2020北京各區(qū)中考一模分類匯編-10幾何壓軸（答案含解析）

專題10幾何壓軸

一.解答題（共15小題）

1.（2020?豐臺(tái)區(qū)一模）已知403=120。，點(diǎn)P為射線0A上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），點(diǎn)C為Z4OB內(nèi)部

一點(diǎn)，連接CP,將線段“繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CQ,且點(diǎn)。恰好落在射線OB上，不與點(diǎn)。重

合.

（1）依據(jù)題意補(bǔ)全圖1;

（2）用等式表示NCPO與NC。。的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）連接OC,寫出一個(gè)OC的值，使得對(duì)于任意點(diǎn)P,總有OP+OQ=4,并證明.

【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360?？傻么鸢?；

（3）連接OC,在射線。4上取點(diǎn)D,使得DP=OQ,連接CD,首先證明ACOQ=ACDP,然后△COZ）為

等邊三角形，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：（1）補(bǔ)圖如圖1:

（2）NCQO+NCPO=180°,

理由如下：；四邊形內(nèi)角和360。，

且ZAOB=120。，NPCQ=60°,

ZCQO+ZCPO=Zl+Z2=180°.

(3)OC=4時(shí)，對(duì)于任意點(diǎn)?，總有OP+OQ=4.

證明：連接OC,在射線上取點(diǎn)。，使得。尸=OQ,連接

OP+OQ=OP+DP=OD.

-.Zl+Z2=180°,

?/Z2+Z3=180°,

/.Z1=Z3.

CP=CQ,

在ACQO和bCPD中

CP=CQ

<ZX—N3，

QO=DP

:△COQwbCDP(SAS).

.?.N4=N6,OC=CD.

Z4+Z5=60°,

/.Z5+Z6=60°.

即ZOCD=60°.

\COD是等邊三角形.

.?.OC=OD=OP+OQ=4.

B

0PDA

2.(2020?燕山一模)AA8C中，ZACB=90°,AC=BC=42,M為8c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重

合)，連接AM,以點(diǎn)A為中心，將線段AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135。，得到線段AN,連接8N.

CMB

由，備用圖

(1)依題意補(bǔ)全圖1;

(2)求證：4BAN=NAMB；

(3)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為。，寫出一個(gè)PC的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)M,

息有AQ=BN,并證明.

【分析】(1)根據(jù)題意作出圖形便可;

(2)先證明NABC=45。，再由三角形內(nèi)角和求得N/WB與NBA"的數(shù)量關(guān)系，再利用角的和差也可求得

NB/W與NB/W的關(guān)系，進(jìn)而得結(jié)論;

(3)不妨設(shè)PC的值為1(也可為其他值).任取滿足條件的點(diǎn)M，作點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)M',連接AM',

證明△AM'。三AAA?,便可得結(jié)論.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，如圖1,

CM

圖1

(2)zS4CB=90°,AC=BC,

/.ZABM=45°.

ZMAB+ZABM+ZAMB=180°,

.?.ZAMB=135°-ZMAB.

又?ZAWV=135°,

:.ZBAN=}350-ZMAB,

??.ZBAN=ZAMB；

(3)不妨設(shè)PC的值為1.

ZACB=90°,AC=BC=叵,

:.AB=2.

如圖2,任取滿足條件的點(diǎn)M,作點(diǎn)用關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)M',連接AAT,

.\AMr=AM=AN,MM'=2CM,

:.AAM'C=AAMC,

ZAM'Q=ZAMB=乙BAN.

;點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為Q,

:.MQ=2MP,

M'Q=MQ-MM'=2MP-2MC=2PC=2,

:.M'Q=AB,

:./\AM'Q=^ANB,

AQ=BN.

3.（2020嗨淀區(qū)一模）已知NMON=a,A為射線0M上一定點(diǎn)，OA=5,B為射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，連接

AB,滿足NOAB,NO3A均為銳角.點(diǎn)C在線段08上（與點(diǎn)。，8不重合），滿足AC=A3,點(diǎn)C關(guān)于

直線OM的對(duì)稱點(diǎn)為D,連接AD,OD.

