數(shù)學(xué)建模兩個綜合模型案例分析課件

這時要考慮兩方面因素：一是當(dāng)零件組裝成產(chǎn)品時，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值，就會造成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；二是零件容差的大小決定了其制造成本，容差設(shè)計得越小，成本越高,試通過如下的具體問題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計方法。粒子分離器某參數(shù)（記作y）由7個零件的參數(shù)（記作x1，x2，…，x7）決定，經(jīng)驗公式為

6/6/20231

y的目標(biāo)值（記作y0）為1.50。當(dāng)y偏離y0±0.1時，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為1000（元）；當(dāng)y偏離y0±0.3時產(chǎn)品為廢品，損失為9000（元）。零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍；容差分為A、B、C三個等級，用與標(biāo)定值的相對值表示，A等為±1%,B等為±5%，C等為±10%。7個零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍及不同容差等級零件的成本（元）如表1（符號/表示無此等級零件）。

6/6/20232

表1

6/6/20233

現(xiàn)進行成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1000個。在原設(shè)計中，7個零件參數(shù)的標(biāo)定值為：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,

x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最便宜的等級。

請你綜合考慮y偏離y0造成的損失和零件成本，重新設(shè)計零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差），并與原設(shè)計比較，總費用降低了多少。

6/6/20234

二、模型的假設(shè)及符號說明

（1）模型的假設(shè)

①假設(shè)各零件的參數(shù)為隨機變量，且是相互獨立的，它們都服從以零件標(biāo)定值為均值，容差的三分之一為均方差的正態(tài)分布。(

②假設(shè)生產(chǎn)1000個批量產(chǎn)品時，每個零件參數(shù)只按一種容差等級進行生產(chǎn)，7個零件可以按不同的容差等級進行組合生產(chǎn)。

6/6/20235

③考慮到題目所給條件，產(chǎn)品參數(shù)y偏離y0±0.1時，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為1000元，y偏離y0±0.3時，產(chǎn)品為廢品，損失為9000元，可假設(shè)產(chǎn)品參數(shù)y偏離目標(biāo)值y0造成的單件產(chǎn)品質(zhì)量損失函數(shù)L（y）與（y-y0）2成正比即

（1）

易見

6/6/20236

（2）符號說明

第i個零件的參數(shù)，它是隨機變量；

第i個零件的標(biāo)定值，即xi的期望值；

第i個零件的均方差；

第i個零件的容差，即

第i個零件的相對容差，即；

6/6/20237

y0：產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)的目標(biāo)值；

y：產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)，它是隨機變量；

σy：y的均方差；

ai：標(biāo)定值xi0的取值下限（已知的）

bi：標(biāo)定值xi0的取值上限（已知的）

x0=（x10，x20，…，x70）標(biāo)定值向量

t=（t1，t2，…，t7）：相對容差向量

6/6/20238

三、問題的分析及數(shù)學(xué)模型

（1）問題的分析

問題的目標(biāo)函數(shù)是總費用函數(shù)最小，而總費用是由產(chǎn)品參數(shù)偏離目標(biāo)值引起的質(zhì)量損失費用和產(chǎn)品的成本費用兩部分組成。一般來說，標(biāo)定值設(shè)計不合理或容差設(shè)計得太大，會使產(chǎn)品參數(shù)遠(yuǎn)離目標(biāo)值，造成質(zhì)量損失；而容差設(shè)計得太小，又會增加零6/6/20239零件制造成本，綜合考慮產(chǎn)品質(zhì)量損失費和成本費是問題的關(guān)鍵。由題目所給條件知，單件產(chǎn)品的零件成本取決于相對容差等級，第種零件的成本記作，于是單件產(chǎn)品的成本，即7個零件的總成本為

（2）

產(chǎn)品參數(shù)y由決定，6/6/202310

記作y=f(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7），而xi是隨機變量，且xi~N（xi0，σi2），所以產(chǎn)品參數(shù)y也是隨機變量。進行成批生產(chǎn)時，平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失費用應(yīng)該用損失函數(shù)L（y）的期望來度量，它取決于零件參數(shù)標(biāo)定值x0和容差t，記為：

