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文檔簡介
這時要考慮兩方面因素:一是當(dāng)零件組裝成產(chǎn)品時,如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值,就會造成質(zhì)量損失,偏離越大,損失越大;二是零件容差的大小決定了其制造成本,容差設(shè)計得越小,成本越高,試通過如下的具體問題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計方法。粒子分離器某參數(shù)(記作y)由7個零件的參數(shù)(記作x1,x2,…,x7)決定,經(jīng)驗公式為
6/6/20231
y的目標(biāo)值(記作y0)為1.50。當(dāng)y偏離y0±0.1時,產(chǎn)品為次品,質(zhì)量損失為1000(元);當(dāng)y偏離y0±0.3時產(chǎn)品為廢品,損失為9000(元)。零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍;容差分為A、B、C三個等級,用與標(biāo)定值的相對值表示,A等為±1%,B等為±5%,C等為±10%。7個零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍及不同容差等級零件的成本(元)如表1(符號/表示無此等級零件)。
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表1
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現(xiàn)進行成批生產(chǎn),每批產(chǎn)量1000個。在原設(shè)計中,7個零件參數(shù)的標(biāo)定值為:x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,
x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等級。
請你綜合考慮y偏離y0造成的損失和零件成本,重新設(shè)計零件參數(shù)(包括標(biāo)定值和容差),并與原設(shè)計比較,總費用降低了多少。
6/6/20234
二、模型的假設(shè)及符號說明
(1)模型的假設(shè)
①假設(shè)各零件的參數(shù)為隨機變量,且是相互獨立的,它們都服從以零件標(biāo)定值為均值,容差的三分之一為均方差的正態(tài)分布。(
②假設(shè)生產(chǎn)1000個批量產(chǎn)品時,每個零件參數(shù)只按一種容差等級進行生產(chǎn),7個零件可以按不同的容差等級進行組合生產(chǎn)。
6/6/20235
③考慮到題目所給條件,產(chǎn)品參數(shù)y偏離y0±0.1時,產(chǎn)品為次品,質(zhì)量損失為1000元,y偏離y0±0.3時,產(chǎn)品為廢品,損失為9000元,可假設(shè)產(chǎn)品參數(shù)y偏離目標(biāo)值y0造成的單件產(chǎn)品質(zhì)量損失函數(shù)L(y)與(y-y0)2成正比即
(1)
易見
6/6/20236
(2)符號說明
第i個零件的參數(shù),它是隨機變量;
第i個零件的標(biāo)定值,即xi的期望值;
第i個零件的均方差;
第i個零件的容差,即
第i個零件的相對容差,即;
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y0:產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)的目標(biāo)值;
y:產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù),它是隨機變量;
σy:y的均方差;
ai:標(biāo)定值xi0的取值下限(已知的)
bi:標(biāo)定值xi0的取值上限(已知的)
x0=(x10,x20,…,x70)標(biāo)定值向量
t=(t1,t2,…,t7):相對容差向量
6/6/20238
三、問題的分析及數(shù)學(xué)模型
(1)問題的分析
問題的目標(biāo)函數(shù)是總費用函數(shù)最小,而總費用是由產(chǎn)品參數(shù)偏離目標(biāo)值引起的質(zhì)量損失費用和產(chǎn)品的成本費用兩部分組成。一般來說,標(biāo)定值設(shè)計不合理或容差設(shè)計得太大,會使產(chǎn)品參數(shù)遠(yuǎn)離目標(biāo)值,造成質(zhì)量損失;而容差設(shè)計得太小,又會增加零6/6/20239零件制造成本,綜合考慮產(chǎn)品質(zhì)量損失費和成本費是問題的關(guān)鍵。由題目所給條件知,單件產(chǎn)品的零件成本取決于相對容差等級,第種零件的成本記作,于是單件產(chǎn)品的成本,即7個零件的總成本為
(2)
產(chǎn)品參數(shù)y由決定,6/6/202310