（1）依題意補(bǔ)全圖1;

（2）求NBA。的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；

a

（3）若tana=±,點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上，滿足AP=OC,連接8P,寫出一個(gè)A8的值，使得BP//OD,

4

并證明.

圖1備用圖

【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可.

（2）首先證明NO+ZA3O=180。，再利用四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可.

（3）假設(shè)P3//OD,求出A6的值即可.

【解答】解：（1）圖形，如圖所示.

圖1

(2)C,。關(guān)于AO對(duì)稱，

「.AAOD3AAOC,

：.ZD=ZACO,ZAOD=ZAOC=a,

AC=AB,

ZACB=ZABC,

ZACO+ZACB=180°,

/.ZD+ZABC=180°,

??.ZDAB+ZDOB=\SO0,

NDOB=2a,

/.ZZMB=180°-2a.

（3）如圖2中，不妨設(shè)O//PB.作A〃JL8C于H,于J.

圖2

3

在RtAAOH中，(24=5,tanZAOH=-,

4

.?.AH=3,OH=4,設(shè)CH=BH=x,則8C=2x,

OD//BP,

/.NDOA=NOPB,

ZDOA=ZAOB,

/.ZAOB=NOPB、

PB=OB=4+x,

BJ.LOP,OP=OA+AP=5+4-x=9-x,

.-.OJ=JP=^(9-x),

cosZAOH=

4_5(9-X)

54+x

解得x=l.

BH=L

：.AB=yjAH2+BH2=,3?+『=而.

4.（2020?平谷區(qū)一模）AABC中，AB=BC,ZABC=90°,將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<90。）得

到線段40.作射線B。，點(diǎn)C關(guān)于射線80的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E.連接AE,CE.

(1)依題意補(bǔ)全圖形;

(2)若a=20。，直接寫出NAEC的度數(shù);

(3)寫出一個(gè)a的值，使AE=75時(shí)，線段CE的長(zhǎng)為6-1,并證明.

【分析】(1)作CF_LB￡＞并延長(zhǎng)CF到E使EF=CF,如圖1,

(2)連結(jié)8E,如圖2,利用對(duì)稱的性質(zhì)得8E=8C,則BC=8E=8A,則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出

NBCE=NBEC,NBAE=NBEA,由四邊形的內(nèi)角和可計(jì)算!11

ZBCE+ZBEC+ZBAE+ZBEA+ZABC=360°，進(jìn)而得至U2(ZB￡C+ZBEA)=270°,即可證得

NBEC+NBEA=135°,即4EC=135°；

(3)如圖2,先證明AAGE為等腰直角三角形，則AG=G￡=1,當(dāng)a=30。時(shí)，則NEBC=30。，進(jìn)而求得

ZACG=30°,解直角三.角形求得CG=y/3,即可證得CE=CG-EG=拒-I.

【解答】解：(1)如圖1,

(2)ZAEC=135°,

證明：過A作AG_LCE于G.連接AC、BE,如圖2,

由題意，BC=BE=BA,

ZBCE=ZBEC,NBAE=NBEA,

ZBCE+ZBEC+ZBAE+4BEA+ZABC=360°

.ZABC=90。，

/.2(NBEC+NBEA)=270°,

ZBEC+ZBEA=]35°,即ZAEC=135。，

(3)a=30°,

證明：ZAFC=135°,

.,.ZAEG=45。，

?.AE=立,

AG=GE=\,

當(dāng)a=30。時(shí)，

Z￡BC=30°,

BC=BE,

.-.ZBCG=75°,

ZBC4=45°,

:.ZACG=30°,

：.CG=6

C￡=>/3-l.

5.（2020?順義區(qū)一模）已知，如圖，A48C是等邊三角形.

（1）如圖1,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AD,連接2。，ABAC的平分線交BD于點(diǎn)E,連

接CE.

①求ZAED的度數(shù)；

②用等式表示線段AE、CE、之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）.

（2）如圖2,將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AO,連接8。，N8AC的平分線交QB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E,連接CE.

