中學數(shù)學知識應用和建模的教學模式

中學數(shù)學知識應用與建模的教學模式北京十五中唐安華隋麗麗王小丹“教學模式是依據(jù)教學思想和教學規(guī)律而形成的在教學過程中必須遵循的比較穩(wěn)固的教學程序及其方法的策略體系”。由于數(shù)學應用和數(shù)學建模在培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力方面起著重要的作用，因此中學數(shù)學（課內外）教學中增加數(shù)學知識應用與數(shù)學建模是對傳統(tǒng)數(shù)學教學的一個重大變革。這一變革必然促進教學方法、教學手段以及教學組織形式的變化，最終將突破傳統(tǒng)的教學模式而產(chǎn)生新的教學模式。數(shù)學知識應用與建模的課堂教學形式多樣、風格特點各異，大體可以劃分為五種模式，即：“切入式”、“專題式”、“調查報告式”、“論文研讀式”和“微型科究式”。一．數(shù)學知識應用與建模教學模式的理論依據(jù)1．理論聯(lián)系實際。數(shù)學學科的特征之一是它高度的抽象性，但是數(shù)學的高度抽象性決定了數(shù)學應用的廣泛性，這種廣泛性被越來越發(fā)達的科學技術所證實，同時數(shù)學的應用又推動了數(shù)學的新的發(fā)展。數(shù)學學科的這一特征決定了數(shù)學學習必須堅持理論聯(lián)系實際的原則，通過數(shù)學教學活動讓學生認識到數(shù)學來源于實際，數(shù)學無處不在，我們所學的數(shù)學知識是有用的，許多生產(chǎn)生活中的問題都可以用我們所學的數(shù)學知識給予解決。數(shù)學理論只有與實際相結合為實踐服務才有生命力。而學數(shù)學是為了用數(shù)學，數(shù)學學習只有堅持理論與實際相結合的原則才能真正理解并掌握數(shù)學知識。在中學數(shù)學知識應用與建模的教學中，要為學生創(chuàng)設一個學數(shù)學、用數(shù)學的環(huán)境。學生通過親自參與探究、發(fā)現(xiàn)、分析、學習、求解、檢驗這樣一個問題解決的全過程，得到學數(shù)學用數(shù)學的實際體驗，不但增強了用所學數(shù)學知識來觀察、分析身邊的事物和現(xiàn)象的數(shù)學應用意識，而且受到“理論聯(lián)系實際”、“實踐是檢驗真理的唯一標準”等馬克思主義實踐論與認識論的重要觀點的教育，因為數(shù)學建模的過程實際就是實踐—理論—實踐的過程，就是從實踐中來再回到實踐中去的過程。2．建構主義的學習觀。建構主義認為知識并非主體對客觀實在的簡單的被動的反映，而是學習者以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎的一個主動的建構過程，也就是說，所有的知識都是建構出來的。在建構過程中，主體已有的認知結構發(fā)揮了特別重要的作用，并且這個認知結構處于不斷的發(fā)展中。建構主義的學習觀進一步指出：(1)知識不能簡單地由教師或其他人傳授給學生而只能由每個學生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構。(2)學習活動是一個“順應”的過程，是認知框架的不斷變革或重組的過程。(3)學生的學習活動是在一個特定的環(huán)境——學校里，在教師的直接指導下進行的。因此學生的學習活動就成為了一種特殊的建構活動，一種高度組織化的社會行為。學生在數(shù)學知識應用和建模教學活動中，通過調查研究自己發(fā)現(xiàn)問題；將問題數(shù)學化制定解決方案；遇到問題自己去收集、查找資料；向書本學習向內行人士學習，最終解決問題。這個過程是一個學習的過程，是一個做數(shù)學的過程，更是一個主動建構自己認知結構的過程。需要強調的是，我們堅持建構主義學習觀，并不否認學生的個體差異，而是明確肯定學生認知活動的個體特殊性，這種特殊性不但包括了學生已有的知識和經(jīng)驗，也包括學生的認知風格、學習態(tài)度、學習信念和學習動機等諸因素，因此，在同樣的學習活動中，不同的學生就會有不同的建構。我們堅持建構主義學習觀，認為教師不能代替學生主動建構，但也并不否認環(huán)境對學生主動建構所帶來的影響，而是明確肯定教師工作對學生學習活動的積極意義。學生的學習認知活動不是一個純粹的個人行為，一方面學生要接受教師的指導和幫助，進行師生的交流；另一方面學生要參與學生之間的交流和相互質疑。