總體集中趨勢的估計（2課時） 【 知識精講+考點精練】 高一數(shù)學下學期 課件(人教A版2019必修第二冊)

9.2.3總體集中趨勢的估計復習回顧

為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律.但有時候，我們可能不太關心總體的分布規(guī)律，而更關注總體取值在某一方面的特征.例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會更關注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能會更關注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等.在初中的學習中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢.復習回顧平均數(shù)：反映所有數(shù)據(jù)的平均水平的數(shù)據(jù)叫做平均數(shù).中位數(shù)：把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做中位數(shù).眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).例析例4.利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).

新知探索思考1：小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)時，不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？

新知探索思考2：平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關.在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關系？

一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的，那么平均數(shù)和中位數(shù)應該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù).也就是說，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.例析例5.某學校要定制高一年級的校服，學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.

如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386例析解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù).可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.

由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.例析

眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值的信息.眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度.因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值也不敏感.

一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對于分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).新知探索思考3：樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始數(shù)據(jù).例如，我們在報紙、網(wǎng)絡上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖.這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以圖9.2—1中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計方法嗎？

在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.此時，通常假設它們在組內(nèi)均勻分布.這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

因為樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.新知探索

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以上我們討論了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等特征量在刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢時的各自特點，并研究了用樣本的特征量估計總體的特征量的方法.需要注意的是，這些特征量有時也會被利用而產(chǎn)生誤導.例如，假設你到人力市場去找工作，有一個企業(yè)老板告訴你,“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元”，該如何理解這句話？這句話是真實的，但它可能描述的是差異巨大的實際情況.例如，可能這個企業(yè)的工資水平普遍較高，也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)差不多；也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低(如絕大多數(shù)是5萬元左右)，而少數(shù)員工的年收入很高，甚至達到100萬元，這句話是真實的，但它可能描述的是差異巨大的實際情新知探索況.例如，可能這個企業(yè)的工資水平普遍較高，也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)差不多；也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低(如絕大多數(shù)是5萬元左右)，而少數(shù)員工的年收入很高，甚至達到100萬元，在這種情況下年收入的平均數(shù)就比中位數(shù)大得多.盡管在后一種情況下，用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些，但這個企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù).

所以，我們要強調(diào)“用數(shù)據(jù)說話”，但同時又要防止被數(shù)據(jù)誤導，這就需要掌握更多的統(tǒng)計知識和方法.新知探索辨析1：判斷正誤.1.一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)和中位數(shù)都不一定是原始數(shù)據(jù)中的數(shù).()2.樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應的數(shù)據(jù).()3.若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變.()答案：√，×，×.新知探索辨析2：七位評委為某跳水運動員打出的分數(shù)如下：84,79,86,87,84,93,84，則這組分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（

）.A.84,85B.84,84C.85,84D.85,85答案：B.辨析3：已知一組數(shù)據(jù)7.5,8.0,8.4,7.8,8.3，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為____.答案：8.0.練習題型一：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算例1.(1)一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為().A.14，14B.12，14C.14,15.5D.12,15.5答案：A.

答案：D.練習方法技巧：

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法

平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計算的；計算眾數(shù)、中位數(shù)時，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計算.【注】如果樣本平均數(shù)遠大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值.練習變1.(1)某學習小組在一次數(shù)學試驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學習小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）.A.85分、85分、85分B.87分、85分、86分C.87分、85分、85分

D.87分、85分、90分答案：C.變1.(2)某校在一次學生演講比賽中，共有7個評委，學生最后得分為去掉一個最高分和一個最低分的平均分.某學生所得分數(shù)為9.6，9.4，9.6，9.7，9.7，9.5，9.6，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是____，該學生最后得分為____.答案：9.6,9.6.練習題型二：頻率分布直方圖中集中趨勢參數(shù)的計算例2.某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的800名學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這次測試數(shù)學成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學成績的中位數(shù)；(3)求這次測試數(shù)學成績的平均數(shù)；(4)試估計這次測驗高二年級80分以上的學生人數(shù).練習

練習

練習

練習變2.某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：(1)高一參賽學生成績的眾數(shù)，中位數(shù)；(2)高一參賽學生的平均成績.練習求：(1)高一參賽學生成績的眾數(shù)，中位數(shù)；

練習求：(2)高一參賽學生的平均成績.

課堂小結(jié)1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本