①依題意補(bǔ)全圖2；

②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）①證明NAE￡>=NO=15。，N54E=30。，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題.

②結(jié)論：BD=2CE+應(yīng)AE.作CKd.BC交BD于-K,連接CO.證明BE=EK,OK=0AE即可解決問

題.

（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可.

②結(jié)論：BD=叵AE-2CE.過點(diǎn)A作AF_LAE,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸（如圖3）,利用全等三角形的性

質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】（1）解：①如圖1中，

AABC是等邊二角形,

AB=AC,ABAC=60'

AE平分NBAC,

ZBAE=-ZBAC=30°,

2

由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AC,ZC4￡>=90°.

AB=AD,NBA。=150°,

:.ZABD=ZD=15°,

ZAED=ZABD+NBAE=45°.

②結(jié)論：BD=2CE+丘AE.

理山：作CKJ_3C交8。于K,連接8.

AB=AC,NBAE=NCAE,AE=AE.

AAEB=MEC(SAS),

:.BE=EC，ZAEB=ZAEC=]35°f

??.ZBEC=90°,

/.NEBC=NECB=45。,

/BCK=90。，

/.NCKB=NCBE=45。,

:?CB=CE,

CEA.BK,

..BE=EK,

ZADC=45°,ZADB=150,

??.ZCDK=ZCAE=30°,

NCKD=NAEC=135。,

.MDKsbCAE、

坐旦s

AEAC

;.DK=&AE,

:.BD=BK+DK=2BE+尬AE.

(2)解：①圖形如圖2所示:

E

圖2

②結(jié)論：BD=&AE-2CE.

理由：過點(diǎn)A作A尸交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸(如圖3).

AABC是等邊二角形，

AB=AC,ABAC=60°,

AE平分N84C,

N1」NBAC=3O°,

2

由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AC,NC4D=90。，

:.AB=AD.Z2=ZCAD-ABAC=30°,

/.Z3=Z4=75°,

.?.N5=N4—Nl=45。，

AF.LAE,

ZF=45°=Z5,

??.AF=AE,

.,.EF=6AE,

?.?Z6=ZEAF-Zl-Z2=30°,

/.Z6=Zl=30°,

又-ZF=Z5=45°,AD=AB,

.\AADF=^ABE(SAS),

：.DF=BE,

AB=AC,AE平分"AC,

/.AE垂直平分BC,

/.CE=BE，

BD=EF—DF—BE,

:.BD=>/2AE-2CE.

6.(2020?東城區(qū)一模)如圖，在正方形A88中，AB=3,仞是CO邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與。點(diǎn)重合)，點(diǎn)。

與點(diǎn)E關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱，連接4E,ME,延長(zhǎng)C8到點(diǎn)尸，使得B尸=￡>M,連接EF,AF.

(1)依題意補(bǔ)全圖1;

(2)若ZW=1,求線段EF的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)M在C力邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使A4E尸為等腰三角形，直接寫出此時(shí)tanND4M的值.

【分析】(1)根據(jù)題意作出圖形便可,

(2)連接8M,先證明AAZW=AAfiF,再證明AMEMAWW,求得,便可得所；

(3)設(shè)。M=x(x>0),求出AE、AF.EF,當(dāng)A4EF為等腰三角形，分兩種情況：AE=E/或AP=￡F,

列出方程求出x的值，進(jìn)而求得最后結(jié)果.

【解答】解：(1)根據(jù)題意作圖如下:

(2)連接,如圖2,

.點(diǎn)。與點(diǎn)E關(guān)于AM所在直線對(duì)稱,

:.AE=AD,ZMAD=ZMAE,

??四邊形438是正方形，

.-.AD=AB,ZD=ZABF=90°,

BM=BF,

:./^ADM=AABF(SAS)，

/.AF=AM,ZFAB=ZMAD,

/FAB=/NAE,

:.ZFAE=ZMAB,

:.AFAE=AMAB(SAS),

:.EF=BM,

,四邊形A8CD是正方形，

.?.BC=CD=AB=3,

DM=1,

；,CM=2,

.?.BM=4BC1+CM1=V13,

.\EF=y/\3;