學生的建構活動是一種社會行為。因此在數(shù)學建模教學中，更要發(fā)揮教師的主導作用更要注意開展好師生、生生之間的交流與合作，使環(huán)境因素對學生的學習建構活動帶來充分的積極影響。3．學生主體參與是教育改革的核心問題。傳統(tǒng)的教學觀強調教育的基本功能是傳授知識，教師“授業(yè)、解惑”，是知識的傳播者，強調了教師在教學活動中的主導作用，但卻忽視了學生的個體差異，忽視了學生為今后發(fā)展在學習能力上在探索創(chuàng)新意識的能力上的需求，只按早已設定的教學計劃，把學生當作教學的對象,接受教育的客體,而抹殺了學生作為學習的主體的能動作用。當前教育改革在數(shù)學學科實施素質教育的一個核心問題就是堅持和發(fā)展學生的主體性，而學科教學中主體參與則是堅持和發(fā)展學生學習的主體性的的重要原則。在數(shù)學知識應用與建模的“專題式”、“論文研讀式”和“微型科研式”教學模式中，不是按照教師事先規(guī)定的方法和程序解決問題，而是在教師與學生的平等參與下，按學生自己的思路、方法和程序解決問題。這樣的教學活動為學生提供了自主探索、自主地提出問題、自主地解決問題的機會，充分體現(xiàn)了學生學習的主體性，充分體現(xiàn)了學生主體參與教學活動的原則，使學生在學習中學會學習，在探索中學會探索，在問題解決的實踐中培養(yǎng)實踐能力。4．創(chuàng)新教育是素質教育的核心江澤民主席強調指出“創(chuàng)新是一個民族的靈魂，是國家興旺發(fā)達的不竭動力”，而創(chuàng)新的關鍵是人才，是要有一支具有創(chuàng)新精神和能力的高層次人材隊伍。創(chuàng)新人材的培養(yǎng)是一個系統(tǒng)工程。必須從小抓起，從各級教育著手?；A教育階段的創(chuàng)新教育應面對全體學生，著重于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新情感，為創(chuàng)新人格的形成、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)打下基礎。開發(fā)每個學生的潛能，為每個學生提供今后發(fā)展所需要的教育，這也正是今天我們所提倡的素質教育的實質。傳統(tǒng)的教育觀，把傳授知識作為教育的最主要的甚至是全部的目的。學生學習的途徑只有一個就是教師的“教”。因此，教師也就成為了正確的唯一化身。然而古往今來為科學、為人類的進步做出了卓越貢獻的科學家的個人成長經(jīng)歷，無一不揭示著一條真理：即學校教育僅偏重傳授知識是遠遠不夠的。因為將前人的經(jīng)驗和知識的精華傳授給學生是為了讓他們能夠更快地站在前人的肩上，去開創(chuàng)光輝的未來。因此教育的重心應該是啟發(fā)引導學生探索，啟發(fā)引導學生創(chuàng)新。中學數(shù)學知識應用與建模教學以學習和掌握科學的思維規(guī)律為前提，以所學數(shù)學知識為基礎，讓學生在對自然界的數(shù)學過程進行科學探索和研究中學習數(shù)學，是提高學生綜合素質、開發(fā)學生潛在創(chuàng)造力的極好方式。二．數(shù)學知識應用與建模教學的教學原則數(shù)學知識的應用包括在數(shù)學學科內部和外部兩個方面的應用。數(shù)學知識應用的教學，主要研究的是具有實際背景的例子，多是經(jīng)過加工的實際問題，但突出的是數(shù)學，所要達到的教學目的是加深對所學知識的理解，鞏固所學數(shù)學知識和數(shù)學方法，解決數(shù)學知識“有用”的認識問題。數(shù)學建模運用的是數(shù)學工具，解決的是來自生產(chǎn)生活中的非數(shù)學問題。盡管受知識和能力所限，中學數(shù)學建模問題較多的還帶有應用的性質。但是仍需經(jīng)歷：采集信息，建構數(shù)學模型、對數(shù)學模型求解、實踐檢驗的全過程。因此數(shù)學知識與數(shù)學建模的教學模式，必須體現(xiàn)以下教學原則。1.“再創(chuàng)造”原則。數(shù)學知識應用與建模課堂教學為學生提供了一個自己學習、自己探索、自己提出問題、自己解決問題的可能和機會。所以數(shù)學建模的核心是在學生的積極參與前提下進行的“再創(chuàng)造”活動。2.“數(shù)學化”原則。學生是在將實際問題抽象成純數(shù)學問題，也就是將實際問題數(shù)學化的過程中學習數(shù)學。