構(gòu)件內(nèi)力和強度計算課件

第4章構(gòu)件的內(nèi)力和強度計算4.1強度計算的基本概念4.2內(nèi)力與截面法4.3桿件的內(nèi)力圖4.4桿件的應(yīng)力及強度計算習(xí)題44.1強度計算的基本概念變形固體指受力后形狀、大小發(fā)生改變的物體。變形固體有如下的基本假設(shè)。(1)各向同性：物體各個方向的力學(xué)性能相同；(2)均勻連續(xù)：物體內(nèi)被同一種物質(zhì)充滿，沒有空隙；(3)小變形：物體受到外力后產(chǎn)生的變形與物體的原始尺寸相比很小，有時甚至可以忽略不計。強度指構(gòu)件抵抗破壞的能力。構(gòu)件某一方向的尺寸遠大于其他兩個方向的尺寸時稱為桿件（見圖4-1）。桿件的小變形有拉伸與壓縮、剪切與擠壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲四種基本形式。圖4-1桿件4.2內(nèi)力與截面法桿件的內(nèi)力指桿件受到外力作用時，其內(nèi)部產(chǎn)生的保持其形狀和大小不變的反作用力。該反作用力隨外力的作用而產(chǎn)生，隨外力的消失而消失。截面法是求桿件內(nèi)力的方法。截面法求內(nèi)力的步驟：(1)作一假想截面把桿件切開成兩部分（見圖4-2（a））；(2)留下其中的一部分，并在切開處加上假設(shè)的內(nèi)力（如圖4-2(b)或圖4-2(c)所示）；(3)以該部分為研究對象列靜力平衡方程，求解未知的內(nèi)力。圖4-2截面法求內(nèi)力【例4-1】如圖4-3所示，桿件在A、B兩點受兩等值反向共線的力P的作用，求任意截面m-m處的內(nèi)力（軸力）。

解此桿受兩力作用而處于平衡。作假想截面m-m將桿件切開，留下左半段（稱為左截），并在截面上加上右半部分在該截面上對左半部分的作用力Nm；沿桿件的軸線取坐標(biāo)軸x?！苮=0，-P+Nm=0則

Nm=P式中，Nm為m-m截面的內(nèi)力，又稱桿件的軸力。軸力與該截面垂直。圖4-3例4-1圖圖4-4拉伸與壓縮(a)拉伸；(b)壓縮【例4-2】一螺栓受到兩個等值、反向而互相平行且距離很近的力P、P′的作用(見圖4-5(a))，求截面m-m的內(nèi)力。

解如圖4-5(b)所示，作假想截面將螺栓切開。取螺栓的下半部分為研究對象，在截面上加上內(nèi)力Q，如圖4-5（c）所示，列平衡方程：

∑x=0,P-Q=0則Q=P式中，Q稱為截面上的剪力，在該截面上與截面平行。構(gòu)件的這種受力情況稱為剪切。圖4-5例4-2圖【例4-3】一圓形桿件受兩個力偶矩相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面互相平行且垂直于桿件的軸線的力偶m，m′的作用(見圖4-6（a）)，求截面m-m上的內(nèi)力。

解仍用左截法，留下截面左半段桿件，取坐標(biāo)軸x(見圖4-6(b))。列力偶平衡方程：

∑mx(F)=0，m-Mn=0

則Mn=m式中，Mn為截面上的內(nèi)力，實際為一力偶，稱為扭矩，單位為N·m。扭矩與截面平行。如采用右截法，則如圖4-6(c)所示。圖4-6例4-3圖【例4-4】如圖4-7(a)所示，一水平桿件受A、B兩支座支承，桿上受一垂直力P的作用。設(shè)桿長L、a、b均已知，求1-1和2-2截面上的內(nèi)力。

解取桿AB為研究對象，求支座A、B的約束反力（見圖4-7（b）），得作1-1截面，用左截法(如圖4-7（c）所示)。設(shè)截面形心為O，列平衡方程∑y=0，NA-Q1=0