記作y=f(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),而xi是隨機變量,且xi~N(xi0,σi2),所以產(chǎn)品參數(shù)y也是隨機變量。進行成批生產(chǎn)時,平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失費用應(yīng)該用損失函數(shù)L(y)的期望來度量,它取決于零件參數(shù)標(biāo)定值x0和容差t,記為:
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由(2)式
為了得到的簡單表達式,在
處對作Taylor展開,并略去二階及二階以上項,有
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其中
于是
所以
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通過以上分析討論可知,成批生產(chǎn)時平均每件產(chǎn)品的總費用可表示為
(2)數(shù)學(xué)模型
問題的目標(biāo)函數(shù)是總費用函數(shù)Z(x0,t)達到最小,且約束條件是標(biāo)6/6/202314
定值x0落在給定的容許范圍內(nèi),所以該問題的數(shù)學(xué)模型為:
(3)
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四、模型的分析及求解
1.模型的分析
注意到在模型(3)中,決策變量x0是連續(xù)的,t是離散型的,而且t的取值共有2×3×3×3×2=108種,對每種固定的t值,求解如下一系列子問題:
(4)
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得到最優(yōu)解和最優(yōu)值,然后對108個t比較
(5)
得到全局最優(yōu)解和最優(yōu)值。
子問題(4)是非線性規(guī)劃問題,它的計算量是很大的,為了減少計算子問題的次數(shù),在程序設(shè)計時,每解出一個子問題,由(5)式算出當(dāng)前的最優(yōu)值,對待求解的子問題,先判斷是否成立,若成立,則該子問題不必再解。
6/6/202317
2.模型的求解
按照上面對模型(3)的分析,下面設(shè)計在MATLAB中計算模型(3)的程序。
為了方便起見,記
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①分別建立函數(shù)文件v.m,u.m,fy.m
functionv=fun(x)
v=1-0.36*x(2)?0.56*x(4)?(-0.56);
functionu=fun(x)
u=1-2.62*v(x)?1.5*(x(4)/x(2))?1.16;
functionfy=fun(x)
fy=174.42*(x(1)/x(5))*(x(3)/(-x(1)+x(2)))?0.85*…
sqrt(u(x)/(x(6)*x(7)));
6/6/202319
②分別建立函數(shù)u(x)對x2,x4的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)
文件uu2.m,uu4.m
functionuu2=fun(x)
uu2=0.792288*v(x)?0.5*x(2)?(-1.6)*x(4)?0.6+…
3.0392*v(x)?1.5*x(2)?(-2.16)*x(4)?1.16;
functionuu4=fun(x)
uu4=(-0.792288)*v(x)?0.5
*x(2)?0.6*x(4)?(-0.4)-…
3.0392*v(x)?1.5*x(2)?(-1.16)*x(4)?0.16;
6/6/202320
③分別建立函數(shù)fy(x)對x1,x2,…,x7的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)文件y11.m,y21.m,…,y71.m
functiony11=fun(x)
y11=fy(x)*(1/x(1)+0.85/(x(2)-x(1)));
functiony21=fun(x)
y21=fy(x)*((-0.85)/(x(2)-x(1))+0.5*(1/u(x))*uu2(x));
functiony31=fun(x)
y31=fy(x)*(0.85/x(3));
6/6/202321
functiony41=fun(x)
y41=fy(x)*0.5*(1/u(x)*uu4(x));
functiony51=fun(x)
y51=fy(x)*(-1/x(5));
functiony61=fun(x)
y61=fy(x)*(-0.5/x(6));
functiony71=fun(x)
y71=fy(x)*(-0.5/x(7));
6/6/202322
④建立子問題(4)的目標(biāo)函數(shù)文件
ch721.m
function[ch721.g]=ch721(x,p2,p3,p4,p6,
p7)
ch81=100000*(fy(x)-1.5)?2+(100000/9)
*((y11(x)*x(1)*0.05)?2+…
(y21(x)*x(2)*p2)?2+(y31(x)*x(3)*p3)?2+…
(y41(x)*x(4)*p4)?2+(y51(x)*x(5)*0.1)?2+…
(y61(x)*x(6)*p6)?2+(y71(x)*x(7)*p7)?2;
g=-x(1);