我們所看重的是幫助學生學會數(shù)學的思考，學會數(shù)學的觀察世界。因此整個教學過程印證了著名的荷蘭數(shù)學家弗賴登塔的名言：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習“數(shù)學化”。3.“數(shù)學現(xiàn)實性”原則。教學中我們充分肯定并強調學生個體的特殊性，對不同能力的學生開展不同層次的數(shù)學應用與建?；顒樱M量為不同的學生提供不同的但是能展現(xiàn)他們創(chuàng)造力的舞臺，讓他們在不同程度上都能用數(shù)學，在用數(shù)學的過程中獲得不同程度的數(shù)學應用的體驗。實現(xiàn)每個學生在自己“數(shù)學現(xiàn)實”基礎上的數(shù)學能力、應用意識與實踐能力的提高。進而獲得“學然后之不足”的感悟，從而更刻苦的去學習數(shù)學。4．“嚴謹性”原則。中學數(shù)學建模不應刻意追求建模過程的復雜和完美，不應要求模型推證計算的絕對嚴謹，而是在學生的“數(shù)學現(xiàn)實”條件下的嚴謹。因此對學生建模結論執(zhí)有的應是一種特定的評價標準。由于現(xiàn)實是，當今社會科學技術的飛速發(fā)展與中學生有限知識之間存在著很大的差異。必須認識到科學的“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)新”也是有高低不同層次的。一名中學生要想提出一個新概念、要想發(fā)現(xiàn)人們從來不知道的新定理、新方法、新理論是幾乎不可能的。但是通過他們自己的努力和踏踏實實的工作，去發(fā)現(xiàn)可能別人早已知道而只對他們來說是未知的知識、規(guī)律卻是完全可能的。從這個意義上講，中學生也完全可以獲得數(shù)學的發(fā)現(xiàn)。這就是一名中學生創(chuàng)新能力的表現(xiàn)。開發(fā)并扶植它正是數(shù)學建模教學的目的。三．數(shù)學知識應用和建模的教學模式1．切入式這是將數(shù)學知識應用切入到整個教學過程中的局部環(huán)節(jié)上的教學模式，它不一定包含問題解決的全過程?！扒腥胧健苯虒W模式程序框圖如下(1)功能目標。通過結合課堂教學內容引入數(shù)學應用的實例，達到引起學生的興趣，了解有關數(shù)學知識在生產(chǎn)、生活中的用處，解決數(shù)學知識是有用的這樣一個認識問題的目的。通過應用問題的求解，使學生初步掌握用有關數(shù)學知識解應用題的方法，培養(yǎng)學生數(shù)學知識應用的能力的目的。(2)教學程序和師生角色。在新知識新概念新定理的教學起始階段，介紹具有實際背景的應用例題，由于教學的重點是數(shù)學新知識，因此，對引用的應用問題只是由教師提出問題并作介紹,以吸引學生的注意,激發(fā)學生的好奇心、求知欲望和探索的欲望，往往不對它求解。在知識概念定理教學的鞏固階段，引入經(jīng)過加工的實際問題，這時教學的重點是鞏固所學的數(shù)學知識。因此應該在教師的引導下，經(jīng)過討論學生完成將問題數(shù)學化的過程。對一些典型的例題還應完成問題的求解過程。在這樣教學的局部環(huán)節(jié)上切入數(shù)學知識應用的教學模式，教師提供史料、實例和應用的例題，為學生創(chuàng)設應用的情景。在問題解決的過程中，學生解題的每一步都是在教師引導下完成的。因此充分體現(xiàn)了教師的主導作用。教師的教學是主動的，而學生則是被動的。但學生被應用的情景所感染，被教師提供的應用實例以及充滿激情的教學語言所吸引，積極思維完成問題的數(shù)學化和問題的求解過程，則體現(xiàn)了學生學習的主體性。(3)評價。一般情況下，切入式教學模式中的應用問題，都是經(jīng)過人為加工的問題，問題的條件清楚準確，不多不少，所用數(shù)學知識單一明確，原始問題數(shù)學化的過程簡單明了，結論唯一確定而且很少需要思考是否合乎實際。因此這些應用例題只是簡單的特殊的建模問題。它不能充分展示數(shù)學建模的典型過程，不能體現(xiàn)建模的創(chuàng)造性和開放性。它所實現(xiàn)的功能更多地表現(xiàn)在鞏固數(shù)學知識的目的之上。因此，切入式教學模式，在培養(yǎng)學生的應用意識并掌握用數(shù)學知識解決問題的方法方面功能是強的。但是，它在培養(yǎng)學生的實踐能力上的作用是有限的。2．