(3)iSDM=x(x>0),則CM=3-x,

EF=BM=y]cM2+BC2=7x2-6x+18,

AE=AD=3,AF=AM=JDM2+AD2=7^+9,

AF>AE，

.?.當(dāng)AAE尸為等腰三角形時(shí)，只能有兩種情況：AE=EF,或AF=E產(chǎn),

①當(dāng)AE=E/時(shí)，有6-6x+18=3,解得x=3

DM3,

/.tanZ.DAM=----=-=1；

DA3

②當(dāng)4尸=石尸時(shí)，&—6x+18=&+9，解得，x=-,

2

3

小…DM?1

/.tanZ.DAM=---=—=—,

DA32

綜上，tanNOAM的值為1或1.

2

故答案為：tanZDAW的值為1或1.

2

7.（2020?石景山區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E是正方形A8CD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足Z4E3=90。且N84E<45。，過點(diǎn)。

作DFLBE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）用等式表示線段所，DF,8E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）連接CE,若AB=2后,請(qǐng)直接寫出線段CE長(zhǎng)度的最小值.

【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）過點(diǎn)4作AM_L田交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可證四邊形AEFM是矩形，由“AAS”可證AAEB=AAMD,

可得AE=AM,可證矩形AEFM是正方形，可得EF=MF,可得結(jié)論；

（3）取A8中點(diǎn)O,連接OC,由勾股定理可求OC=5,由點(diǎn)E在以。為圓心，08為半徑的圓上，可得

當(dāng)點(diǎn)E在OC上時(shí)，CE有最小值，即可求解.

【解答】解：（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖,

(2)線段￡/，DF,BE的數(shù)量關(guān)系為：EF=DF+BE,

理由如卜.：如圖，過點(diǎn)人作AMJ_FD交FO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

ZM=ZF=ZAFF=90°,

四邊形AEFM是矩形，

/.ZZME+ZM4D=90°,

?.四邊形ABCD是正方形，

ZBAE4-ZZME=90°,AB=AD,

：.ZBAE=ZMAD.

又二ZAEB=/M=90。,

../iAEB^AAMD(AAS)

.,.BE=DM,AE=AM,

二.矩形AEEM是正方形，

:.EF=MF,

MF=DF+DM，

:.EF=DF+BE；

(3)如圖，取A3中點(diǎn)O,連接。C,

AB=2也

OB=#),

OC=《OB?+BC°=75+20=5，

ZAEB=90°,

.?.點(diǎn)E在以。為圓心，OB為半徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)E在OC上時(shí)，CE有最小值，

.?.CE的最小值為5-方.

8.(2020?西城區(qū)一模)如圖，在等腰直角AA8C中，NACB=9()。.點(diǎn)尸在線段8C上，延長(zhǎng)8c至點(diǎn)。，

使得CQ=CP,連接AP,AQ.過點(diǎn)B作3DLAQ于點(diǎn)。，交AP于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.K是線段AD

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A，。不重合)，過點(diǎn)K作GNLA尸于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)交尸。的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

(1)依題意補(bǔ)全圖1;

(2)求證：NM=NF；

(3)若4W=CP,用等式表示線段AE,GN與BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖1即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AP=AQ,求得NAPQ=NQ,求得ZMFN=NQ,同理，ZNMF=ZAPQ,

等量代換得到乙MFN=ZFMN,于是得到結(jié)論；

（3）連接CE,根據(jù)線段垂宜平分線的性質(zhì)得到AP=4Q,求得NPAC=NQ4C,得到NCAQ=NQ8O,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CP=B,求得4W=C/，得到AE=BE,推出直線CE垂直平分A8,得到

NECB=ZECA=45%根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）依題意補(bǔ)全圖1如圖所示；