6/6/202311

由(2)式

為了得到的簡單表達式，在

處對作Taylor展開，并略去二階及二階以上項，有

6/6/202312

其中

于是

所以

6/6/202313

通過以上分析討論可知，成批生產(chǎn)時平均每件產(chǎn)品的總費用可表示為

（2）數(shù)學(xué)模型

問題的目標(biāo)函數(shù)是總費用函數(shù)Z（x0，t）達到最小，且約束條件是標(biāo)6/6/202314

定值x0落在給定的容許范圍內(nèi)，所以該問題的數(shù)學(xué)模型為：

（3）

6/6/202315

四、模型的分析及求解

1.模型的分析

注意到在模型（3）中，決策變量x0是連續(xù)的，t是離散型的，而且t的取值共有2×3×3×3×2=108種，對每種固定的t值，求解如下一系列子問題：

（4）

6/6/202316

得到最優(yōu)解和最優(yōu)值，然后對108個t比較

（5)

得到全局最優(yōu)解和最優(yōu)值。

子問題（4）是非線性規(guī)劃問題，它的計算量是很大的，為了減少計算子問題的次數(shù)，在程序設(shè)計時，每解出一個子問題，由（5）式算出當(dāng)前的最優(yōu)值，對待求解的子問題，先判斷是否成立，若成立，則該子問題不必再解。

6/6/202317

2.模型的求解

按照上面對模型（3）的分析，下面設(shè)計在MATLAB中計算模型（3）的程序。

為了方便起見，記

6/6/202318

①分別建立函數(shù)文件v.m，u.m，fy.m

functionv=fun(x)

v=1-0.36*x(2)?0.56*x(4)?(-0.56);

functionu=fun(x)

u=1-2.62*v(x)?1.5*(x(4)/x(2))?1.16;

functionfy=fun(x)

fy=174.42*(x(1)/x(5))*(x(3)/(-x(1)+x(2)))?0.85*…

sqrt(u(x)/(x(6)*x(7)));

6/6/202319

②分別建立函數(shù)u(x)對x2,x4的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)

文件uu2.m,uu4.m

functionuu2=fun(x)

uu2=0.792288*v(x)?0.5*x(2)?(-1.6)*x(4)?0.6+…

3.0392*v(x)?1.5*x(2)?(-2.16)*x(4)?1.16;

functionuu4=fun(x)

uu4=(-0.792288)*v(x)?0.5

*x(2)?0.6*x(4)?(-0.4)-…

3.0392*v(x)?1.5*x(2)?(-1.16)*x(4)?0.16;

6/6/202320

③分別建立函數(shù)fy(x)對x1,x2,…,x7的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)文件y11.m,y21.m,…,y71.m

functiony11=fun(x)

y11=fy(x)*(1/x(1)+0.85/(x(2)-x(1)));

functiony21=fun(x)

y21=fy(x)*((-0.85)/（x(2)-x(1))+0.5*(1/u(x))*uu2(x));

functiony31=fun(x)

y31=fy(x)*(0.85/x(3));

6/6/202321

functiony41=fun(x)

y41=fy(x)*0.5*(1/u(x)*uu4(x));

functiony51=fun(x)

y51=fy(x)*(-1/x(5));

functiony61=fun(x)

y61=fy(x)*(-0.5/x(6));

functiony71=fun(x)

y71=fy(x)*(-0.5/x(7));

6/6/202322

④建立子問題（4）的目標(biāo)函數(shù)文件

ch721.m

function[ch721.g]=ch721(x,p2,p3,p4,p6,

p7)

ch81=100000*(fy(x)-1.5)?2+(100000/9)

*((y11(x)*x(1)*0.05)?2+…

(y21(x)*x(2)*p2)?2+(y31(x)*x(3)*p3)?2+…

(y41(x)*x(4)*p4)?2+(y51(x)*x(5)*0.1)?2+…

(y61(x)*x(6)*p6)?2+(y71(x)*x(7)*p7)?2;

g=-x(1);

6/6/202323

⑤用MATLAB語言設(shè)計計算模型（7-8）的程序，可存為M文件ch722.m

tic%啟動計時器

p2=0.1;p3=0.1;p4=0.1;p6=0.1;p7=0.05;