專題式這是在一章或幾章知識學完后，或在教學過程中遇到學生知識網(wǎng)絡的交匯處，或是在期中期末、高考復習期間，用一至幾課時，集中進行數(shù)學知識應用的問題解決的教學模式?！皩ｎ}式”教學模式程序框圖如下：(1)功能目標。通過集中時間、集中精力進行數(shù)學知識應用的教學活動，使學生的思維在整個教學過程中處在“應用”的環(huán)境里，達到增強應用所學的數(shù)學知識來觀察、分析發(fā)生在身邊的事物和現(xiàn)象的意識。通過應用開放性問題的討論和求解，鞏固所學數(shù)學知識，在應用中獲得數(shù)學的體驗，使學生較好地體會數(shù)學知識應用的方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，以及應用數(shù)學知識解決實際問題的能力。由于時間集中，問題集中，使教師與學生、學生與學生之間的交流討論有了時間的保證，從而培養(yǎng)學生的合作精神。時間與問題的集中也為現(xiàn)代教育技術的使用創(chuàng)造條件，通過計算器，計算機的運用，達到培養(yǎng)學生進行數(shù)學實驗能力的目的。(2)教學程序和師生角色。專題式教學模式所要達到的教學目標有復習總結的性質。因此，首先教師應對有關教學知識作一簡明的小結。對解數(shù)學應用問題的程序作必要的講解，并點明本節(jié)課或這幾節(jié)課所要解決的問題。根據(jù)教學的需要，精選問題是上好“專題式”數(shù)學應用課的前提。選題的原則可以從數(shù)學知識出發(fā)，精選例題，確定教學重點。例：函數(shù)知識的應用，數(shù)列知識的應用等等，也可以從應用的領域出發(fā)，精選例題，確定教學重點。例：測量應用問題、金融經(jīng)濟應用問題等等。題量的多少則由課時的多少和問題的開放程度確定，少則一個題，多則四、五個題不等。專題式教學模式課堂教學所處理的對象應是一些相對復雜的應用問題，表現(xiàn)為條件紛雜，從中抽象出純數(shù)學問題比較困難，或者所需數(shù)學知識較多，求解困難，或者抽象出的數(shù)學問題，即數(shù)學模型多樣，求解方式也多樣等等。也就是說，“專題式”所處理的問題應比“切入式”處理的問題有較大難度和較大的開放性。由教師精心選取的例題只為學生創(chuàng)設了良好的問題環(huán)境，專題式模式的課堂教學，不再以教師講授為主，而是將精選的例題交給學生，由學生認真讀題，分析研究題目提供的數(shù)據(jù)和條件并挖掘其所隱含的更深層的信息，自己去提出模型假設，并對它求解。問題解決的全過程均由學生獨立或合作完成。教師可以參與學生的討論，了解學生的進展，學生遇到困難時，適時適度地給學生一些必要的鼓勵、建議和意見，并適時組織全體學生討論、評價同學們不同的建模方案，評價不同的求解結果。教師是問題的提供者，學生建模的參謀和課堂討論建模與評價的組織者，而學生是問題解決的生力軍、課堂教學的主體。雖然這種模式所處理的問題只是相對復雜的應用問題，只是狹義的數(shù)學建模，但它仍能較好的體現(xiàn)：實際問題—純數(shù)學問題—數(shù)學問題的解—實際問題的解，這樣一個建模的全過程。對于選得好的題目還可以實現(xiàn)學生根據(jù)自己對問題的理解進行不同的數(shù)學化過程，使學生的工作表現(xiàn)出更多的主動性和創(chuàng)造性的個性特征，而且教學方法實現(xiàn)了從以教師“講”為主向以學生“做”為主的過渡，體現(xiàn)了學數(shù)學就是做數(shù)學的數(shù)學學習觀。(3)評價。由于“專題式”模式帶有總結復習的性質，課堂上學生的主要任務是用已有的數(shù)學知識去解決教師所提供的實際應用題。但是，例題大多所表現(xiàn)出來的被加工過的特點和強調“應用”的特點，使實際問題的背景分析和實際問題的數(shù)學化過程成為教學的重點。雖然也需建立數(shù)學模型，但不能充分展示數(shù)學建模的典型過程，這樣的建模是不完備的。這種不完備性使數(shù)學建模的創(chuàng)造性和開放性得不到充分的體現(xiàn)。因此，在培養(yǎng)學生的應用意識、創(chuàng)新精神、實踐能力諸方面，“專題式”的功能雖然比“切入式”增強了很多，但仍有其局限性。3．調查報告式這是一種課堂教學與課外活動相結合的新的教學模式。是課外調查研究，課內交流的教學模式?！罢{查報告”式教學模式框圖如下：(1)功能目標。