（2）CQ=CP,ZACB=90°,

AP=AQ,

ZAPQ=ZQ,

BDVAQ,

NQBD+NQ=NQBD+NBFC=90°,

ZQ=ZBFC,

AMFN=ZBFC,

4MFN=NQ,

同理，ZNMF=ZAPQ,

ZMFN=4FMN,

NM=NF、

(3)連接CE,

ACA.PQ,PC=CQ,

??.AP=AQ,

NPAC=NQAC,

BD±AQ,

.?.NZ)8Q+NQ=90。,

NQ+NC4Q=90。，

/.ZCAQ=4QBD,

/PAC=NFBC，

AC=BC,ZACP=ZBCF,

:.AAPC=ABFC(AAS),

:.CP=CF,

AM=CP,

AM=CF,

ZCAB=ZCBA=45°，

:.NEAB=NEBA,

AE=BE，

AC=BC,

.??直線CE垂直平分AB,

/.ZECB=ZECA=45°，

:.ZGAM=ZECF=45°,

ZAMG=ZCFE,

AAGM=ACEF(ASA),

GM=EF,

BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN,

:.BN=AE+GN.

9.（2020?通州區(qū)一模）已知線段AB,過點(diǎn)A的射線/_LA8.在射線/上截取線段AC=A3,連接BC,點(diǎn)

何為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將A8/W逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到ADPE,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.

（1）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)P不是AB中點(diǎn)時(shí)，

①據(jù)題意在圖中補(bǔ)全圖形；

②證明：以A,M,E,。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

（2）連接EM.若AB=4,從下列3個(gè)條件中選擇1個(gè)：

@BP=1,②PN=1,③BN=叵,

當(dāng)條件③（填入序號(hào)）滿足時(shí)，一定有EM=￡4,并證明這個(gè)結(jié)論.

C-------------------B

【分析】（1）①按照題中敘述畫出圖形即可；②如圖，連接AE,AM.由題意可知AABC是等腰直角三角

形，由旋轉(zhuǎn)可知=通過一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形及有一個(gè)角是直角的四邊

形是矩形進(jìn)行判斷即可；

（2）當(dāng)條件③BN=&滿足時(shí)，一定有EM=EA.先證明四邊形RM0E是矩形再證明FE垂直平分40,

從而可得答案.

【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如下:

AM.

由題意可知：。在8c上，AABC是等腰直角三角形，則A"_L8C,AM=-BC,

2

?.?旋轉(zhuǎn),

:.ADPE=ABPN,

:.DE=BN=-BC,NEDP=ZPBD.

2

ZEDB=ZEDP+NPDB=APBD+4PDB=90°,

:.EDLBC,

:.ED//AM,且瓦)=4W,

四邊形AMDE為平行四邊形.

又?AM±BC,

NAMD=90°,

四邊形AMZ乃是矩形.

(2)答：當(dāng)條件③3N=&滿足時(shí)，一定有EM=EA.

證明：與(1)②同理，此時(shí)仍有AZ)PE=Afi/W,

;.DE=BN=0DELBC,

取AM的中點(diǎn)F,連接FE,如圖所示：

48=4,則AM=4xsin45°=2>/5,

FM=0.

:.ED//FM,且ED=FM,

四邊形FMDE是平行四邊形，

又FMA.BC,

ZFMD=90°,

四邊形FMDE是矩形.

:.FE±AM,且=

EA=EM.

故答案為：③.

10.(2020?延慶區(qū)一模)如圖1,在等腰直角AABC中，ZA=90°,AB=AC=3,在邊48上取一點(diǎn)。(點(diǎn)

。不與點(diǎn)A,B重合)，在邊AC上取一點(diǎn)E,使AE=A￡>,連接。E.把AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

a(O0<a<360°),如圖2.

(1)請(qǐng)你在圖2中，連接CE和BQ,判斷線段CE和8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(2)請(qǐng)你在圖3中，畫出當(dāng)a=45。時(shí)的圖形，連接CE和BE,求出此時(shí)AC3E的面積；

(3)若AO=1,點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，在AAOE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，線段AM的最小值是.

【分析】(1)如圖1中，連接EC,BD.結(jié)論：BD=CE.證明AAOB=AAEC(S4S)即可解決問題.

