4第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

回到原來的變數(shù)x及t，立即得到泛定方程的解的一般形式即其通解為其中F及G為任意的單變量的二階連續(xù)可微函數(shù)。

由式可見，自由弦振動(dòng)方程的解可以表示為形如F(x+at)與G(x-at)的兩個(gè)函數(shù)之和。5第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一其中u=F(x+at)表示一個(gè)在初始時(shí)刻t=0時(shí)為u=F(x)的波形，以速度a>0向左（即x軸反向）傳播，而波形保持不變，它稱為左傳播波；

u=G(x-at)則表示以速度a向右傳播的波，稱為右傳播波。方程的形如u=F(x+at)或u=G(x-at)的解稱為行波。右傳播波左傳播波6第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一弦振動(dòng)方程的通解表達(dá)式說明:

弦上的任意擾動(dòng)總是以行波的形式向左右兩個(gè)方向傳播出去。

下面我們看到，通過把方程的解表示為右傳播波和左傳播波的迭加，可用來求定解問題的解。這個(gè)方法稱為行波法。7第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一代入初始條件，可得（1）

（2）將（1）式兩端關(guān)于x

求導(dǎo)一次，得（3）由（2）、（3）兩式，解得8第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一再將以上兩式關(guān)于x積分一次就得到其中c1與c2是常數(shù)。由c1+c2=0.得到9第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一這個(gè)公式稱為達(dá)朗貝爾公式。最后我們可得10第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一舉例，求解弦振動(dòng)方程的柯西問題由達(dá)朗貝爾公式可得其解為：11第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一.Fourier變換設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且則可以展開為Fourier級數(shù)其中第二節(jié)一維定解問題的積分變換法12第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一傅里葉積分定理:設(shè)f在內(nèi)滿足下面兩個(gè)條件：（1）積分存在；（2）f(x)在內(nèi)滿足狄里克萊條件：在任意有限區(qū)間至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),而且只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則若左端的f(x)在它的間斷點(diǎn)x處，13第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一定義：如果f(x)滿足傅里葉積分定理的條件，則定義f(x)的傅里葉變換為

稱為的象函數(shù)，

定義的傅里葉逆變換為稱為的象原函數(shù)。14第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一Fourier積分定理可以寫為稱為反演公式以下舉例說明15第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例1.求函數(shù)的Fourier變換16第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例2.求函數(shù)的Fourier變換17第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一Fourier變換的性質(zhì)Fourier變換及其逆變換是線性變換2.位移性質(zhì)設(shè)

，則

或18第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一3.相似性質(zhì)4.微分性質(zhì)19第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一5.積分性質(zhì)6.對稱性質(zhì)特別地,若當(dāng)時(shí),

則

20第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一7.卷積性質(zhì)如果對于f(x)與g(x),使得存在，則定義f(x)與g(x)的卷積為21第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一卷積定理（1）或（2）22第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一證明23第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一24第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一用積分變換法求解定解問題思路：選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q定解問題對泛定方程取變換對定解條件取變換含參變量的常微分方程方程的邊界條件解常微分方程的定解問題未知函數(shù)的像函數(shù)取逆變換像原函數(shù)這就是定解問題的解25第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一26第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一27第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一28第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一29第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一30第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一拉普拉斯變換拉普拉斯變換是與傅立葉變換類似的，通過積分實(shí)現(xiàn)的變換.對于函數(shù)為函數(shù)拉普拉斯變換，該積分為拉普拉斯積分，1.定義：

31第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一2.拉普拉斯變換存在定理:若函數(shù)滿足下列條件：的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)；在使得即存在常數(shù)時(shí)，的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),當(dāng)成立，則的拉普拉斯變換對一切的一定存在，其中c稱為函數(shù)的增長指數(shù)32第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一拉普拉斯逆變換又稱原函數(shù)為像函數(shù)33第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一舉例(1)求(2)求(3)求34第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一(4)求35第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一3.性質(zhì)(1)線性性質(zhì)若和，則例求同理36第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一(2)微分性質(zhì)證明一般地，37第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一(3)積分性質(zhì)證明設(shè)故由于故38第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一(4)相似性質(zhì)(5)位移性質(zhì)39第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一(7)卷積定理f(x)和g(x)的卷積則有40第四十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例二、設(shè)有一條半無限長各向同性的均勻?qū)釛U，桿與周圍介質(zhì)絕熱，不考慮熱源，它的有界的一端(）溫度的變化情況為已知，并假設(shè)在初始時(shí)刻時(shí)桿上溫度為，研究桿上溫度分布隨時(shí)間變化的規(guī)律。

它可表為以下的定解問題：(用拉普拉斯變換求解)考慮作關(guān)于時(shí)間變量的拉普拉斯變換Laplace變換應(yīng)用41第四十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一表示函數(shù)的拉普拉斯變換：

表示函數(shù)的拉普拉斯變