學生通過課外的社會調查，采集信息，發(fā)現(xiàn)問題的過程，學習如何數(shù)學地觀察世界，數(shù)學地思考，增強應用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識，培養(yǎng)學生的問題意識和發(fā)現(xiàn)問題的能力。因為問題本身是學生自己提出的，信息數(shù)據(jù)是自己采集的，在對所采集信息的加工篩選和整理后提出建模方案，并對數(shù)學模型進行討論和求解，求解過程中，學生會發(fā)現(xiàn)自己在數(shù)學知識的掌握上所存在的欠缺和不足，促使學生去復習和更深入的學習數(shù)學知識。因此，通過教學活動可達到鞏固所學數(shù)學知識的目的。由于所提出的問題可能彼此不同，建模的方法和求解方式也多種多樣而表現(xiàn)了較大的靈活性和層次性，所以這種教學模式的教學，對不同水平的學生都可以達到培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的目的。利用計算機篩選、加工、整理信息，建模和求解使學生體驗了信息處理的方法，初步培養(yǎng)學生處理信息的能力。學生把調查研究的結果寫成調查報告，并在課內進行全班交流，培養(yǎng)學生的表述能力。由于課外活動部分多以小組為單位進行，課上由小組的代表向全班同學報告進行交流，創(chuàng)設了學生之間密切配合、協(xié)調分工、探索思維的情境，同時也培養(yǎng)了學生的合作精神。社會調查促使學生走出校門，深入社會，深入生活，突破原有學校的封閉狀態(tài)，把學生置于一種動態(tài)、開放、主動、多元的學習環(huán)境中，為學生提供了更多的獲取知識的方法和渠道，也培養(yǎng)了學生關注社會、關注生活的社會責任感和主人翁意識以及社交能力。(2)教學程序和師生角色。首先，教師應向全體學生講明社會調查的目的和對象是：了解某一部分數(shù)學知識在生產(chǎn)、生活中的應用，或在某個領域里用到了哪些數(shù)學知識。例如：貨物堆放的不同方法和數(shù)量的計算；建筑物的屋頂所成各種二面角的測量和計算；高中學生的身高與體重的調查以及它們之間的關系的探討等等。其次，要求學生以小組為單位制定調查提綱，分工合作采集數(shù)據(jù)，分析、提煉，加工轉化得到教學模型，集體討論完成問題的求解，并寫成調查報告。教師可以參與學生一起去做調查工作，也可以放手讓學生自主的完成這一工作。但是教師應隨時了解學生工作的進展情況，對于學生工作中遇到的問題，適時適度地給予點撥。對于能力水平較差的學生或較難解的問題，教師有必要與學生一起討論研究建模的方式和求解的方法。學生完成的調查報告教師必須一一過目，認真閱讀。發(fā)現(xiàn)優(yōu)秀者（例如問題提得好的，或建模有特色的，或解法新穎的等等）提交班內交流。交流由教師組織。發(fā)言的同學主要向全班介紹本組調查了什么問題，建立了什么樣的模型以及怎樣求解，得到什么樣的結論。最后應當有一定的時間在教師的組織引導下進行全班的討論和評價。教師還必須做一個簡短的、經(jīng)過認真準備的總結。在充分肯定成績的同時，更要指出這次活動中存在的具有普遍性的問題或不足之處（包括組織方面的，也包括技術方面的，建模方面的不足）。對于調查報告的優(yōu)秀者，教師應將之存檔，以備作為今后教學用，對于值得進一步深入研究的問題，應組織學生，繼續(xù)把題目做下去，以求得更好的結果。顯然，調查研究式教學過程中教師是整個活動的組織和指揮者，同時也是學生調查與建模的合作者，而學生的社會調查、提出問題、建模并求解則是完全主動地進行的。學生已不再是被動的學習，不只是知識的接受者，而是問題的提出者和解決者，是認知結構的主動建構者。在用數(shù)學做數(shù)學中學數(shù)學，學生是數(shù)學知識的探索者和實踐者，他們對課堂教學目標的實現(xiàn)負有重要的責任，而責任感將轉化為學生積極探究問題的內動力。(3)評價。如前所述調查研究教學模式，學生解決的是真正意義上的實際問題。比較完整地體現(xiàn)了數(shù)學知識應用與建模的全過程。它比切入式和專題式在培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)新精神、實踐能力方面有較強的功能，但是，由于學生調查研究的主題內容和范圍是教師布置的,學生的工作必須圍繞這個主題進行，學生的一切工作都是為了實現(xiàn)教師的教學意圖，這就給學生的思維空間規(guī)定了一個框框，使這種模式的開放性和它的教育功能受到了局現(xiàn)，再加上時間的限制，有時會出現(xiàn)對問題的研究不深刻，結論不理想的結果。