隨機決策分析方法

隨機決策分析方法12007年12月27日第一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二

第十六章隨機性決策分析方法22023年6月7日隨機性決策問題的基本概念；

效用函數的概念；

效用與風險的關系；

隨機優(yōu)勢與效用函數的關系；案例分析：彩票中的數學問題。第二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二

一、問題的引入－彩票與數學32023年6月7日

彩票中的數學知多少？你們了解彩票嗎？你們買過彩票嗎？你們了解彩票的規(guī)則嗎？No,Idon’tknow!請問幾個問題：（1）博彩有規(guī)律可尋嗎？（2）現行的各種彩票方案中獎的可能性有多大？（3）現行的彩票方案合理嗎？哪種方案“好”？（4）我們應該如何看待彩票？中國的彩票業(yè)還有多大的發(fā)展空間？我想應該有規(guī)律吧！?。∮羞@么懸乎嗎？第三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二42023年6月7日

一、問題的引入－彩票與數學

“彩票中的數學”問題（CUMCM2002-B）近年來“彩票颶風”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型。“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：中獎等級10選6+1（6+1/10）基本號碼特別號碼說明一等獎abcdefg選7中（6+1）二等獎abcdef

選7中（6）三等獎abcdeXXbcdef

選7中（5）四等獎abcdXXXbcdeXXXcdef選7中（4）五等獎abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中（3）六等獎abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中（2）第四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二52023年6月7日

一、問題的引入－彩票與數學

“彩票中的數學”問題（CUMCM2002-B）“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案和“36選6+1”的方案，中獎等級33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號碼特別號碼說明基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）第五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二62023年6月7日

一、問題的引入－彩票與數學“彩票中的數學”問題（CUMCM2002-B）要解決的問題：（1）根據這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設計一種“更好”的方案及相應的算法，并據此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。第六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二72023年6月7日

二.隨機性決策的基本概念

隨機性決策問題包含兩個方面：決策人所采取的行動方案(決策);問題的自然狀態(tài)(狀態(tài))；

基本特點：后果的不確定性和后果的效用。

后果的不確定性：由問題的隨機性，使問題會出現什么狀態(tài)的不確定性，決策人做出決策后會出現后果的不確定性。后果的效用：后果價值的量化。由后果的不確定性，對于不同決策后果的效用是不同的。第七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二82023年6月7日

1、主觀概率

二.隨機性決策的基本概念

隨機性決策問題后果的不確定性是由狀態(tài)的不確定性引起的，狀態(tài)的不確定性不能通過在相同條件下的大量重復試驗來確定其概率分布。實際中只能由決策人主觀地做出估計，稱其為主觀概率。

主觀概率遵循客觀概率應該遵循的假設、公理、性質等，客觀概率的所有邏輯推理方法均適用于主觀概率。

設定主觀概率的方法：主觀先驗分布法、無信息先驗分布法、極大熵先驗分布法和利用過去數據設定先驗分布法等。第八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二客觀(Objective)概率：上述三種定義的概率是在多次重復試驗（隨機試驗）中，隨機事件A發(fā)生的可能性的大小的度量，稱為客觀概率。主觀(Subjective)概率：在實際管理決策中，許多事件的發(fā)生概率是無法通過隨機試驗獲得的，或條件不允許，或事件本身不允許。因此需要一種方法來人為設定事件發(fā)生的概率，稱為主觀概率。主觀概率是人們根據經驗、各方面的知識以及了解到的客觀情況進行分析、推理、綜合判斷，對特定事件發(fā)生的可能性的信念（或意見、看法）的度量(Savage,1954)。公理化定義：E是隨機事件，S是E的樣本空間，對E的每一事件A，對應有確定的實數p(A)，若p(A)滿足：①非負性：p(A)≥0；②規(guī)范性：p(S)=1；③列可加性：對兩兩不相容事件Ak，有p(∪kAk)=Σkp(Ak)。(Ai∩Aj=Φ,i≠j)第九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布與先驗假設先驗分布(PriorDistribution)：根據先驗信息所確定的概率分布叫先驗分布，獲得先驗分布是貝葉斯分析的基礎。決策中先驗分布的獲得具有高度的主觀性。先驗假設：為使先驗分布估計規(guī)范化，需要做一定的假設。連通性假設：指事件A和事件B發(fā)生的可能性是可比的，即p(A)>p(B),p(A)~p(B),p(A)<p(B)必有一個成立。傳遞性假設：若對事件A、B、C，有p(A)>p(B),p(B)>p(C),則p(A)>p(C)。（滿足連通性和傳遞性的二元關系才能構成完全序）部分與全體關系假設：若事件A是事件B的一部分，則p(B)≥p(A)。第十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布估計:比較法比較法1-離散型（對事件發(fā)生的各種狀態(tài)加以比較確定相對似然率）某氣象專家對當年的氣候狀況進行評估，認為當年氣候正常(1)與受災的可能性之比約為3:2；如果受災，則水災(2)、旱災(3)的可能性相當。據此，我們可推算出當年氣候狀況的先驗分布：(1)+(2)+(3)=1;(1)/((2)+(3))=3/2;(2)=(3)解得：(1)=0.6，(2)=0.2，(3)=0.2第十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布估計：比較法比較法2-連續(xù)型離散化：同直方圖法比較賦值選擇一個似然率最大的子區(qū)間k作為基準，設其相對似然率為Rk，然后給出其他各區(qū)間i相對于k的似然率Ri，則(i)=Ri/ΣRi由決策者給出每兩個子區(qū)間似然率的比例關系：rij=(i)/(j)，然后計算出每個狀態(tài)i的似然率(i)。變換擬合：同直方圖法第十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布估計：打賭法打賭法（離散型）設打賭者(A)的個人財產為W。設事件E發(fā)生時A獲得收入為p，(p<<W，0<p<1)，不發(fā)生時A獲得的收入為1-p。調整p值使A感覺無論事件E是否發(fā)生，其收入基本相同。則事件E發(fā)生的可能性(E)=1-p。第十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布估計：直方圖法直方圖法（適合于自然狀態(tài)在實軸某個區(qū)間連續(xù)取值）區(qū)間離散化：把的取值范圍劃分為若干子區(qū)間1…n賦值：估計每個區(qū)間的似然率(i)，據此作出直方圖變換：將直方圖擬合為概率分布函數F(x)=Σ≤x