%原設(shè)計方案的相對容差

x0=[0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75];

%原設(shè)計方案的標(biāo)定y0=fy(x0);

%原設(shè)計方案產(chǎn)品的參數(shù)值

6/6/202324Q0=ch81(x0,p2,p3,p4,p6,p7);%原設(shè)計方案的質(zhì)量損失費

Z0=Q0+200;

%原設(shè)計方案的總費用

Zmin=Z0;

%原設(shè)計方案的總費用作為優(yōu)化初值

t1(2)=0.05;

%對各等級零件相對容差賦值

t2(2)=0.05;t2(3)=0.1;

t3(1)=0.01;t3(2)=0.05;t3(3)=0.1;

6/6/202325

t4(1)=0.01;t4(2)=0.05;t4(3)=0.1;

t5(3)=0.1;

t6(1)=0.01;t6(2)=0.05;t6(3)=0.1;

t7(1)=0.01;t7(2)=0.05;

c2(2)=50;c2(3)=20;

c3(1)=200;c3(2)=50;c3(3)=20;

c4(1)=500;c4(2)=100;c4(3)=50;

c6(1)=100;c6(2)=25;c6(3)=10;

c7(1)=100;c7(2)=25;

6/6/202326fori2=2:3

fori3=1:3

fori4=1:3

fori6=1:3

fori7=1:2

C=75+c2(i2)+c3(i3)+c4(i4)+c6(i6)+c7(i7);

%計算單件產(chǎn)品的成本

p2=t2(i2);p3=t3(i3);p4=t4(i4);p6=t6(i6);p7=t7(i7);

6/6/202327

Zmin

ifC<=Zmin

x0=[0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75];

%優(yōu)化的初始值

v1b=[0.075,0.225,0.075,0.075,1.125,12,0.5625]

%變量x的下界

vub=[0.125,0.375,0.125,0.125,1.875,20,0.935]

%變量x的上界

options=[];

%優(yōu)化中的參數(shù)均采用缺省值

6/6/202328

jacob=[];%將空陣賦給雅可比陣

[x,options]=constr(‘ch81’,x0,options,vlb,vub,jacob,p2,p3,p4,p6,p7);

%計算非線性規(guī)化問題（7）

Z=C+cs97(x,p2,p3,p4,p6,p7);

%當(dāng)t值給定時的最小總費用

ifZ<=Zmin

Zmin=Z;%當(dāng)前的最小總費用

j2=i2;j3=i3;j4=i4;j6=i6;j7=i7;

Xmin=x;

6/6/202329Cmin=C;

Qmin=ch81(x,p2,p3,p4,p6,p7);

y=fy(x)

end

end

end

end

end

end

end

6/6/202330T=[0.05,t2(j2),t3(j3),t4(j4),0.1,t6(j6),t7(j7)]

%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的相對容差

Xmin%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的標(biāo)定值

Cmin%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的成本費

Qmin%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的質(zhì)量損失費

Zmin%輸出最優(yōu)設(shè)計方案的總費用

6/6/202331

y%輸出最優(yōu)設(shè)計方案產(chǎn)品的參數(shù)值

Q0%輸出原設(shè)計方案的質(zhì)量損失費

Z0%輸出原設(shè)計方案的總費用

y0%輸出原設(shè)計方案產(chǎn)品的參數(shù)值

toc%關(guān)閉計時器，并顯示程序運行時間

6/6/202332注意：以上建立的一系列m文件一定

要存盤。

然后在MATLAB下鍵入ch722可得數(shù)值結(jié)果為：

T=0.05000.05000.05000.10000.10000.05000.0500

Xmin=0.07500.37500.12490.12500.126415.05670.7740

Cmin=

275

Qmin=

465.04956/6/202333

Zmin=

740.0495

y=

1.4969

Q0=

6.2946e+003

Z0=

6.4946e+003

y0=

1.7256

elapsed_time=

134.0100

6/6/202334endendifmjnum>jnum

jnum=mjnum;

jno=mjno;

ydian=[-I,-j];jiao=h*18./pi;endendend6/6/202335end執(zhí)行后輸出問題一可利用井?dāng)?shù)jnum=4井號：24510移動值為-0.3500，-0.1500問題二6/6/202336

forj=1:39

HH(i,j)=A(i,j)*0.1;

end

end

fori=16:39

forj=1:15

HH(i,j)=A(i,j)*0.1;

end

end

HH;

