非線性控制系統(tǒng)

非線性控制系統(tǒng)第一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二1.研究非線性系統(tǒng)的意義

1)實(shí)際控制系統(tǒng)，存在大量非線性因素。這些非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析時(shí)所得出的結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所產(chǎn)生的影響。

2)非線性特性的存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響。

§8.1非線性控制系統(tǒng)概述第二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二2非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)

1.線性系統(tǒng)描述其運(yùn)動(dòng)過程的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，故可以采用疊加原理。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，不能采用疊加原理，必須研究不同輸入所引起的輸出響應(yīng)。2.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入響應(yīng)的性質(zhì)只由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參量決定，而與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參量，而且還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。第三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二3.線性系統(tǒng)的工作狀態(tài)只可能有穩(wěn)定或不穩(wěn)定兩種，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)在物理上是不能實(shí)現(xiàn)的。在沒有外作用時(shí)，非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)在物理上可以實(shí)現(xiàn)，其頻率和振幅均由系統(tǒng)本身的特性所決定。所以通常把它稱為自激振蕩，簡(jiǎn)稱自振。自振是非線性系統(tǒng)的一個(gè)非常重要的特征，也是研究非線性系統(tǒng)的重要內(nèi)容之一。第四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二4．可以用頻率特性的概念來研究和分析線性系統(tǒng)的固有特性。不能用頻率特性、傳遞函數(shù)等線性系統(tǒng)常用的方法來研究非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)分量除產(chǎn)生同頻率振蕩外，可能產(chǎn)生倍頻振蕩和分頻振蕩。第五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二3.非線性系統(tǒng)的分類

非本質(zhì)非線性能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。本質(zhì)非線性用小偏差線性化方法不能解決的非線性。第六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有著很大的差別，諸如非線性系統(tǒng)的響應(yīng)取決于輸入信號(hào)的幅值和形式，不能應(yīng)用疊加原理，目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和特殊性，受數(shù)學(xué)工具限制，一般情況下難以求得非線性微分方程的解析解，通常采用工程上適用的近似方法。（1）相平面法（2）描述函數(shù)法（3）……4.研究非線性系統(tǒng)的方法第七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

1)相平面法用圖解方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)。通過繪制控制系統(tǒng)相軌跡，分析非線性系統(tǒng)特性。

2)描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。3)計(jì)算機(jī)求解法是利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和高速度對(duì)非線性微分方程的一種數(shù)值解法。

第八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§8.2常見非線性特性1.飽和特性

當(dāng)e(t)>0時(shí)，sgne(t)=+1；當(dāng)e(t)<0時(shí)，sgne(t)=－1

特點(diǎn)：當(dāng)輸入信號(hào)超過某一范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)而變化，將保持某一常數(shù)值不變?？蓪柡头蔷€性元件看作為一個(gè)變?cè)鲆娴谋壤h(huán)節(jié)。

作用：飽和特性將使系統(tǒng)等效增益減小，因此可用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但會(huì)降低穩(wěn)態(tài)精度。在有些系統(tǒng)中利用飽和特性起信號(hào)限幅作用。第九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二2.死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性特點(diǎn)：是當(dāng)輸入信號(hào)在零值附近的某一小范圍之內(nèi)變化時(shí)，沒有相應(yīng)的輸出信號(hào)，只有當(dāng)輸入信號(hào)大于此范圍時(shí)，才有信號(hào)輸出。常見于測(cè)量、放大、變換元件中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)中靜摩擦的影響往往也可用死區(qū)來表示。

影響：控制系統(tǒng)中死區(qū)特性的存在，將導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，而測(cè)量元件死區(qū)的影響尤為顯著。摩擦死區(qū)會(huì)造成系統(tǒng)低速運(yùn)動(dòng)的不均勻，導(dǎo)致隨動(dòng)系統(tǒng)不能準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)。作用：從等效增益的角度來看，死區(qū)特性的存在減小了系統(tǒng)的開環(huán)增益，減弱動(dòng)態(tài)響應(yīng)的振蕩傾向，故可提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性。死區(qū)的作用也可減小擾動(dòng)信號(hào)的影響，一定程度上提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。

