計(jì)算方法冪法與反冪法

計(jì)算方法冪法與反冪法第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一冪法的基本思想:任取一個(gè)非零初始向量，由矩陣A的乘冪構(gòu)造一向量序列稱(chēng)為迭代向量。問(wèn)題的提法：設(shè),其特征值為,對(duì)應(yīng)特征向量為即

，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)。求矩陣A的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。2023/6/62第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.A特征值中為強(qiáng)占優(yōu),即(1)冪法:問(wèn)題：即

，且，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。特征值滿(mǎn)足：設(shè),其特征值為,對(duì)應(yīng)特征向量為的特征向量。,即為強(qiáng)占優(yōu)。求矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)2023/6/63第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一則（且設(shè)）線(xiàn)性無(wú)關(guān),即為Rn中一個(gè)基，于是對(duì)任意的初始向量有展開(kāi)式。(用的線(xiàn)性組合表示)首先討論2023/6/64第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中

當(dāng)k=2,3,…時(shí)，即從而由假設(shè),得2023/6/65第五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一則k足夠大時(shí)，有可見(jiàn)幾乎僅差一個(gè)倍數(shù)所以：2023/6/66第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一且收斂速度由比值確定。所以有其次討論主特征值的計(jì)算。表示的第i個(gè)分量，則相鄰迭代向量的分量的比值為

2023/6/67特征向量乘以任意非零常數(shù)仍對(duì)應(yīng)于同一特征值的特征向量因此，冪法是一種迭代方法。第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一則有

即相鄰迭代向量分量的比值收斂到主特征值,且收斂速度由斂可能很慢。比值來(lái)度量,r越小收斂越快,當(dāng)而接近于1時(shí),收2023/6/68第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一（1）設(shè)有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；（3）冪法：（2）設(shè)A的特征值滿(mǎn)足則

定理7：2023/6/69第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.A的主特征值為實(shí)的r重根，即問(wèn)題：,求矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)即

，且，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。特征值滿(mǎn)足：設(shè),其特征值為,對(duì)應(yīng)特征向量為的特征向量。2023/6/610第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)任意的初始向量有不全為零），則有（且設(shè)其中，且從而因此，當(dāng)k充分大時(shí),接近于與對(duì)應(yīng)的特征向量的某個(gè)線(xiàn)性組合(不全為零)。2023/6/611第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一解取v0=(1,0)T,計(jì)算vk=Avk-1,結(jié)果如下例：求矩陣A的按模最大的特征值k(vk)1(vk)2(vk)1/(vk-1)1(vk)2/(vk-1)201010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取10.41263,v1(0.017451,0.014190)T

2023/6/612第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一在冪法中，我們構(gòu)造的序列可以看出因此，若序列收斂慢的話(huà)，可能造成計(jì)算的溢出或歸02023/6/613第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一于無(wú)窮（或趨于零），這樣造成計(jì)算機(jī)中的“溢出”。為了克服這個(gè)問(wèn)題，利用向量的方向與長(zhǎng)度無(wú)關(guān)這一性質(zhì)，將迭代向量的長(zhǎng)度規(guī)范化（“規(guī)一化”）以改進(jìn)冪法。用冪法計(jì)算A的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量時(shí),如果,,迭代向量的各個(gè)不等于零的分量將隨而趨3.冪法的改進(jìn)所謂向量長(zhǎng)度規(guī)范化,就是將向量的分量同除以一個(gè)常數(shù),使向量長(zhǎng)度為1,向量長(zhǎng)度有多種度量法,可以采用或,2023/6/614第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一任取初始向量：迭代規(guī)范化則有迭代向量序列及規(guī)范化向量序列。2023/6/615第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一即（1）若：2023/6/616收斂分別收斂反號(hào)的兩個(gè)數(shù)第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一（2）若：分別收斂到兩個(gè)數(shù)，且絕對(duì)值不同。2023/6/617第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一（2）設(shè)A特征值滿(mǎn)足

定理8（1）設(shè)有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；且

（3）及由改進(jìn)冪法得到的規(guī)范化向量序列及迭代向量序列，則有且收斂速度由比值確定。2023/6/618第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一應(yīng)用冪法時(shí),應(yīng)注意以下兩點(diǎn):2023/6/619第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)加速方法(原點(diǎn)平移法)應(yīng)用冪法計(jì)算A主特征值的收斂速度主要由比值來(lái)確定，當(dāng)r<1但接近于1時(shí),收斂可能很慢，一個(gè)補(bǔ)救的辦法是采用加速收斂的方法。引進(jìn)矩陣B=A-pI，其中P是可選擇的參數(shù)。2023/6/620設(shè)A的特征值為則B的特征值為且A,B特征向量相同。A與B除了對(duì)角線(xiàn)元素外，其它元素都相同，第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一原點(diǎn)平移法的思想如果需要計(jì)算A的主特征值，適當(dāng)選擇p使?jié)M足：（1）是B的主特征值，即對(duì)B應(yīng)用冪法,使得在計(jì)算B的主特征值的過(guò)程中得到加速。這種方法通常稱(chēng)為原點(diǎn)平移法。對(duì)于特征值的某種分布，它是十分有效的。2023/6/621第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一原點(diǎn)平移法(加速法)顯然,不管B如何選取,矩陣B=A-pI的主特征值為當(dāng)要求計(jì)算及x1時(shí)，首先考慮應(yīng)選取p滿(mǎn)足:其次,使或求極值問(wèn)題1.設(shè)A的特征值是實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足：求特征值的最大值2023/6/622第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)