6/6/202323
⑤用MATLAB語言設(shè)計計算模型(7-8)的程序,可存為M文件ch722.m
tic%啟動計時器
p2=0.1;p3=0.1;p4=0.1;p6=0.1;p7=0.05;
%原設(shè)計方案的相對容差
x0=[0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75];
%原設(shè)計方案的標(biāo)定y0=fy(x0);
%原設(shè)計方案產(chǎn)品的參數(shù)值
6/6/202324Q0=ch81(x0,p2,p3,p4,p6,p7);%原設(shè)計方案的質(zhì)量損失費
Z0=Q0+200;
%原設(shè)計方案的總費用
Zmin=Z0;
%原設(shè)計方案的總費用作為優(yōu)化初值
t1(2)=0.05;
%對各等級零件相對容差賦值
t2(2)=0.05;t2(3)=0.1;
t3(1)=0.01;t3(2)=0.05;t3(3)=0.1;
6/6/202325
t4(1)=0.01;t4(2)=0.05;t4(3)=0.1;
t5(3)=0.1;
t6(1)=0.01;t6(2)=0.05;t6(3)=0.1;
t7(1)=0.01;t7(2)=0.05;
c2(2)=50;c2(3)=20;
c3(1)=200;c3(2)=50;c3(3)=20;
c4(1)=500;c4(2)=100;c4(3)=50;
c6(1)=100;c6(2)=25;c6(3)=10;
c7(1)=100;c7(2)=25;
6/6/202326fori2=2:3
fori3=1:3
fori4=1:3
fori6=1:3
fori7=1:2
C=75+c2(i2)+c3(i3)+c4(i4)+c6(i6)+c7(i7);
%計算單件產(chǎn)品的成本
p2=t2(i2);p3=t3(i3);p4=t4(i4);p6=t6(i6);p7=t7(i7);
6/6/202327
Zmin
ifC<=Zmin
x0=[0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75];
%優(yōu)化的初始值
v1b=[0.075,0.225,0.075,0.075,1.125,12,0.5625]
%變量x的下界
vub=[0.125,0.375,0.125,0.125,1.875,20,0.935]
%變量x的上界
options=[];
%優(yōu)化中的參數(shù)均采用缺省值
6/6/202328
jacob=[];%將空陣賦給雅可比陣
[x,options]=constr(‘ch81’,x0,options,vlb,vub,jacob,p2,p3,p4,p6,p7);
%計算非線性規(guī)化問題(7)
Z=C+cs97(x,p2,p3,p4,p6,p7);
%當(dāng)t值給定時的最小總費用
ifZ<=Zmin
Zmin=Z;%當(dāng)前的最小總費用
j2=i2;j3=i3;j4=i4;j6=i6;j7=i7;
Xmin=x;
6/6/202329Cmin=C;
Qmin=ch81(x,p2,p3,p4,p6,p7);
y=fy(x)
end
end
end
end
end
end
end
6/6/202330T=[0.05,t2(j2),t3(j3),t4(j4),0.1,t6(j6),t7(j7)]
%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的相對容差
Xmin%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的標(biāo)定值
Cmin%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的成本費
Qmin%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的質(zhì)量損失費
Zmin%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的總費用
6/6/202331
y%輸出最優(yōu)設(shè)計方案產(chǎn)品的參數(shù)值
Q0%輸出原設(shè)計方案的質(zhì)量損失費
Z0%輸出原設(shè)計方案的總費用
y0%輸出原設(shè)計方案產(chǎn)品的參數(shù)值
toc%關(guān)閉計時器,并顯示程序運行時間
6/6/202332注意:以上建立的一系列m文件一定
要存盤。
然后在MATLAB下鍵入ch722可得數(shù)值結(jié)果為:
T=0.05000.05000.05000.10000.10000.05000.0500
Xmin=0.07500.37500.12490.12500.126415.05670.7740
Cmin=
275
Qmin=
465.04956/6/202333
Zmin=
740.0495
y=
1.4969
Q0=
6.2946e+003
Z0=
6.4946e+003
y0=
1.7256
elapsed_time=
134.0100
6/6/202334endendifmjnum>jnum
jnum=mjnum;
jno=mjno;