與專題式相同，調查研究式只適用于在教學的一定階段上。例如：某一章、某一部分知識學完之后，在期中或期末復習總結時進行。4．論文研讀式論文研讀教學模式是由教師精選論文，學生課下閱讀，課上學生主持開展討論研究，通過集體研究討論他人的優(yōu)秀建模論文來學習數(shù)學應用與建模的教學模式?！罢撐难凶x式”教學程序的框圖如下：(1)功能目標。論文研讀的教學模式要求每位學生按照教師的要求事先認真閱讀選定的建模論文，通過習讀達到培養(yǎng)學生自主學習的能力，尤其使學生感受到學習數(shù)學科學論文與學習其它文章的區(qū)別，受到一次學習數(shù)學科學論文的鍛煉，為學生終身學習，在習慣和方法方面奠定基礎。通過個人習讀，集體研究討論，爭取分別在以下不同層面上讀懂原作：①搞清楚該論文研究的是一個什么問題，問題的背景是什么？搞清論文的結構和內容大意；②搞清楚該論文數(shù)學建模的方法和步驟，求解的策略和手段，以及得到的結論；③體會論文作者建模的思想和方法；④提出自己對這個論題以及建模思想方法的見解。雖然學習他人的數(shù)學模型不同于自己建模,但是對于培養(yǎng)學生自主學習的能力以及從研究他人建模的思想和方法中,學習如何建模無疑具有積極的意義。由于選用的論文都是中學生的建模論文，研讀者與作者知識水平、思維風格更接近，因此這種教學模式，可以用較少的時間、通過較好的論題，達到實現(xiàn)一個群體數(shù)學應用與建模能力的快速提高的目的。由于讀懂一篇文章和能用自己的語言講解一篇文章，并讓別人能聽懂自己的講解是有天壤之別的。因此，這種教學模式對于主持講解的同學而言會有更大的收獲和提高。為了“讀懂”論文，學生也需要去查找資料，也需要利用計算機或圖形計算器等工具作數(shù)據(jù)處理，有時還需要親自動手算一算，這些工作對一個學生而言無疑是對他的實踐能力等多種能力的一次綜合的鍛煉。師生在對論文進行廣泛深入的討論中，難免出現(xiàn)不同意見、不同看法，甚至產(chǎn)生爭論。這種問題的場景恰好為學生的創(chuàng)新思維提供了廣闊的天地，為學生思維的獨到見解提供了展示的機會和舞臺，研究討論的過程中使敢于堅持真理敢干修正錯誤的科學精神得到宏揚。論文研讀的教學方式與通常課堂教學不同，它更注重學生主動的建構，由于師生平等的參與，營造了民主融洽寬松的研究氛圍，更可以達到增強學生的自主意識的目的。學生通過對中學生的數(shù)學建模優(yōu)秀論文的研讀還可以受到一種無形的來自同齡人的激勵，增強自己也可以寫數(shù)學建模論文，也可以寫出好的論文的信念。為了組織好論文的集體研讀，使之達到預期目的。教師自己也需事先對選定的論文進行認真的閱讀，對于論文所涉及的那些自己也不太了解或者根本不懂的問題更有必要去請教書本，請教他人，對于文章所涉及的其它學科，其它專業(yè)的問題，雖然不必要求“精通”(大多也不可能“精通”)，至少也要做到初步了解的程度，這樣在研讀課的最后，教師才可能對研讀課做出一個恰如其分的總結和評價。因此雖然教師并不直接主持集體的討論，但是通過這樣的教學對擴大教師的知識面，體會數(shù)學建模的理論與方法，培養(yǎng)自身的創(chuàng)新精神和能力，提高自身的業(yè)務能力，無疑是大有裨益的。(2)教學程序與師生角色。論文研讀課的教學程序是課前十天左右教師將精選的一篇數(shù)學建模論文（以中學生的論文為宜）印發(fā)給大家，同時布置閱讀要求，要求了解原作的問題背景；理解原作的建模方式、求解策略和手段方法；了解原作的結論；設想自己擁有這個實際問題將怎樣建模等。同學們課下習讀，做研讀的準備，并寫出習讀筆記。同時確定1-2位同學作為課堂討論的主持主講人，（也可以視同學們準備的情況再確定主持主講人）。在研討課上，主講人首先用自己的語言陳述論文問題的背景，論文的結構，和論文的結論講解數(shù)學化的過程和建模的方法。同學們就自己對論文的理解以及主持人的講解提出問題，（包括自己沒有弄明白的問題，也包括自己認為很重要，且自己已弄明白的問題等等）。主講人解答或組織同學們開展討論。教師與學生一起平等的參加討論，發(fā)表自己的意見，提出自己的問題。最后由主講人簡短小結：通過討論，弄懂了哪些問題，還有什么問題沒有明白等。教師對整個論文研讀活動（包括研讀和論文兩個方面）作出總結。