則Q1=NA

式中，Q1為截面1-1上的剪力。剪力的正負(fù)：左截時，Q向下為正，向上為負(fù)；右截時，Q向上為正，向下為負(fù)。觀察該圖，內(nèi)力Q1與NA組成了一力偶，則1-1截面上必有一內(nèi)力偶與之平衡。設(shè)截面的內(nèi)力偶為M1，列力偶平衡方程

∑mc(F)=0，NA×(a-Δ)-M1=0

得M1=NA×a式中，M1為截面1-1上的內(nèi)力偶，稱為截面1-1上的彎矩，單位為N·m。它垂直于截面。圖4-7例4-4圖4.3桿件的內(nèi)力圖由以上例題可以看出，當(dāng)桿件受到力的作用時，桿件上各段截面的內(nèi)力不同。為了清楚地反映桿件的內(nèi)力沿軸線變化的情況而作的圖稱桿件的內(nèi)力圖。下面分別對桿件在受到拉伸、扭轉(zhuǎn)、彎曲時，橫截面的內(nèi)力圖的作法進行介紹?！纠?-5】一左端固定的桿件受到三個沿軸線方向的力的作用，P1=15kN，P2=13kN，P3=8kN（見圖4-8（a）），求截面1-1、2-2、3-3（見圖4-8（b））的內(nèi)力，并畫出內(nèi)力圖。解(1）求出固定端反力R=10kN。（2）依前面介紹過的方法，分別求出各截面的內(nèi)力：作1-1截面（內(nèi)力圖見圖4-8(c)），得N1=10kN;作2-2截面（內(nèi)力圖見圖4-8(d)），得N2=-5kN;作3-3截面（內(nèi)力圖見圖4-8(e)），得N3=8kN。(3）定坐標(biāo)軸N-x，垂直坐標(biāo)軸N表示內(nèi)力，單位為kN；水平線為x軸，代表桿件的軸線。(4）按照正內(nèi)力在x軸上方，負(fù)內(nèi)力在x軸下方，參照各段內(nèi)力的大小，分段作表示內(nèi)力的水平線，即得到反映桿件各段內(nèi)力的圖線（見圖4-8(f)）。此圖稱為軸力圖。軸力圖清楚地反映出該桿件各段是受到拉伸或是壓縮，以及各段內(nèi)力的大小，比較直觀。為多個載荷作用下的拉壓桿的強度及變形計算帶來很大的方便。圖4-8例4-5圖【例4-6】一圓軸受四個力偶作用(見圖4-9(a))，m1=110Nm，m2=50Nm，m3=20Nm，m4=30Nm。作軸的扭矩圖。解作1-1截面，取其左段研究（見圖4-9(b)），設(shè)該截面的扭矩為Mn1，有平衡方程:

∑mx(F)=0，Mn1=-110Nm

同理可得截面2-2的扭矩Mn2=-50Nm（見圖4-9（c）），截面3-3的扭矩Mn3=-30Nm。由以上各截面的扭矩可作出圓軸的內(nèi)力圖。圖4-9例4-6圖【例4-7】已知一水平梁兩端由鉸鏈支承（稱簡支梁），受力P=12kN（見圖4-10(a)）。作梁的內(nèi)力圖。解(1）先求出兩支點的反力，作梁的受力圖（見圖4-10（b））?！苮=0∑mA(F)=0，P×2-NB×3=0∑y=0，NA+NB-P=0NA=P-NB=12-8=4kN