第十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二3.間隙特性

傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙和鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象都是很常見的非線性特性。在齒輪傳動(dòng)中，由于間隙的存在，當(dāng)主動(dòng)輪方向改變時(shí)，從動(dòng)輪保持原位不動(dòng)，直到間隙消除后才改變方向。鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象是一種回環(huán)特性，又稱磁滯特性。

間隙特性對(duì)系統(tǒng)的影響比較復(fù)雜。一般說來，都是有害的。它會(huì)使系統(tǒng)靜差增大，相位滯后增大，從而使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。通常，可以通過提高齒輪加工精度和裝配精度以減小間隙；使用雙片齒輪消除間隙和設(shè)計(jì)各種校正裝置補(bǔ)償間隙的影響。第十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

由于繼電器吸合電壓和釋放電壓的不同，其特性中包含了飽和、死區(qū)、和回環(huán)特性。理想繼電特性理想的繼電特性4.繼電器特性

第十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二具死區(qū)的繼電特性具死區(qū)的繼電特性第十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二具磁滯回環(huán)的繼電特性具滯環(huán)的繼電特性第十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性

具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性第十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

由于繼電器元件在控制系統(tǒng)中常用來作為改善系統(tǒng)品質(zhì)的切換元件，因此繼電器特性在非線性系統(tǒng)的分析中占有重要地位。

第十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二5.變放大系數(shù)特性

變放大系數(shù)特性使系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)具有較大的放大系數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)迅速。而在小誤差信號(hào)時(shí)具有較小的放大系數(shù)，使系統(tǒng)響應(yīng)既緩且穩(wěn)。具有這種特性的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)品質(zhì)較好。第十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§8.3相平面法第十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二1相平面的基本概念

相平面：相軌跡：系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間變化在相平面上描繪出來的軌跡。由系統(tǒng)某變量及其導(dǎo)數(shù)(如)構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)狀態(tài)的平面。例1單位反饋系統(tǒng)相平面、相軌跡和相軌跡圖相軌跡圖：相平面

+

相軌跡簇第十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為“相”，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的點(diǎn)稱為相點(diǎn)，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變量稱為相變量，描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的平面稱為相平面，相點(diǎn)隨時(shí)間變化在相平面中的移動(dòng)軌跡稱為相軌跡。說明：相軌跡的起始點(diǎn)由系統(tǒng)的初始條件確定；箭頭方向表示隨時(shí)間t的增加系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向（總是順時(shí)針）。以各種可能的初始條件為起始點(diǎn)，可以得到相軌跡簇，相平面和相軌跡簇合稱為相平面圖。第二十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二2相軌跡的性質(zhì)對(duì)于線性定常系統(tǒng)，原點(diǎn)是唯一的平衡點(diǎn)(4)相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向上半平面:—

向右移動(dòng)下半平面:—

向左移動(dòng)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)(2)相軌跡通過橫軸的方向(3)相軌跡的奇點(diǎn)

(平衡點(diǎn))設(shè)非線性系統(tǒng)方程為：相軌跡上斜率不確定的點(diǎn)(1)相軌跡的斜率相軌跡以90°穿越

x軸第二十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例2設(shè)系統(tǒng)方程為，試?yán)L制系統(tǒng)的相軌跡。解

—

橢圓方程3相軌跡的繪制

——

解析法第二十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二解例3系統(tǒng)方程,用等傾線法繪制系統(tǒng)相軌跡圖。系統(tǒng)方程等傾線方程等傾線

——

相軌跡斜率為常數(shù)的曲線3相軌跡的繪制

——

等傾線法等傾線方程第二十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二第二十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二1.

意義：表示相軌跡上斜率相同（為同一常數(shù)）的點(diǎn)的連線，即等傾線。繪制方法：①給出不同的αi值，得出相應(yīng)的一系列等傾線方程：③從各初始點(diǎn)出發(fā)，沿著方向場(chǎng)依次連接各等傾線上的短線段，就得到系統(tǒng)在確定初始條件下的完整相軌跡。②對(duì)應(yīng)畫出每一條等傾線，并在每條等傾線上畫出表示該等傾線相應(yīng)斜率值的短線段。這些短線段表示了相軌跡通過等傾線時(shí)的方向，或者說它們構(gòu)成了相軌跡切線的“方向場(chǎng)”。第二十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