綜上所述，可以清楚的看到，在論文研讀教學模式中，教師的主導作用主要通過以下兩方面的工作表現(xiàn)出來：①精選論文，創(chuàng)設好的問題環(huán)境，指出研讀的環(huán)節(jié)，提出研讀的要求，激發(fā)學生自主學習探索的積極性和創(chuàng)造性。②對整個研讀活動恰如其分的總結。通過研讀，對論文問題背景、作者的建模思路、方法、結論等方面，搞清楚了哪些問題，還有什么問題不清楚，有沒有其它建模方案或看法。也總結研讀中，同學們的工作、主講人的講解、同學們的討論和爭辯好的方面是什么，存在什么問題，研讀目的是否達到。而在研讀的過程中,教師與學生平等地參與,都是論文的研讀者,教師不再是"正確"的化身,也不充當編劇、導演或主演。教師完全是學生學習討論的伙伴，有時也給主講人一些建議，扮演建議者，但更多的時候是學生主講人忠實的聽眾，爭辯的同盟或對手，而學生是論文研讀的主演，他們自主地學習，自主地發(fā)現(xiàn)問題，大膽地發(fā)表自己的意見，自主地開展討論。他們共同切蹉共同剖析，互相交流、互相質疑、互相探究、互相啟發(fā)，共同實現(xiàn)研讀的目的。他們是自己的認知結構的主動建構者。(3)評價。論文研讀式，學生所面對的不再是一般的數(shù)學應用題，問題的背景可能是非數(shù)學學科領域，所采用的是課下學習與課上討論結合起來的方式。課上營造的是師生平等的、自主研究討論的、民主的學術氛圍。它突破了學生掌握知識靠教師“教”的傳統(tǒng)模式，而更具主動性、活動性和開放性的特點。但是也正因為這些特點就使得以下幾個問題顯得更為重要。①論文的選擇，應該注意選擇與學生生活較貼近的題材，基本不超出學生現(xiàn)有數(shù)學知識的范圍，在學生認識水平基礎上學生比較容易深入、思維較易引起共鳴的學生論文。否則會因論文難學難懂，使研讀很難推進，或者也會因為論文內容太淺而難以引起學生的研讀興趣。②主持主講人的挑選，從某種意義上講，研讀論文的學習活動能否順利進行，得益于學生主講人成功的主持和講解。為了組織好討論，主講人必須在“讀懂”上下更大的功夫，但是并不要求主講人一定要研讀得最深刻。能勝任這一工作的學生的數(shù)學成績也不一定是最優(yōu)秀的。主講人要有一定的組織能力，并能隨機應變。③由于不同的學生對論文的理解深度不同，與作者的想法自然會存在不同程度的偏差。從不同的角度看問題，同學們對原作的建模思想，求解的方法、策略還可能出現(xiàn)多種不同的看法。課上研討時還要注意避免不認真領會原作建模思想、求解方法和策略，而專挑剔毛病，背離研讀目的的情況出現(xiàn)。一旦出現(xiàn)挑毛病的苗頭，教師應通過自己的發(fā)言或提問及時適當?shù)嘏まD局面，使研討正常進行下去。5．微型科研式這是一種學生從生產(chǎn)生活中自主地選擇、確定研究專題進行微科研，將研究結果撰寫成論文，并通過論文報告和答辯培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識、創(chuàng)新精神與實踐能力的教學模式。是以課下個人或小組活動為主的教學模式?！拔⑿涂蒲惺健苯虒W程序框圖如下：(1)功能目標。通過“切入式”“專題式”“調查報告式”教學，學生有了數(shù)學知識應用的初步體驗；通過論文研讀式教學，又初步了解了如何寫數(shù)學建模論文；學生又具有了一定的數(shù)學知識基礎。這時可以利用寒暑假較充足的時間，放手讓學生到社會中去調查了解，發(fā)現(xiàn)研究的專題，對專題進行比較深入的探討和研究。由于微型科研式的操作與調查報告式基本相同，因此他們有相同的功能目標。但是與調查報告式不同，教師對學生的工作不做任何規(guī)定，學生在沒有任何條條框框的束縛下深入社會，深入生活去選擇和確定他們自己感興趣的研究課題。這些研究課題大量的是非數(shù)學學科領域的問題，要用數(shù)學建模的方法去研究它，從而建立了學生知識的橫向聯(lián)系；在研究和解決問題的過程中，學生對綜合學科知識有更深刻的體驗和感受。雖然學生在深入社會實踐，親自采集信息，利用計算工具或成品工具軟件篩選或處理信息等方面，與調查報告式相同，但是最后要求寫的不是調查報告，而是要求用建模論文的形式準確地陳述研究的方法、步驟，自己的觀點和結果以及合作經(jīng)歷，對于部分優(yōu)秀的論文還要組織答辯和報告。這樣的學習活動不僅改變了學生學習的場所和學習的方式，它更強調學生學習的自主性和探索性，更突出地體現(xiàn)出學習的實踐性、開放性、自主性和過程性的特點。