(2）作1-1截面，距A點為x1(見圖4-10(b))，并留下截面的左段。此時，右段對左段的作用相當(dāng)于固定端。在截面上加上內(nèi)力Q1和M1（均假設(shè)為正向，見圖4-10（c）），列平衡方程：∑y=0得截面1-1的剪力Q1=NA=4kN以梁的軸線為x軸，剪力Q的值為垂直坐標(biāo)軸，則在A-B段，剪力的圖線為一水平線，在x軸的上方，并與x軸平行?！苖C(F)=0截面1-1的彎矩M1(x)=NAx，可見為一隨截面位置而變化的一次函數(shù)，在圖線上是一斜直線。以梁的軸線為x軸，彎矩M的值為垂直坐標(biāo)軸，則當(dāng)x=0時，M1=MA=0;當(dāng)x=2m時，M1=NA×2=4×2=8kNm。由以上兩點可畫出梁A-C段的彎矩圖線。圖4-10例4-7圖圖4-10例4-7圖（3）作截面2-2，距A點為x2，留下截面的左段。在截面上加上內(nèi)力Q2和M2（均假設(shè)為正向，見圖4-10(d)），列平衡方程：∑y=0得截面2-2的剪力Q2=NA-P=4-12=-8kN則C-B段的剪力圖線為一水平線，在x軸的下方。A-C、C-B兩段圖線反映出水平梁各個橫截面的剪力的情況，稱為剪力圖（見圖4-10(e)）。再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，M2-NAx+P(x-2)=0M2=NAx-P(X-2)=4x-12(x-2)=24-8x

由上式可以看出，該段彎矩圖線也為一斜直線：當(dāng)x=2m時，M2=MC=24-8×2=8kNm；當(dāng)x=3m時，M2=MB=0。由此可以繪出C-B段的彎矩圖線。連同已繪出的A-C段彎矩圖線稱為梁的彎矩圖，如圖4-10(f)所示?！纠?-8】水平梁在C處受力偶m的作用（見圖4-11(a)），設(shè)L、a、b均已知，求作梁的彎矩圖。解(1）先求出兩支座反力：NA=NB=m/L（見圖4-11(b)，注意NA的方向）。(2）求剪力和彎矩。在A-C段距A點x1處作1-1截面，取左段，在截面上加上內(nèi)力Q1、M1（見圖4-11(c)），列平衡方程：

∑y=0，-NA-Q1=0則剪力為一常數(shù)，其圖線應(yīng)為一水平線，在x軸的下方，并與x軸平行（見圖4-11(e)）。再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，NAx+M2=0M2=-NAx可見彎矩圖線為一斜直線。當(dāng)x=0時，M2=MA=0;當(dāng)x=a-Δ時（Δ為無窮小量），M2=-NA(a-Δ)=-ma/L?？衫L出該段彎矩圖線（見圖4-10(f)）。(3）在C-B段距A點x2處作2-2截面，并加上內(nèi)力Q2、M2（見圖4-11(d)），列平衡方程：

∑y=0，-NA-Q2=0其圖線與左段相同。再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，NAx-m+M2=0可見其圖線仍為一直線。當(dāng)x=a+Δ時，當(dāng)x=L時，由以上兩點可繪出C-B段的彎矩圖線（見圖4-11（f））。圖4-11例4-8圖圖4-11例4-8圖4.4桿件的應(yīng)力及強度計算

4.4.1桿件應(yīng)力的概念求出桿件的內(nèi)力后，一般還不能判斷桿件是否易被破壞。如當(dāng)兩個受拉伸的桿件的內(nèi)力相同時，桿件粗的就不容易破壞，顯然這與桿件的橫截面面積有關(guān)。因此，要判斷桿件在外力作用下是否破壞，不僅要知道內(nèi)力的大小，還要知道內(nèi)力在桿件橫截面上的分布規(guī)律及分布的密集程度。從而就引出了應(yīng)力的概念。取截面上的微面積ΔA，其上作用的內(nèi)力的合力為ΔP，則ΔP/ΔA稱為微面積ΔA的平均應(yīng)力，當(dāng)ΔA趨于無窮小時，則得該點的應(yīng)力p。p為一矢量，可分解成垂直于截面的分量σ和切于截面的分量τ(見圖4-12)。σ稱截面上的正應(yīng)力，τ稱為截面上的剪應(yīng)力。桿件變形不同，其截面上的應(yīng)力的性質(zhì)和分布也不同。圖4-124.4.2桿件的強度計算強度計算的內(nèi)容主要為構(gòu)件的強度校核、截面設(shè)計和許可載荷計算。強度計算包括拉伸與壓縮、剪切與擠壓、圓軸扭轉(zhuǎn)和彎曲等四種基本變形下的強度計算。