()不足之處：區(qū)間數n難以確定似然率(i)估計困難F(x)通常有較大的尾部誤差第十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布估計：分位點法區(qū)間對分法（分位點法）-連續(xù)型確定事件不可能發(fā)生的臨界狀態(tài)取值（如某地區(qū)人口出生率不可能低于9‰，但也不可能超過18‰）；求中位數：當狀態(tài)取值為此值時，大于或小于此值的狀態(tài)出現的概率相等（如某地區(qū)人口出生率的中位數為12.5‰）；確定上下四分位點；確定八分位點（一般僅取到八分位點）。第十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二第十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布估計：分布函數法與給定形式的分布函數相匹配（最常用也容易濫用）[Matlab工具箱：StatisticsToolbox/ProbabilityDistributions]均勻分布（連續(xù)型）：如果隨機變量落在某個區(qū)間(a,b)中任意等長度的子區(qū)間內的可能性相等，則它服從均勻分布，均勻分布的概率密度函數為：[Matlab函數：unifpdf(x,a,b),unifit(DATA)]ab第十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布估計：分布函數法二項分布：(離散型)每次隨機試驗中事件A出現的概率為p，n次獨立試驗中事件A出現k次的概率服從二項分布：[Matlab函數：binopdf(k,n,p),binofit(k,n)]泊松分布：(離散型)每次隨機試驗中事件A出現的概率為p，n次（n→∞，但n*p=

為常數）獨立試驗中事件A出現k次的概率服從泊松分布：[Matlab函數：poisspdf(k,),poissfit(DATA)]第十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二第十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二主觀概率—先驗分布估計：分布函數法正態(tài)分布（高斯分布）：(連續(xù)型)若連續(xù)型隨機變量的概率密度函數為:

則稱隨機變量服從參數為、2的正態(tài)分布[Matlab函數：normpdf(x,,),normfit(DATA)]

。參見相關統(tǒng)計學書籍，看看還有哪些分布函數可供選擇使用？第二十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二第二十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二222023年6月7日

2、隨機性決策的效用函數

二.隨機性決策的基本概念第二十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二232023年6月7日

2、隨機性決策的效用函數第二十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二242023年6月7日效用函數的定義：

2、隨機性決策的效用函數第二十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二252023年6月7日

2、隨機性決策的效用函數第二十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二262023年6月7日

2、隨機性決策的效用函數第二十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二272023年6月7日

實際中的決策問題對決策人的決策往往是效益和風險并存。不同的決策人對待風險的態(tài)度可分為厭惡型、中立型和喜好型。

3、效用與風險的關系

二.隨機性決策的基本概念問題：決策人對待這一風險的態(tài)度是什么呢？第二十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二282023年6月7日

3、效用與風險的關系厭惡型:

決策人認為冒此風險的期望盈利只等價于比它低的不冒風險的盈利。喜好型:

對待風險的態(tài)度與厭惡型相反的。中立型：介于二者之間的，即決策人認為這和不冒任何風險的另一行為盈利a元等價。這三種不同的態(tài)度可以反映在效用函數上就是凹函數，線性函數和凸函數。第二十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二292023年6月7日

3、效用與風險的關系第二十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二302023年6月7日

實際中，有的效用函數曲線呈S型，即在后果的范圍內，決策人會從厭惡風險變?yōu)橄埠蔑L險。

3、效用與風險的關系

(1)反映了決策人的財產從小到大，對待風險的態(tài)度從喜好到厭惡的改變。(2)反映了決策人的財產從損失到盈利的增加，對待風險的態(tài)度從喜好到厭惡的變化。第三十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二312023年6月7日

4、損失函數與風險函數的關系

二.隨機性決策的基本概念第三十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二322023年6月7日4、損失函數與風險函數的關系第三十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二332023年6月7日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數

二.隨機性決策的基本概念

隨機優(yōu)勢法:在有價證券問題的研究中常用的一種在一定風險的情況下確定決策的方法。隨機優(yōu)勢法常用的效用函數有三種：第三十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二342023年6月7日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數

（１）遞增的效用函數

第三十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二352023年6月7日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數

（１）遞增的效用函數

這種類型的效用函數僅能反映出財富與風險的關系，但不能反映出決策人對待風險的態(tài)度。第三十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二362023年6月7日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數

（２）遞增的凹效用函數

第三十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二372023年6月7日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數

（２）遞增的凹效用函數

事實上，可以證明：第三十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二

（3）遞減的厭惡風險的效用函數382023年6月7日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數

第三十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二392023年6月7日

（3）遞減的厭惡風險的效用函數

5、隨機優(yōu)勢與效用函數

第三十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二402023年6月7日1、問題的提出三、案例分析：彩票中的數學問題要解決的問題：（1）根據所給方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設計一種“更好”的方案及相應的算法，并據此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。第四十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二412023年6月7日

２、問題的分析三、案例分析：彩票中的數學問題

評價一個方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和彩民兩方面的利益。事實上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。問題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購買彩票？

第四十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星