時(shí)，即時(shí)，值達(dá)到最小。

即當(dāng)?shù)奶卣髦禎M(mǎn)足時(shí),最佳的p值為

說(shuō)明:

當(dāng)能初步估計(jì)時(shí)，就可選擇P*的近似值。另外，的推導(dǎo)可以理解為,因?yàn)槭諗克俣扔纱_定,如果能把原點(diǎn)向靠攏,使小下去,則可加快收斂速度。但是當(dāng)原點(diǎn)移來(lái)，收斂速度又慢下去，因此把原點(diǎn)移到與的中點(diǎn)最合適，如圖示，取作為新原點(diǎn)。到某點(diǎn)使時(shí)，就代替了，而就成了,若大起2023/6/623第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一且使當(dāng)

時(shí)，即最佳參數(shù)說(shuō)明：1在實(shí)際應(yīng)用中,A的特征值并不知道，所以,p是無(wú)法確定的，該方法只是告訴我們，當(dāng)發(fā)現(xiàn)收斂速度慢時(shí)，可以適當(dāng)移動(dòng)原點(diǎn)加速收斂。要求，選取P滿(mǎn)足2.設(shè)A的特征值是實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足：求特征值的最小值

2由以上討論知,用原點(diǎn)平移法可以求最大特征值與最小特征值.2023/6/624第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一例

設(shè)4階方陣A有特征值首先計(jì)算A的比值令作變換則B的特征值為所以對(duì)B應(yīng)用冪法，可使冪法得到加速2023/6/625第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一原點(diǎn)平移的加速方法,是一種矩陣變換方法。這種變換容易計(jì)算,又不破壞A的稀疏性，但參數(shù)p的選擇依賴(lài)于對(duì)A的特征值的分布有大致了解。2023/6/626第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一(3)反冪法(或逆迭代)設(shè)為非奇異矩陣,A的特征值滿(mǎn)足：,對(duì)應(yīng)特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則A-1的特征值為，特征向量1、反冪法用來(lái)計(jì)算矩陣A按模最小的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量計(jì)算A的按模最小的特征值的問(wèn)題就是計(jì)算A-1按模最大的特征值問(wèn)題。反冪法迭代公式：任取初始向量，2023/6/627第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一若有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量且其特征值滿(mǎn)足：則由反冪法構(gòu)造的向量序列滿(mǎn)足：且收斂速度由比值確定。2應(yīng)用反冪法求一個(gè)近似特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。問(wèn)題：已知的特征值的一個(gè)近似值（通常用其它方法得到），求對(duì)應(yīng)的特征向量（近似）2023/6/628第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一若A的特征值為，則A-pI的特征值為取，且設(shè)與其它特征值是分離的，即如果(A-pI)

-1存在,則特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量即,說(shuō)明對(duì)(A-pI)-1應(yīng)用冪法得到反冪法計(jì)算公式：是(A-pI)-1的主特征根。2023/6/629第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一即其中線(xiàn)性方程組對(duì)(A-pI)-1應(yīng)用冪法得到反冪法計(jì)算公式：取初始向量2023/6/630第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一于是312023/6/6第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理10（1）設(shè)有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量,即且收斂速度由比值確定。（2）?。樘卣髦档囊粋€(gè)近似值），設(shè)(A-pI)-1存在序列滿(mǎn)足：且,則由反冪法迭代公式（2.12）構(gòu)造向量2023/6/632第三十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一大體位置時(shí)，用此法最合適（該方法是一個(gè)有效的方法）(1)定理10可以計(jì)算特征向量xj。當(dāng)知道A的某一個(gè)特征值的（2）取為特征值的一個(gè)近似值,當(dāng)A的特征值分離情反冪法迭代公式可通過(guò)解方程組(A-pI)vk=uk-1來(lái)求vk。為了節(jié)況較好時(shí),r

很小,則它本身收斂速度很快。同時(shí)改進(jìn)了特征值。省計(jì)算量，可先將(A-pI)進(jìn)行三角分解P(A-pI)=LU。其中P為置換陣，于是每次迭代求vk相當(dāng)于求解兩個(gè)三角形方