1.拉伸與壓縮強度計算拉伸強度條件σ=N/A=［σl］其中：N——橫截面上的軸力，單位為N；A——橫截面的面積，單位為m

2；［σl］——桿件材料的許用拉伸應(yīng)力，單位為MPa；σ——桿件橫截面上的實際工作應(yīng)力，單位為MPa。

壓縮強度條件其中：N、A同上;［σy］——桿件材料的許用壓縮應(yīng)力，單位為MPa；σ——桿件橫截面上的實際工作應(yīng)力，單位為MPa。

［σl］、［σy］均由實驗得出。

【例4-9】圖4-13(a)中的起重機由斜桿BC與橫梁AB組成。斜桿直徑d=55mm，材料為鍛鋼，其許用應(yīng)力［σ］=200MPa，最大吊重W=500kN，α=20°。試校核斜桿的強度。圖4-13例4-9圖【例4-10】冷鐓機的曲柄滑塊機構(gòu)如圖4-14所示。鍛壓時，連桿接近水平位置，承受鍛壓力P=1100kN，連桿截面為矩形，高寬比為h/b=1.4，材料的許用應(yīng)力［σ］=58MPa。試確定截面尺寸h和b。圖4-14例4-10圖

2.剪切與擠壓強度計算剪切強度條件：式中:

τ——構(gòu)件剪切面的實際剪切應(yīng)力，單位為MPa；Q——構(gòu)件橫截面上的剪力，單位為N；A——剪切面面積，單位為m

2；［τ］——材料的許用剪切應(yīng)力，單位為MPa。

擠壓強度條件：式中:

σjy——構(gòu)件受擠面的實際擠壓應(yīng)力，單位為MPa；Pjy——構(gòu)件受擠面的擠壓力，單位為N；Ajy——實用擠壓面面積，單位為m2；［σjy］——材料的許用擠壓應(yīng)力，單位為MPa。

【例4-11】如圖4-15(a)所示的拖車掛鉤靠銷釘連接。已知掛鉤部分的鋼板厚度δ=8mm，銷釘材料的許用剪切應(yīng)力［τ］=60MPa，許用擠壓應(yīng)力［σjy］=100MPa，拖力P=15kN。試設(shè)計銷釘?shù)闹睆絛。圖4-15例4-11圖解(1）按剪切強度計算。銷釘受力圖如圖4-15(b)所示。銷釘有兩個剪切面，用截面法將銷釘沿剪切面截開（見圖15(c)），以銷釘中段為研究對象，由靜力平衡條件可得每一截面上的剪力銷釘受剪面積剪切強度計算公式得銷釘直徑(2）按銷釘擠壓強度計算。此時，擠壓力Pjy=P/2，實用擠壓面積為A=dδ,得【例4-12】一齒輪通過平鍵與軸連接（見圖4-16（a））。已知軸傳遞的力偶矩mO=1.5kNm，軸的直徑d=100mm，鍵的尺寸：寬b=28mm，高h=16mm，長L=42mm。鍵材料的許用剪切應(yīng)力［τ］=40MPa，許用擠壓應(yīng)力［σjy］=100MPa。校核鍵的強度。圖4-16例4-12圖解（1）校核鍵的剪切強度。沿鍵的剪切面m-m將鍵截開，以鍵的下部分和軸一起作為研究對象（見圖4-16(b)），設(shè)剪切面上的剪力為Q，有如下平衡方程:得鍵的剪切面積為A=bL=28×42=1176mm2