6/6/202337

自動化車床管理

一、問題的提出

這是1999年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的A題，問題如下：

一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%，其它故障僅占5%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機的，假定在生產(chǎn)任一6/6/202338

零件時出現(xiàn)故障的機會均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障。

現(xiàn)積累有100次刀具故障記錄（見表7—5），計劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。

已知生產(chǎn)工序的費用參數(shù)如下：

故障時產(chǎn)出的零件損失費用f=200元/件；

進行檢查的費用t=10元/件；

6/6/202339

發(fā)現(xiàn)故障時進行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費用d=3000元/次（包括刀具費）。

未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用k=1000元/次。

（1）假定工序故障時產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時產(chǎn)出的零件均為合格品，試對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔（生產(chǎn)多少零件檢查一次）和刀具更換策略。

6/6/202340

（2）如果該工序正常時產(chǎn)出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認(rèn)有故障停機產(chǎn)生的損失費用為1500元/次。對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。

（3）在（2）的情況，可否改進檢查方式獲得更高的效益。

6/6/202341表7—5

6/6/202342

二、模型假設(shè)及符號說明

（1）假設(shè)刀具的壽命用生產(chǎn)出的零件個數(shù)來衡量，刀具壽命的概率分布由所給100次故障記錄確定。

（2）假設(shè)檢測零件時間和更換刀具時間忽略不計。

（3）假設(shè)刀具每加工u個零件后定期更換，更換費用為k（已知）。

（4）假設(shè)每生產(chǎn)n個零件后定期進行檢查，檢查費用為t（已知）。

6/6/202343

（5）假設(shè)在兩次相鄰的檢查之間

，生產(chǎn)任一零件時工序出現(xiàn)故障的概率均相等，記作p。

（6）假設(shè)檢查時工序停止生產(chǎn)，若發(fā)現(xiàn)該零件為不合格品，則進行刀具更換，費用為d（已知）；否則繼續(xù)生產(chǎn)。

（7）對第一問假設(shè)工序故障時生產(chǎn)的零件均為不合格品，正常時均為合格品，而刀具故障占工序故障的95%。

6/6/202344

（8）記生產(chǎn)每件不合格品的損失費為f（已知）；生產(chǎn)每個零件的平均費用為L；生產(chǎn)每個零件刀具定期更換費為L1；生產(chǎn)每個零件檢查費用為L2；工序故障造成不合格品的損失費為L3。

三、問題分析及數(shù)學(xué)模型

根據(jù)所給的實際問題，要對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略，也就是生產(chǎn)每個零件的成本6/6/202345

最低，它等價于生產(chǎn)每個零件的平均費用L最小。

生產(chǎn)每個零件的平均費用L包括刀具定期更換費用L1，檢查費用L2，工序故障造成不合格品的損失費用L3，易知:

6/6/202346

其中m為當(dāng)相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障時，n個零件中不合格品的平均數(shù)，c為工序的平均故障間隔，于是問題的數(shù)學(xué)模型為:

（7-18）

6/6/202347

四、模型的分析與計算

（1）模型中m的計算

記事件A表示在相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障，它等價于在一個檢查間隔內(nèi)至少一個零件出現(xiàn)為不合格品，由假設(shè)（4）和假設(shè)（5）可知：

6/6/202348

記事件B表示在相鄰兩次檢查，出現(xiàn)i件不合格品，即前n-i件合格，下一件不合格的事件，則

由此可知，在相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障的條件下，出現(xiàn)i件不合格品的概率為：

6/6/202349

于是

由于6/6/202350

所以

其中由于很?。ㄒ姾竺嬗嬎憬Y(jié)果），所以m近似等于，代入（7-18）得

（7-19）6/6/202351

2.模型中c的計算

首先，根據(jù)給出的100個數(shù)據(jù)算出無預(yù)防性更換時刀具故障平均間隔（即100個數(shù)據(jù)的平均值）為a0=600件，由假設(shè)⑦知，刀具故障占95%，非刀具故障占5%，故非刀具故障平均間隔為。