指導(dǎo)思想：在相軌跡上從初始點(diǎn)開始，沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向選取若干點(diǎn)，則系統(tǒng)從初態(tài)運(yùn)動(dòng)至穩(wěn)態(tài)的時(shí)間為：4由相軌跡求時(shí)間解微小增量法第二十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二相軌跡A-B段的平均速度：

相軌跡A-B段所用的時(shí)間：

4由相軌跡求時(shí)間解微小增量法第二十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二奇點(diǎn)與極限環(huán)——相軌跡的兩個(gè)基本特征奇點(diǎn)的類型設(shè)二階線性系統(tǒng)微分方程為（零輸入條件下）：根據(jù)ζ的取值及特征根的不同，奇點(diǎn)分為6種

由于解析法和圖解法工作量都比較大，而相軌跡主要針對(duì)二階系統(tǒng)，故一般對(duì)常見二階系統(tǒng)相軌跡的規(guī)律作一個(gè)典型的歸納，以此作為非線性系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。5二階系統(tǒng)的相軌跡第二十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二極點(diǎn)分布奇點(diǎn)相跡圖中心點(diǎn)穩(wěn)定的焦點(diǎn)穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)極點(diǎn)分布奇點(diǎn)相跡圖(2)0＜ξ＜1（穩(wěn)定）(5)-1＜ξ＜0（不穩(wěn)定）(3)ξ＞1（穩(wěn)定）(6)ξ＜-1（不穩(wěn)定）(1)ξ=0（臨界穩(wěn)定）(不穩(wěn)定)第二十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二奇點(diǎn)的作用：

①根據(jù)奇點(diǎn)類型可知系統(tǒng)的響應(yīng)類型。②為畫出完整的相軌跡提供依據(jù)。第三十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二6.非線性系統(tǒng)的相平面分析

一般步驟：（1）寫出系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，形成系統(tǒng)方程組。（2）選取狀態(tài)變量。通常選取非線性環(huán)節(jié)的輸入，即系統(tǒng)誤差e及其導(dǎo)數(shù)作為系統(tǒng)狀態(tài)變量。（3）將非線性環(huán)節(jié)分段線性化，寫出每一段的微分方程。（3）根據(jù)分段線性化將相平面劃分成若干個(gè)線性區(qū)域（分界線稱為開關(guān)線），根據(jù)各段的微分方程式繪制各區(qū)域的相軌跡。（4）把相鄰區(qū)域開關(guān)線連接起來即得非線性系統(tǒng)的相軌跡圖，由此可分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。第三十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例4設(shè)系統(tǒng)方程為求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)xe，并判定平衡點(diǎn)附近相軌跡的性質(zhì)。解令

不穩(wěn)定焦點(diǎn)；發(fā)散的螺旋線線性化特征方程鞍點(diǎn)；雙曲線(1)非本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析（各點(diǎn)連續(xù)可微）6.非線性系統(tǒng)的相平面分析第三十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例5設(shè)系統(tǒng)方程為，求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)xe，并判定平衡點(diǎn)附近相軌跡的性質(zhì)。解令當(dāng)特征方程線性化

中心點(diǎn)鞍點(diǎn)第三十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例1系統(tǒng)方程為，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。解特征方程

穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)奇點(diǎn)極點(diǎn)開關(guān)線(2)本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析第三十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例2系統(tǒng)方程為，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。解特征方程

中心點(diǎn)奇點(diǎn)極點(diǎn)

中心點(diǎn)開關(guān)線

——

劃分不同線性區(qū)域的邊界線平衡線（奇線）

——

不同區(qū)域的相軌跡相互影響而產(chǎn)生第三十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二解開關(guān)線方程線性部分非線性部分綜合點(diǎn)例3系統(tǒng)如右，已知,確定開關(guān)線方程,奇點(diǎn)位置和類型,繪制相軌跡圖。(3)非線性控制系統(tǒng)的相平面分析第三十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

中心點(diǎn)

中心點(diǎn)區(qū)域運(yùn)動(dòng)方程奇點(diǎn)特征方程極點(diǎn)奇點(diǎn)性質(zhì)奇點(diǎn)類型相軌跡以為中心的圓以

