2023年高數(shù)知識匯總之微分方程x

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高數(shù)知識匯總之微分方程.docx第六章微分方程

6.1微分方程的基本概念

微分方程：

含有未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的等式稱為微分方程。

微分方程的階：

微分方程中，所含未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階。

微分方程的通解：

假如微分方程的解這中含有隨意常數(shù)，且隨意個不相關(guān)的常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解。

微分方程的特解：

在通解中賦予隨意常數(shù)以確定的值而得到的解，稱為特解。

初始條件：

用于確定通解中的隨意常數(shù)而得到特解的條件稱為初始條件。

積分曲線：

微分方程的特解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線。

6.2一階微分方程的求解辦法

6.2.1分別變量法

可分別變量的微分方程：

形如dy

f(x)

g(y)的微分方程，稱為可分別變量的微分方程。dx

特點：

等式右邊可以分解成兩個函數(shù)之積，其中一個是只含有x的函數(shù)，另一個是只含有y的函數(shù)．解法：

當g(y)0時，把dy

f(x)g(y)分別變量為dyf(x)dx,(

g(y)0)對上式兩邊積dxg(y)

分，得通解為

dy

f(x)dxCg(y)

（這里我們把積分常數(shù)C明確寫出來，而把dy

，f(x)dx分離理解為

1

和f(x)的g(y)g(y)

一個確定的原函數(shù)。）

6.2.2齊次方程和可化為齊次方程的一階方程不考。

6.2.3一階線性微分方程

一階線性微分方程：

假如一階微分方程F(x,y,y)0可以寫為yp(x)yq(x)則稱之為一階線性微分方程，

其中p(x)、q(x)為延續(xù)函數(shù)．當q(x)0時，此方程為dy

0，稱它為對應于

p(x)y

dx

非齊次線性方程的齊次線性微分方程；當q(x)0時，稱為非齊次線性微分方程。

解法：

用常數(shù)變易法可得其通解為：

p(x)dxp(x)dx

c)

ye(q(x)edx

（注：其中每個積分，不再加隨意常數(shù)C。）6.4可降階的二階微分方程

6.4.1不顯含未知函數(shù)y的二階方程：yf(x,y)

解法：

令ypp(x)，則ydpdp，方程變?yōu)?/p>

dxdx

yp(x)dx，即得通解。

6.4.2不顯含自變量x的二階方程:yf(y,y)解法：

令y=p=p(y)，則ydpp，方程變?yōu)閜

dp

dydy解。f(x,p)

f(y,p)

，解之得p,再積分得

，解之得p,再積分得通

6.5二階線性微分方程

6.5.1二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

二階線性微分方程：

形如yp(x)yq(x)yf(x)的方程,稱為二階線性微分方程。若f(x)0，稱之為二階齊次線性微分方程；若f(x)0，稱之為二階非齊次線性微分方程。

齊次線性方程解的疊加原理：

假如函數(shù)y1,y2是齊次方程yp(x)yq(x)y0的兩個解,則yC1y1C2y2也是方程yp(x)yq(x)y0的解,其中C,C均為隨意常數(shù)。

12

齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)：

假如函數(shù)y1(x),y2(x)是齊次方程yp(x)yq(x)y0的兩個線性無關(guān)解,則函數(shù)yCyCyCCyp(x)yq(x)y0

非齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)：

假如

y*是方程y

p(x)y

q(x)yf(x)的一個特解，Y

C1y1C2y2是方

程yp(x)y

q(x)yf(x)的通解,則yYy*C1

y1C2y2

y*

是方程yp(x)yq(x)yf(x)的通解。

線性微分方程的解的疊加原理：

若y1，y2分離是方程yp(x)yq(x)y

f1(x)，y

p(x)yq(x)yf2(x)

的特解，則

yy1y2

是方程y

p(x)yq(x)y

f1(x)f2(x)的特解。

6.5.2

二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程：

y

pyqy

0，其中p，q是常數(shù)。

特征方程與特征根：

按照y

pyqy0，可得r2prq

0。只要r的值能使r2prq

0式成立。

那么

yerx

就是y

pyqy0的解，稱r2prq0為y

pyqy

0的

特征方程，稱r

2

prq

0的根r1,r2為方程特征根。

二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解：

特征方程r

2

r1,r2

微分方程ypyqy0的通解

prq0的兩個特征根

r1

r2

yc1er1x

c2er2x

r1

r2

y

(c1

c2x)er1

x

r1.2

i

y

ex

(c1cosxc2sinx)

6.5.3二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：

形如y

pyqyf(x)（其中p,q均為常數(shù),f(x)0）的方程,稱為二階常系數(shù)非齊次

線性微分方程。

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解：

—ypyqyf(x)的通解應當為yYy*，Y為ypyqyf(x)對

應齊次線性方程：ypyqy0的通解，y為ypyqyf(x)的一個特解。

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解：

fx的兩種形式是：

1.fx=

pm(x)ex,是常數(shù)。

p(x)是x的一個m次多項式：pm(x)=a0xma1xm1am1xam

。

m

ypyqyf(x)

具有如下形式的特解：

y*xkQm(x)ex的特解，其中Qm(x)是與pm(x)同次的多項式。

k0，不是特征根

1，是單特征根

2，為重特征根

x

Pl(x)cosxPn(x)sinx.是常數(shù)。

2.fx=

e，其中：pl(x).pn(x)分離是l次、n次多項式，其中有一個可為零。

ypyqyf(x)

具有如下形式