由剪切強度條件得(2）按擠壓強度校核。由圖4-16（c），得擠壓力

Pjy=Q=30kN鍵與軸的接觸面為平面，則擠壓面即為該平面，擠壓面積由擠壓強度條件得3.圓軸扭轉(zhuǎn)強度計算扭轉(zhuǎn)強度條件式中:τ——橫截面上的實際扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，單位為MPa；［τ］——軸材料的許用扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，單位為MPa。Mn——橫截面上的扭矩，單位為Nm；Wn——橫截面的抗扭截面模量，單位為m3。當(dāng)軸的直徑為D時，對于空心軸，當(dāng)外徑為D、內(nèi)徑為d時，其中，【例4-13】一汽車傳動軸由無縫鋼管制成，其外徑D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料為45號鋼，許用剪應(yīng)力［τ］=60MPa，工作時的最大外力偶矩M=1.5kNm。求:(1)校核軸的強度；(2）將軸改成實心軸，計算相同條件下軸的直徑；(3）比較實心軸與空心軸的重量?！纠?-14】一傳動軸受力情況如圖4-17(a)所示，已知材料的許用剪應(yīng)力［τ］=40MPa，設(shè)計軸的直徑。圖4-17例4-14圖4.桿件的彎曲強度計算以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。梁的彎曲正應(yīng)力強度條件式中:σ——梁的橫截面上的正應(yīng)力，單位為MPa；Mmax——梁的最大彎矩，單位為Nm；WZ——梁的抗彎截面模量，單位為m4。矩形截面的抗彎截面模量式中：b——矩形截面的寬，單位為m；h——矩形截面的高，單位為m。設(shè)圓形截面直徑為D，其余截面的抗彎截面模量可查有關(guān)手冊?！纠?-15】火車車箱輪軸受力如圖4-18(a)所示。已知d1=160mm，d2=130mm，L=1.58m，a=0.267m，b=0.16m，P=62.5kN,σ=100MPa，試校核該軸的強度。解(1）畫出軸的計算簡圖（如圖4-18（b）所示）。（2）求支座反力。由于受力情況對稱，兩支座反力必然相等，即

NA=NB=62.5kN(3）作彎矩圖。MC=0，MD=0MA=-Pa=-62.5×103×0.267=-16.7kNmMB=-Pa=-16.7kNm彎矩圖在CA、BD段均為斜直線，而在AB段為一水平線，作彎矩圖如圖4-18(c)所示。

圖4-18例4-15圖（4）強度校核。AB段有Mmax，則另外，在車軸外伸端與車輪接觸處，因車軸直徑較?。╠2=13cm），也可能是危險截面，必須校核。此處彎矩為M=Pb=62.5×103×0.16=10kNm所以，車軸是安全的?！纠?-16】設(shè)計圖4-19(a)所示的起重機主梁。其最大起重量P=20kN，主梁跨度l=5m，許用應(yīng)力［σ］=140MPa。主梁用工字鋼（不考慮梁的自重）,試選擇工字鋼型號。解起重機主梁可視為簡支梁，吊重在中間位置時梁受力最不利，如圖4-19(b)所示。設(shè)計時應(yīng)按此情況考慮。（1）求支座反力。（2）作彎矩圖。由圖可見，危險截面在梁的中點C處，Mmax=25kNm（3）計算梁的抗彎截面模量。（4）查表選工字鋼型號。由型鋼表查得18號工字鋼WZ=185cm3，故可選用18工字鋼。圖4-19例4-16圖習(xí)題44-1畫出題4-1圖中所示各桿的軸力圖，并標(biāo)明最大軸力Nmax。4-2畫出題4-2圖中所示各軸的扭矩圖，并標(biāo)明最大扭矩Mnmax。4-3求題4-3圖中所示梁的指定截面上的剪力Q和彎矩M。4-4建立題4-4圖中所示各梁的剪力方程和彎矩方程，作剪力圖和彎矩圖，并標(biāo)出Qmax和Mmax。題4-1圖題4-2圖題4-3圖題4-4圖4-5求題4-5圖中所示桿各段的正應(yīng)力。圖中A1=8cm2，A2=4cm2。4-6如題4-6圖所示，汽缸內(nèi)徑