為中心的圓水平線響應(yīng)第三十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二開關(guān)線方程線性部分非線性部分比較點(diǎn)例4系統(tǒng)如右，，，分別討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。整理在

I區(qū)：拋物線方程同理在

II區(qū)：當(dāng)時(shí)，開關(guān)線為：解第三十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二開關(guān)線(I)相軌跡圖(II)系統(tǒng)方程第三十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二非線性部分比較點(diǎn)例5系統(tǒng)如右，在平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。整理線性部分解第四十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二等傾斜線等傾斜線第四十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二極限環(huán)定義：非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩時(shí)，在相軌跡圖上表現(xiàn)為一條孤立的封閉曲線，稱為極限環(huán)。特點(diǎn)：（1）極限環(huán)是最常見的一種奇線。

（2）極限環(huán)附近的其它相軌跡都無限地趨向或者離開它。（3）極限環(huán)作為一條特殊的相軌跡，既不存在平衡點(diǎn)，也不趨向無窮遠(yuǎn)，而是一個(gè)無首無尾的封閉環(huán)圈。（4）極限環(huán)把相平面劃分為內(nèi)、外兩個(gè)相互獨(dú)立部分，任何一條相軌跡都不能從內(nèi)部平面穿過極限環(huán)進(jìn)入外部平面，也不能從外部平面穿過極限環(huán)進(jìn)入內(nèi)部平面。

第四十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二各類極限環(huán)極限環(huán)

——對(duì)應(yīng)二階非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)第四十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二類型及其特點(diǎn)根據(jù)極限環(huán)附近系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可維持性將極限環(huán)分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定和半穩(wěn)定三種。(a)

穩(wěn)定(b)

不穩(wěn)定(c)

半穩(wěn)定(d)

半穩(wěn)定內(nèi)、外的相軌跡都趨于極限環(huán)內(nèi)、外的相軌跡都卷離極限環(huán)內(nèi)部卷向極限環(huán)，外部卷離內(nèi)部卷離極限環(huán)外部卷向產(chǎn)生自激振蕩，應(yīng)設(shè)法減小內(nèi)部漸進(jìn)穩(wěn)定，外部不穩(wěn)定，應(yīng)設(shè)法增大內(nèi)、外均不穩(wěn)定，應(yīng)設(shè)法避免。同不穩(wěn)定的極限環(huán)

總的來說，控制系統(tǒng)中不希望產(chǎn)生極限環(huán)，如不能做到完全消除或避免，也應(yīng)設(shè)法將其限制在工程允許的范圍之內(nèi)。第四十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二非線性部分比較點(diǎn)例6系統(tǒng)如右，在平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。整理線性部分解第四十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二第四十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例7系統(tǒng)方程為，繪制相軌跡圖；分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。解令值角第四十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二值角系統(tǒng)方程等傾斜線第四十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§8.4描述函數(shù)法第四十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

描述函數(shù)是非線性特性的一種線性近似方法。它是線性系統(tǒng)理論中的頻率特性法在一定假設(shè)條件下，在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。它主要用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及確定非線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)特性。應(yīng)用這種方法時(shí)非線性系統(tǒng)的階數(shù)不受限制。描述函數(shù)的最基本思想是用輸出信號(hào)中的基波分量來代替非線性元件在正弦輸入信號(hào)作用下的實(shí)際輸出。

本節(jié)主要學(xué)習(xí)三個(gè)基本內(nèi)容：描述函數(shù)的基本概念、典型非線性特性的描述函數(shù)、用描述函數(shù)法分析在無外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩問題。第五十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

圖8-36非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

描述函數(shù)的基本概念

描述函數(shù)是對(duì)系統(tǒng)中的非線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出進(jìn)行諧波線性化處理后得到的，其表達(dá)形式類似于線性系統(tǒng)中的幅相頻率特性。

非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖8-36。其中：G(s)—線性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

N—非線性元件描述函數(shù)第五十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

若在N(A)的輸入端加一正弦輸入信號(hào)時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出一般為含有高次諧波的周期函數(shù)，將其用傅里葉級(jí)數(shù)展開為：

諧波線性化即：忽略高次諧波，只考慮基波分量的線性化方法。直流分量第n次諧波分量式中，An、Bn為傅里葉系數(shù)第五十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

