概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版習題第七章

第七章參數(shù)估計1．[一]隨機地取8只活塞，得它的直徑（以mm）求體均μ及方差σ2的矩估，并求本方差S2。解：μ，σ2的矩估是?X74.002,?21n(Xix)26106ni1S26.86106。2．[二]X1，X1，?，Xn準體的一個本。求以下各體的密度函數(shù)或散布律中的未知參數(shù)的矩估計。（）f(x)θcθx(θ1),xc其中c>0已知，θ，θ未知參數(shù)。10,其余>1（2）f(x)θxθ1,0x1其中θ>0，θ未知參數(shù)。0,其余.5）P(Xx)解：（1）E(X)

mpx(1p)mx,x0,1,2,,mp1,p未知參數(shù)。x,0xf(x)dxθcθxθdxθcθcθ1θc,令θcX，cθ1θ1θ1得θ

XXc（2）E(X)xf(x)dx1θdxθ,令θX,得θ(X)2θx0θ1θ11X5）E(X)=mp令mp=X，解得p?Xm3．[三]求上中各未知參數(shù)的極大似然估和估計。nθncnθ(x1x2xn)θ1解：（1）似然函數(shù)L(θ)f(xi)i1n,dlnL(θ)θnlncnlnL(θ)nln(θ)nθlnc(1θ)lnxilnxi0i1dθni1?θ

n

n（解唯一故極大似然估計）lnxinlnci1nnθ1nn（2）( )f(xi)θ2(x1x2xn),ln( )ln(θ)(θ1)lnxiLθLθ2i1i1dlnL(θ)n11n?n2lnxi0,lnxi)。(解唯一)故極大似然估dθ2θ2θi1θ(ni1量。nn（5）L(p)nmmximnxiP{Xxi}pi1(1p)i1，x1xni1nxminnlnL(p)lnxilnp(mnxi)ln(1p),i1i1i1nndlnL(p)ximnxii1i10dpp1pnxiX，（解唯一）故極大似然估計。解得pi2mnm4．[四(2)]X1，X1，?，Xn是來自參數(shù)λ的泊松散布體的一個本，求λ的極大似然估計及矩估計。解：（1）矩估X~π(λ)，E(X)=λ，故?=X矩估計。λnnxiλi1nλ，（2）極大似然估( )(;)e!x2!xn!i1x1nnln( )xilnλlnxi!nλLλi1i1ndlnL(λ)xii1n?極大似然估計。dλλ0,解得λX（其中p(xi;λ)P{Xxi}λxieλ,xi0,1,)xi!5．[六]一地質學家研究密歇根湖湖地域的巖石成分，隨機地自該地域取100個樣品，每個樣品有10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假定這100次觀察相互獨立，并由過去經驗知，它們都遵照參數(shù)為n=10，P的二項散布。P是該地域一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計值，該地質學家所得的數(shù)據(jù)以下樣品中屬石灰石的石子數(shù)012345678910察看到石灰石的樣品個數(shù)016723262112310解：λ的極大似然估計值為?λ=X=[四(1)]設整體X擁有散布律X123kθ22θ(1－(1－θ)2Pθ)其中θ(0<θ<1)為未知參數(shù)。已知獲取了樣本值x=1，x=2，x=1，試求θ的矩估123計值和最大似然估計值。解：（1）求θ的矩估計值(X)1222(1)3(1)2Eθθθθ[θ3(1θ)][θ(1θ)]32θ令E(X)32θX3X31215則獲取θ的矩估計值為?3θ226（2）求θ的最大似然估計值3似然函數(shù)( ){xi}{1}{2}{1}LθPXiPX1PX2PX3i1θ22θ(1θ)θ22θ5(1θ)lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求導dlnL(θ)510dθ61θ獲取唯一解?5θ68．[九(1)]體X~N（μ，σ211n），X，X，?，X是來自X的一個本。確n1Xi)2為σ2的無偏估。定常數(shù)c使c(Xi1i1解：由于n1n1n1E[c(Xi1Xi)2]c[E(Xi1Xi)2]cD(Xi1Xi)2(E(Xi1Xi))2]i1i1i1n1n1=c[D(Xi1)D(Xi)(EXi1EX1)2]c(2σ202)c(2n1)σ2i1i11n1當c時,c(Xi1Xi)2為2的無偏估計。2(n1)i1[十]X1，X2，X3，X4是來自均θ的指數(shù)散布體的本，其中θ未知，有估計T1(X1X2)1(X3X4)163T2(X12X23X34X4)5T3(X1X2X3X4)41）指出T1，T2，T3哪幾個是θ的無偏估計；2）在上述θ的無偏估中指出哪一個有效。解：（1）由于Xi遵照均θ的指數(shù)散布，所以ii)=θ2i=1,2,3,4E(X)=θ,D(X,由數(shù)學希望的性2°，3°有E(T)1[E(X)E(X2)]1[E(X3)E(X)]θ16134E(T2)1[E(X1)2E(X2)3E(X3)4E(X4)]2θ5ET1[E(X)E(X2)E(X)E(X4)]θ(3)413即T1，T2是θ的無偏估計（2）由方差的性質2°，3°并注意到X1，X2，X3，X4獨立，知D(T)1[D(X)D(X2)]1[D(X3)D(X4)]5θ21361918D(T2)1[D(X1)D(X2)D(X3)D(X4)]1θ2164D(1)>D(2)TT所以T2較為有效。14.[十四]設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為。設干燥時間整體遵照正態(tài)散布N~（μ，σ2），求μ的置信度為的置信區(qū)間。（1）若由過去經驗知σ=（小時）（2）若σ為未知。解：（1）μ的置信度為的置信區(qū)間為（Xσzα），n2計算得X6.0,查表z0.0251.96,σ0.6,即為(6.00.61.96)(5.608,6.392)9（2）μ的置信度為的置信區(qū)間為（XStα(n1)），計算得X6.0，查表(8)=.n2S219(xix)212.640.33.故為(6.00.332.3060)(5.558,6.442)8i18316.[

十六

]

隨機地取某種炮彈

9發(fā)做試驗，得炮彈口速度的樣本標準差為s=11(m/s)

。設炮口速度遵照正態(tài)散布。求這種炮彈的炮口速度的標準差

σ

的置信度為的置信區(qū)間。解：σ的置信度為的置信區(qū)間為((n1)S2,(n1)S2)(811,811)(7.4,21.1)2(n1)2(n1)17.5352.18212其中α=,n=9查表知χ2(8)17.535,χ2(8)2.1800.0250.97519.[十九]研究兩種固體燃料火箭推進器的焚燒率。設兩者都遵照正態(tài)散布，并且已知焚燒率的標準差均近似地為s，取樣本容量為n1=n2=20.得焚燒率的樣本均值分別為x1cmsx224cmsμ－μ的置信度18/,/.設兩樣本獨立，求兩焚燒率整體均值差12為的置信區(qū)間。解：12的置信度為的置信區(qū)間為μ－μ220.052(X1X2z12)(18242.582)(6.04,5.96).2n1n220其中α=，=,n=n=20,220.052,X118,X241212220.[二十]設兩位化驗員A，B獨立地對某中聚合物含氯兩用同樣的方法各做10次測定，其測定值的樣本方差依次為SA20.5419,SB20.6065.設σA2,σB2分別為A，B所測定的測定值整體的方差，設整體均為正態(tài)的。設兩樣本獨立，求方差比σA2σB2的置信度