其次，為計算刀具每加工u個零件后定期更換時刀具故障的平均間隔，由100個數(shù)據(jù)統(tǒng)計出刀具6/6/202352

故障的經(jīng)驗概率分布，例如對完成的零件數(shù)作如下分組：

6/6/202353

對于給定的u，可確定刀具故障的平均間隔a。如若u=300件，可知100次更換有7=1+1+1+2+2次故障，平均故障間隔為：

一般地，記刀具完成件數(shù)為Ni，頻率為fi，若對于給定的u有Nk<u，Nk+1>u，則計算刀具每加工u個零件后定期更換時6/6/202354

刀具故障的平均間隔為

工序的平均故障間隔c由a（u）和b決定，易見滿足，于是

如果u=300件，則

6/6/202355

3.模型的求解

通過以上的分析可知，給定u，模型（7-19）中的c也確定，L（u,n）就變?yōu)槭莕的函數(shù)，且

令，得

6/6/202356

即當(dāng)時，L達到最小。比如步長取50，對于一系列的u=100，150，200，…，逐個求出L的極小值及相應(yīng)的n值，其中使L最小者所對應(yīng)的u和n即為所求。

下面給出MATLAB計算程序。

%自動化車床管理

ch751

%文件名：ch751.m

6/6/202357

f=200;t=10;d=3000;k=1000;

b=11400;

N=[50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,...

675,725,775,825,875,925];

fi=0.01*[1,1,1,2,2,2,4,6,9,11,11,13,9,6,8,4,4,6];

kk=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];

6/6/202358

u=[100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,...

700,750,800,850,900,950];

forj=1:18

Nf1(j)=0;Nf2(j)=0;fk(j)=0;

fori=1:kk(j)

Nf1(j)=Nf1(j)+N(i)*fi(i);

fk(j)=fk(j)+fi(i);

end

fori=kk(j)+1:18

Nf2(j)=Nf2(j)+fi(i);

end

6/6/202359

a(j)=(Nf1(j)+u(j)*Nf2(j))/fk(j);

c(j)=1/(1/a(j)+1/b);

p(j)=1/c(j);

n=1;

L(j)=k/u(j)+t/n+((n+1)*f)/(2*c(j))+d/c(j);

forn=1:200

L0=k/u(j)+t/n+((n+1)*f)/(2*c(j))+d/c(j);

ifL0<L(j)

L(j)=L0;

6/6/202360

nn(j)=n;

end

end

end

min_L=L(1);

forj=1:18

ifL(j)<min_L

min_L=L(j);

good_u=u(j);

good_n=nn(j);

end

end

6/6/202361

disp('生產(chǎn)每個零件的最小費用')

min_L

disp('更換刀具的最優(yōu)間隔數(shù)')

good_u

disp('定期檢查的最優(yōu)間隔數(shù)')

good_n

執(zhí)行后輸出

生產(chǎn)每個零件的最小費用

min_L=

5.1315

6/6/202362

更換刀具的最優(yōu)間隔數(shù)

good_u=

400

定期檢查的最優(yōu)間隔數(shù)

good_n=

15

五、問題的進一步討論

1.問題2的進一步討論

6/6/202363

要考慮兩種誤判：一是工序正常時檢查到不合格品誤判停機，將使檢查費用增加；二是工序故障時檢查到合格品，將繼續(xù)生產(chǎn)直到下一次檢查，使不合格品的損失費增加。此時效益函數(shù)為:

（7-20）

6/6/202364

與問題1中的模型（7-19）式相比（7-20）式多了兩項，其中

是兩次檢查間工序正常的概率

，是工序正常時的不合格品率，s=1500為第一種誤判停機的損失費；w=40%是工序故障時的合格品率，是第二種誤判增加的不合格品數(shù)。

6/6/202365

%自動化車床管理ch842

%文件名：ch842.m

f=200;t=10;d=3000;k=1000;

v=0.02;s=1500;w=0.4;

b=11400;

N=[50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,...

675,725,775,825,875,925];