因非線性特性大多為奇對(duì)稱，則直流分量A0=0；同時(shí)各諧波分量的幅值與基波相比都比較??；再考慮到實(shí)際系統(tǒng)的線性部分一般都具有低通特性，因此，可以忽略其高次諧波分量，只考慮基波分量，即n=1。則：按照傅里葉分解法，其偶函數(shù)分量和奇函數(shù)分量的系數(shù)分別為：而直流分量：其中：y(x)=-y(-x)第五十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

可見：非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入情況下，其輸出也可近似具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式，即是一個(gè)與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，只是幅值和相位發(fā)生了變化。由于只是用一次基波代替了總的輸出，因此，將這種近似處理方法稱為諧波線性化。

諧波線性化的條件：①非線性系統(tǒng)應(yīng)能夠簡(jiǎn)化為圖8.36所示的典型結(jié)構(gòu)。②非線性特性應(yīng)具有奇對(duì)稱性，即：f1(e)=-f1(-e)

保證非線性元件輸出的平均值即直流分量A0=0。③系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波特性。第五十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

描述函數(shù)定義：在正弦信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。用N(A)表示。由上分析可知：對(duì)于非線性元件，輸入時(shí)，諧波線性化后的輸出為：則描述函數(shù)為：第五十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

描述函數(shù)的求?。骸纠?.1】設(shè)繼電特性為試計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。解：設(shè)第五十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二可見：（1）描述函數(shù)N(A)表達(dá)了非線性元件對(duì)于基波正弦量的傳遞能力；類似于線性系統(tǒng)的頻率特性，利用描述函數(shù)可以把非線性元件近似的看做一個(gè)線性元件。（2）當(dāng)非線性特性是無回環(huán)的單值函數(shù)時(shí)，其虛部

;如飽和特性和死區(qū)特性；是非單值函數(shù)時(shí)，則不為零，如間隙特性。無回環(huán)的繼電特性是單值函數(shù)，有回環(huán)的繼電特性是非單值函數(shù)。非線性環(huán)節(jié)為單/非單值函數(shù)時(shí),N(A)是實(shí)/復(fù)數(shù),虛部為/不為0

第五十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二描述函數(shù)的物理意義：（1）線性系統(tǒng)頻率特性是正弦輸入信號(hào)頻率ω的函數(shù)，與其幅值A(chǔ)無關(guān)；而非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)則是正弦輸入信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù)，而與頻率ω?zé)o關(guān)

---因非線性元件一般為非儲(chǔ)能元件。（2）非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為關(guān)于正弦輸入信號(hào)幅值A(chǔ)的復(fù)變?cè)鲆娣糯笃?。第五十八頁，共八十一頁，編輯?023年，星期二2.

典型非線性特性的描述函數(shù)（1）理想繼電特性的描述函數(shù)理想繼電特性在正弦輸入信號(hào)作用下的波形如圖所示。圖理想繼電特性正弦輸入作用下的輸出波形ωt第五十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

由于y(t)是周期為2π的單值方波函數(shù)，且關(guān)于π點(diǎn)齊對(duì)稱，所以A0=A1=0，。第六十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二（2）死區(qū)特性的描述函數(shù)圖死區(qū)特性正弦輸入作用下的輸出波形X第六十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二由于死區(qū)特性仍為單值奇函數(shù)，故只需要求解B1。故，死區(qū)特性的描述函數(shù)為：第六十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二（3）飽和特性的描述函數(shù)a-aX圖飽和特性正弦輸入作用下的輸出波形第六十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

因y(t)為平頂對(duì)稱波形，故只需計(jì)算(0,π)區(qū)間內(nèi)的積分，此時(shí)：其中：同理可求出：故，飽和特性的描述函數(shù)為：第六十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二（4）間隙特性的描述函數(shù)圖間隙特性正弦輸入作用下的輸出波形第六十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

間隙特性是多值函數(shù)，A1、B1均不為0，描述函數(shù)為輸入信號(hào)振幅X的復(fù)函數(shù)。

y(t)為有時(shí)間滯后且削頂?shù)恼也?，其前半周期與后半周期波形相同，符號(hào)相反。故計(jì)算A1、B1時(shí)可只半波積分。由此求得間隙特性的描述函數(shù)為：

描述函數(shù)為復(fù)函數(shù)，說明輸出對(duì)輸入有相位差，即輸出滯后于輸入。

同理可求出其它非線性特性的描述函數(shù)，如具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電特性、組合（串聯(lián)元件）非線性特性等。見P413表8-1所示。第六十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二3.