ydian=[-I,-j];jiao=h*18./pi;endendend6/6/202335end執(zhí)行后輸出問題一可利用井?dāng)?shù)jnum=4井號:24510移動值為-0.3500,-0.1500問題二6/6/202336
forj=1:39
HH(i,j)=A(i,j)*0.1;
end
end
fori=16:39
forj=1:15
HH(i,j)=A(i,j)*0.1;
end
end
HH;
6/6/202337
自動化車床管理
一、問題的提出
這是1999年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的A題,問題如下:
一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件,由于刀具損壞等原因該工序會出現(xiàn)故障,其中刀具損壞故障占95%,其它故障僅占5%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機的,假定在生產(chǎn)任一6/6/202338
零件時出現(xiàn)故障的機會均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障。
現(xiàn)積累有100次刀具故障記錄(見表7—5),計劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。
已知生產(chǎn)工序的費用參數(shù)如下:
故障時產(chǎn)出的零件損失費用f=200元/件;
進行檢查的費用t=10元/件;
6/6/202339
發(fā)現(xiàn)故障時進行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費用d=3000元/次(包括刀具費)。
未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用k=1000元/次。
(1)假定工序故障時產(chǎn)出的零件均為不合格品,正常時產(chǎn)出的零件均為合格品,試對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔(生產(chǎn)多少零件檢查一次)和刀具更換策略。
6/6/202340
(2)如果該工序正常時產(chǎn)出的零件不全是合格品,有2%為不合格品;而工序故障時產(chǎn)出的零件有40%為合格品,60%為不合格品。工序正常而誤認(rèn)有故障停機產(chǎn)生的損失費用為1500元/次。對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。
(3)在(2)的情況,可否改進檢查方式獲得更高的效益。
6/6/202341表7—5
6/6/202342
二、模型假設(shè)及符號說明
(1)假設(shè)刀具的壽命用生產(chǎn)出的零件個數(shù)來衡量,刀具壽命的概率分布由所給100次故障記錄確定。
(2)假設(shè)檢測零件時間和更換刀具時間忽略不計。
(3)假設(shè)刀具每加工u個零件后定期更換,更換費用為k(已知)。
(4)假設(shè)每生產(chǎn)n個零件后定期進行檢查,檢查費用為t(已知)。
6/6/202343
(5)假設(shè)在兩次相鄰的檢查之間
,生產(chǎn)任一零件時工序出現(xiàn)故障的概率均相等,記作p。
(6)假設(shè)檢查時工序停止生產(chǎn),若發(fā)現(xiàn)該零件為不合格品,則進行刀具更換,費用為d(已知);否則繼續(xù)生產(chǎn)。
(7)對第一問假設(shè)工序故障時生產(chǎn)的零件均為不合格品,正常時均為合格品,而刀具故障占工序故障的95%。
6/6/202344
(8)記生產(chǎn)每件不合格品的損失費為f(已知);生產(chǎn)每個零件的平均費用為L;生產(chǎn)每個零件刀具定期更換費為L1;生產(chǎn)每個零件檢查費用為L2;工序故障造成不合格品的損失費為L3。
三、問題分析及數(shù)學(xué)模型
根據(jù)所給的實際問題,要對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略,也就是生產(chǎn)每個零件的成本6/6/202345
最低,它等價于生產(chǎn)每個零件的平均費用L最小。
生產(chǎn)每個零件的平均費用L包括刀具定期更換費用L1,檢查費用L2,工序故障造成不合格品的損失費用L3,易知:
6/6/202346
其中m為當(dāng)相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障時,n個零件中不合格品的平均數(shù),c為工序的平均故障間隔,于是問題的數(shù)學(xué)模型為:
(7-18)
6/6/202347
四、模型的分析與計算
(1)模型中m的計算
記事件A表示在相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障,它等價于在一個檢查間隔內(nèi)至少一個零件出現(xiàn)為不合格品,由假設(shè)(4)和假設(shè)(5)可知:
6/6/202348
記事件B表示在相鄰兩次檢查,出現(xiàn)i件不合格品,即前n-i件合格,下一件不合格的事件,則