(2)證明：AE//BC,推出ACBE的面積與A4BC的面積相等，即可解決問題.

(3)如圖3中，延長(zhǎng)AM到N,使得MN=AM,連接CN,DM.求出AM的取值范圍即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖1中，連接EC,BD.結(jié)論：BD=CE.

圖2

理由：ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

AB=AC>AD=AE,

:.AADB^^AEC(SAS).

:.BD=CE.

(2)如圖2中,

圖2

由題意：ZC4E=45°,

AC=AB,ZCAB=90°,

ZACB=ZABC=45°,

/.AE/IBC.

ACBE的面積與AABC的面枳相等.

AA8C的面積為4.5,

△CBE的面積4.5.

(3)如圖3中，延長(zhǎng)AM到N,使得MV=AM,連接CN,DM.

圖3

AM=MN,CM=MD,

二.四邊形ADNC是平行四邊形,

；.AD=CN=L

AC=3,

.?.3-啜）W3+1,

2^AM4,

.,.啜AM2,

AM的最小值為1.

故答案為1.

11.(2020?房山區(qū)一模)如圖1,在等腰RtAABC中，NB4C=9()。，A3=AC=2,點(diǎn)〃為BC中點(diǎn).點(diǎn)P

為48邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接。P,以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段尸。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得

到線段PE,連接EC.

圖1圖2

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2.

①根據(jù)題意在圖2中完成作圖；

②判斷EC與BC的位置關(guān)系并證明.

（2）連接EM,寫出一個(gè)BP的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)?？傆?EC,并證明.

備用圖備用圖

【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可.

②結(jié)論：EC±BC.證明ABADMAOE,推出NACE=N8=45。即可解決問題.

（2）當(dāng)8尸=一時(shí)，總有EM=EC.如圖3中，作PS_L8c于S,作PN工PS,并使得PN=PS,連接NE,

3

延長(zhǎng)NE交5c于Q,連接EM,EC.通過計(jì)算證明QM=QC,利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問題即

可.

【解答】解：（1）①圖形如圖2中所示:

A(Kt

MD

圖2

②結(jié)論：EC±BC.

理山：AB=AC,N3AC=90。，

ZB=ZACB=45°,

ZEAD=ZBAD=90°,

/BAD=NCAE,

AD=AE,

:.ABAD^ACAE(SAS),

ZB=ZACE=45°,

/.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

s.ECLBC.

(2)當(dāng)BP=」時(shí)，總有EM=EC.

2

理山：如圖3中，作PSJL8C于S,作PN_LPS,并使得尸N=PS,連接NE,延長(zhǎng)NE交8c于Q,連接EM,

EC.

PD=PE,NDPE=/SPN=90°,

ZDPS=4EPN，

PS=PN,

:.△DPS^AEPN(SAS),

:.PN=PS,ZPSD=ZN=90°,

ZPEQ=ZPSQ=ZSPN=90°，

四邊形PNQS是矩形，

PS=PN,

四邊形PNQS是正方形,

3

BP=-ZB=45°,AB=2,

2f

.-.B5=PS=—,6c=20,

4

/.BQ=2BS=^,QC=今,

M是8c的中點(diǎn),

.\MC=42,

：.MQ=QC=^,

EQVCM,

NQ是CM的垂直平分線，

EM=EC.

12.（2020?門頭溝區(qū)一模）在A48C中，ZACB=90°,NC48=30。，點(diǎn)。在A8上，連接CQ,并將CD繞

點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE,連接AE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。為4B中點(diǎn)時(shí)，直接寫出。E與AE長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段A8上一時(shí)，

①根據(jù)題意補(bǔ)全圖2；

②猜想QE與AE長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【分析】（1）想辦法證明AAOE是等邊三角形即可解決問題.

（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可.

②首先證明△的長(zhǎng)，AFBC都是等邊三角形，再證明AECFnAOCB,推出N4=N5=60。，證明

AEFA=AEFC（SAS）可得結(jié)論.

【解答】解：（D結(jié)論：DE=AE.