非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析分析的條件：假定非線性系統(tǒng)具有圖8.36所示的典型結(jié)構(gòu)，并且系統(tǒng)的線性部分是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)全部位于復(fù)平面的左半部。分析的內(nèi)容：

①非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；②自激振蕩及其穩(wěn)定性，振幅和頻率的計(jì)算。分析的依據(jù)：線性系統(tǒng)中的奈氏穩(wěn)定判據(jù)。分析的思路：在復(fù)平面做出線性部分的奈氏圖G(jω)，和非線性部分N(A)的負(fù)倒特性圖，根據(jù)兩者的關(guān)系，引入奈氏判據(jù)，就可進(jìn)行非線性系統(tǒng)的分析。第六十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

將系統(tǒng)中的非線性元件看作是具有復(fù)增益N(A)的放大器后，整個(gè)系統(tǒng)就可以等效為一個(gè)變?cè)鲆娴木€性系統(tǒng)，并可用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

由上分析可知，N(A)只是輸入信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù)，則：

可見，非線性元件可以看作是具有復(fù)數(shù)增益N(A)的放大器，即元件的描述函數(shù)，就是元件的等效復(fù)增益。N(A)x(t)y(t)

非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)G(jω)

如右圖系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為：對(duì)應(yīng)閉環(huán)特征方程為：第六十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

定義：稱為描述函數(shù)的負(fù)倒特性。

對(duì)比線性系統(tǒng)中的奈氏判據(jù)，當(dāng)G(jω)=-1時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)。顯然-1/N(A)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的（-1,j0）點(diǎn)?？梢?，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲線過點(diǎn)（-1,j0），而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲線與負(fù)倒特性曲線-1/N(A)曲線相交。可見：只要在復(fù)平面上同時(shí)會(huì)出線性部分的奈氏曲線和非線性部分的負(fù)倒特性曲線，便可以利用奈氏判據(jù)來判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。方法如下：第六十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二①若G(jω)曲線不包圍-1/N(A)曲線，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。

（如圖a），而且兩者距離越遠(yuǎn)，穩(wěn)定性越好。②若G(jω)曲線包圍-1/N(A)曲線，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（如圖b）。③若G(jω)曲線與-1/N(A)曲線相交，理論上將產(chǎn)生等幅振蕩的周期運(yùn)動(dòng)。（如圖c，有兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn)A和B）。(a)穩(wěn)定(a)不穩(wěn)定(a)自激振蕩圖非線性系統(tǒng)的奈氏圖與負(fù)倒特性的關(guān)系第七十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二（3）自振蕩的分析與計(jì)算

由上分析可知，若G(jω)曲線與-1/N(A)曲線相交，非線性系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩，此時(shí)對(duì)輸入信號(hào)至少存在一組（A,ω）參數(shù)滿足這一條件。一般來說，控制系統(tǒng)不希望有自振蕩現(xiàn)象產(chǎn)生，為此應(yīng)分析自振蕩產(chǎn)生的條件，為系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)整和校正裝置的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

穩(wěn)定性分析——小擾動(dòng)法

在自振蕩點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)受到小擾動(dòng)后，若最后能回到該點(diǎn)，則自振蕩是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。第七十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二

如圖，系統(tǒng)有A、B兩個(gè)自振蕩點(diǎn)，由奈氏判據(jù)知，奈氏圖以外（左側(cè)）為穩(wěn)定區(qū)，里側(cè)（右側(cè)）為不穩(wěn)定區(qū)。

經(jīng)小擾動(dòng)法分析，A點(diǎn)自振蕩不穩(wěn)定，B點(diǎn)穩(wěn)定。（0＜A＜XA

或XB≤A＜∞）系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍是：圖非線性系統(tǒng)自振蕩的穩(wěn)定性ωX不穩(wěn)定區(qū)振蕩發(fā)散穩(wěn)定區(qū)第七十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二自振蕩穩(wěn)定性的簡(jiǎn)易判斷方法

在自振蕩