由此可知,在相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障的條件下,出現(xiàn)i件不合格品的概率為:
6/6/202349
于是
由于6/6/202350
所以
其中由于很?。ㄒ姾竺嬗嬎憬Y(jié)果),所以m近似等于,代入(7-18)得
(7-19)6/6/202351
2.模型中c的計算
首先,根據(jù)給出的100個數(shù)據(jù)算出無預(yù)防性更換時刀具故障平均間隔(即100個數(shù)據(jù)的平均值)為a0=600件,由假設(shè)⑦知,刀具故障占95%,非刀具故障占5%,故非刀具故障平均間隔為。
其次,為計算刀具每加工u個零件后定期更換時刀具故障的平均間隔,由100個數(shù)據(jù)統(tǒng)計出刀具6/6/202352
故障的經(jīng)驗概率分布,例如對完成的零件數(shù)作如下分組:
6/6/202353
對于給定的u,可確定刀具故障的平均間隔a。如若u=300件,可知100次更換有7=1+1+1+2+2次故障,平均故障間隔為:
一般地,記刀具完成件數(shù)為Ni,頻率為fi,若對于給定的u有Nk<u,Nk+1>u,則計算刀具每加工u個零件后定期更換時6/6/202354
刀具故障的平均間隔為
工序的平均故障間隔c由a(u)和b決定,易見滿足,于是
如果u=300件,則
6/6/202355
3.模型的求解
通過以上的分析可知,給定u,模型(7-19)中的c也確定,L(u,n)就變?yōu)槭莕的函數(shù),且
令,得
6/6/202356
即當(dāng)時,L達到最小。比如步長取50,對于一系列的u=100,150,200,…,逐個求出L的極小值及相應(yīng)的n值,其中使L最小者所對應(yīng)的u和n即為所求。
下面給出MATLAB計算程序。
%自動化車床管理
ch751
%文件名:ch751.m
6/6/202357
f=200;t=10;d=3000;k=1000;
b=11400;
N=[50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,...
675,725,775,825,875,925];
fi=0.01*[1,1,1,2,2,2,4,6,9,11,11,13,9,6,8,4,4,6];
kk=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];
6/6/202358
u=[100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,...
700,750,800,850,900,950];
forj=1:18
Nf1(j)=0;Nf2(j)=0;fk(j)=0;
fori=1:kk(j)
Nf1(j)=Nf1(j)+N(i)*fi(i);
fk(j)=fk(j)+fi(i);
end
fori=kk(j)+1:18
Nf2(j)=Nf2(j)+fi(i);
end
6/6/202359
a(j)=(Nf1(j)+u(j)*Nf2(j))/fk(j);
c(j)=1/(1/a(j)+1/b);
p(j)=1/c(j);
n=1;
L(j)=k/u(j)+t/n+((n+1)*f)/(2*c(j))+d/c(j);
forn=1:200
L0=k/u(j)+t/n+((n+1)*f)/(2*c(j))+d/c(j);
ifL0<L(j)
L(j)=L0;
6/6/202360
nn(j)=n;
end
end
end
min_L=L(1);
forj=1:18
ifL(j)<min_L
min_L=L(j);
good_u=u(j);
good_n=nn(j);
end
end
6/6/202361
disp('生產(chǎn)每個零件的最小費用')
min_L
disp('更換刀具的最優(yōu)間隔數(shù)')
good_u
disp('定期檢查的最優(yōu)間隔數(shù)')
good_n
執(zhí)行后輸出
生產(chǎn)每個零件的最小費用
min_L=
5.1315
6/6/202362
更換刀具的最優(yōu)間隔數(shù)
good_u=
400
定期檢查的最優(yōu)間隔數(shù)
good_n=
15
五、問題的進一步討論
1.問題2的進一步討論
6/6/202363
要考慮兩種誤判:一是工序正常時檢查到不合格品誤判停機,將使檢查費用增加;二是工序故障時檢查到合格品,將繼續(xù)生產(chǎn)直到下一次檢查,使不合格品的損失費增加。此時效益函數(shù)為:
(7-20)
6/6/202364
與問題1中的模型(7-19)式相比(7-20)式多了兩項,其中
是兩次檢查間工序正常的概率
,是工序正常時的不合格品率,s=1500為第一種誤判停機的損失費;w=40%是工序故障時的合格品率,是第二種誤判增加的不合格品數(shù)。
6/6/202365
%自動化車床管理ch842
%文件名:ch842.m
f=200;t=10;d=3000;k=1000;
v=0.02;s=1500;w=0.4;
b=11400;
N=[50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,...
675,725,775,825,875,925];
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