理由：如圖1中,

ZACB=90°,ABAC=30°,

:.AB=2BC,ZB=60°,

AD=DB,

;.CD=AD=DB,

bCDB是等邊三角形，

NCDB=60。,

DC=DE,NCDE=60。，

ZADE=[S00-ZED-ZCDB=60

DA=DC,DC=DE,

/.AD=DE,

??.AADE是等邊三角形，

DE=AE.

(2)①圖形如圖2所示：

'B

D

圖2

②如圖2-1中，結(jié)論：DE=AE.

理由：取的中點(diǎn)尸，連接CE,CF,EF.

ZACB=90°,AF=BF,

CF=AF=BF,

N3=60。，

ABCb是等邊三角形，

.DC=DE,ZCDE=60°,

「.△ECO是等邊三角形，

/.Zl+Z2=Z2+Z3=60°,CE=CD,CF=CB,

Z1=Z3,

.\AECF=ADCB(SAS),

/.Z5=ZB=60%

.N6=60。，

/.Z4=Z5=60°,

EF=EF,FA=FC,

\EFA三AEFC(SAS),

AE=EC,

EC=ED,

AE=ED.

13.(2020?朝陽區(qū)一模)四邊形A8CO是正方形，將線段CQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a(0。<?<45。)，得到線

段CE,連接OE,過點(diǎn)8作8尸，OE交OE的延長(zhǎng)線于尸，連接BE.

(1)依題意補(bǔ)全圖1;

(2)直接寫出NF8E的度數(shù)；

(3)連接AF,用等式表示線段AF與OE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)按照題中的表述畫出圖形即可;

(2)NEBE的度數(shù)為45。.由題意得，CD=CE=CB,NECD=2a,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和與互余關(guān)系分別推理即可；

(3)作,交BR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，判定A/Z43三AM￡>(A5A),可得“B=ED,AH=AF,HF=DE,

NH=45°,從而可得，尸與AF的數(shù)量關(guān)系，則可得線段A尸與OE的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：(1)補(bǔ)全圖形，如圖所示:

圖1

(2)ZFBE=45°.設(shè)。尸與AB交于點(diǎn)G,如圖所示:

圖2

由題意得，CD=CE=CB,ZECD=2a，ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

/.ZEDC=90°-a,/BCE=90。-2a,

ZCBE=45°+a,ZADF=a,

??.ZABE=45°-a.

BFLDE.

:.NBFD=9U0.

ZAGD=/FGB,

：.ZFBG=a

NFBE=NFEB=45。.

(3)DE=j2AF.

證明：如圖，作A”_LA尸，交8尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，

由(2)得NFBE=NFEB=45。.

:.FB=FE.

AH1AF,ZBAD=90°,

AHAB=ZFAD，

AHABSAFAD（ASA）,

:.HB=FD,AH=AF,

HF=DE,NH=45。.

:.HF=j2AF.

:.DE=41AF.

14.（2020?密云區(qū)一模）已知NA/CN=45。，點(diǎn)8在射線CM上，點(diǎn)A是射線CN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C

重合）.點(diǎn)B關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，連接AB、AQ和8,點(diǎn)尸在直線BC上，且滿足AF=A8.小明

在探究圖形運(yùn)動(dòng)的過程中發(fā)現(xiàn)：APLA。始終成立.

（1）如圖1,當(dāng)0°<N8AC<90。時(shí).

①求證：AF1AD；

②用等式表示線段CF、CO與CA之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)90。</34。<135。時(shí)，直接用等式表示線段CF、CO與CA之間的數(shù)量關(guān)系是.

【分析】（1）①根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AABCMAWC,求得Z48C=Z4OC,4（78=48=45。，根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

②過A作AP_LAC交C3的延長(zhǎng)線于P,求得A4PC是等腰直角三角形，ZPAC=9Q°,AP=AC,得到

ZPAF=ZDAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)如圖2,過A作AP_LAC交C5的延長(zhǎng)線于P，求得AAPC是等腰直角三角形，APAC=90。，AP=AC,

得到Na4E=N0AC