因此，對于學生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神以及實踐能力乃至學生的綜合素質和能力的培養(yǎng)具有更強的功能，是中學數(shù)學建模教學模式的最高層次。(2)教學程序和師生角色。微型科研式實現(xiàn)的是一種研究性學習，當學生確定了自己的研究課題之后，必須對課題的歷史和現(xiàn)狀做大量調查研究，圍繞問題展開微型科研，從選題一直到定稿打印成文，整個過程的每一個決策、每一件工作都是學生根據(jù)自身的需要主動去做的。他們是問題的提出者、研究方案的設計者和實施者。為了很好地實現(xiàn)教學目標，教師的指導工作也是必不可少的。教師主要應做以下指導工作：a.前期指導工作。在學生選題之前進行，采取集體指導的形式。主要解決三個問題：①破除迷信、解放思想。用大量事例說明數(shù)學對人類文明，對未來世界高科技發(fā)展、對國力競爭、對人才成長的重要性。用中學生寫論文的實例（包括本校的，也包括外校的）說明，科學研究不只是專家學者的專利，我們中學生也可以參與微型科學研究，并將研究成果寫成論文。②如何選題。用實例說明數(shù)學知識在日常生活中、在工作生產(chǎn)中有著廣泛的應用，尤其是用發(fā)生在我們身邊的看似與數(shù)學無關，實則包含著一定數(shù)學原理的例子。例如：人員疏散問題、食堂窗口設置問題等等，一方面開拓學生的眼界，另一方面使學生懂得只有關注社會、關注生活才可能發(fā)現(xiàn)值得我們去研究的問題。但是，鑒于中學生的學識尚淺，研究方法和手段不足等等自身主觀條件所限，或者由于問題中不可預測因素過多，涉及面太廣等等客觀因素的原因，被發(fā)現(xiàn)的問題我們的同學不一定都能研究得了。因此，我們認為中學生在論文選題時不要怕問題小，應選擇自己比較熟悉的問題、選擇自己比較感興趣的、能發(fā)揮自己特長的、變量較少的問題；并且應爭取得到家長的支持和幫助。③研究的方法和途徑。要求學生在初步確定選題方向后，必須著手調查研究，去了解所選問題的歷史和現(xiàn)狀，了解與之有關的知識，開始文獻的檢索、信息數(shù)據(jù)的采集、篩選和分類工作。b.中期指導工作。教師對學生所選問題的研究以及論文的寫作不能放任自流，必須對學生選題情況、調查研究的進展情況做到心中有數(shù)，同時也為了進行同學之間的交流和促進，中期指導宜采用集中時間集體交流，個別指導的方式。每位或每組（提倡兩人合作完成論文）向大家介紹自己所選問題和自己已經(jīng)完成或正在進行的工作，例如參考了哪些書、到那些地方作調查、掌握了哪些數(shù)據(jù)、對這些數(shù)據(jù)作了怎樣的研究、有什么初步成果等等。然后由教師對每位或每組學生進行個別交流、指導，在教師的知識與水平限度之內對學生的選題可行性提出參考意見，對學生的調查情況、數(shù)據(jù)處理的方法提一些建議，解答學生提出的問題。對于那些教師也不能回答的問題，例如涉及其他學科的知識，我們努力向其他學科的同行請教，并將結果轉告學生。c.后期指導工作。在指定日期內要求學生上繳論文初稿的打印件。指導教師輪流閱讀后采取個別指導的方式，對每篇稿件質疑并提出修改意見（包括所論述問題的內容和方法，文字表述，已至打印技術方面的意見），對于學生論文所論述的問題的結果，要求學生盡可能拿到實踐中檢驗，并對檢驗結果作適當分析，以防止由于學生調查研究不足，掌握信息量不夠或研究方法選擇不當，或考慮問題片面性甚至于考慮問題的出發(fā)點有誤而導致嚴重脫離實際的情況出現(xiàn)。對每一篇論文的這種指導，有時不止一次，直到論文最后定稿成文為止。對于參加論文答辯的同學還需進行答辯指導，要求學生能簡明扼要的闡述自己論文的要點（包括解決的問題是什么、研究的思路和方法、研究的結果怎樣和自我評價、合作的經(jīng)歷等等），這樣做的目的主要是希望學生在做答辯準備的過程中，重新審視自己的工作從而能獲得更深刻的數(shù)學體驗。論文寫成后，指導教師應逐一認真閱讀，初步劃分出好、中、差三類。對其中部分論文，組織答辯會，請相關學科的老師和有關專家對學生論文進行點評。為了在同學中擴大影響，在答辯會的基礎上，召開相關年級學生論文報告大會。選擇論文優(yōu)秀者分別就以下三個問題作大會發(fā)言，①報告自己的論文；②講解自己是怎樣發(fā)現(xiàn)并確定自己的研究課題的，如何克服困難完成論文的；③合寫論文的作者介紹是怎樣合作的。通過報告讓更多的同學受到一種自主學習的教育、一種培養(yǎng)數(shù)學知識應用意識和創(chuàng)新意識的教育。同時也受到來自同齡人的啟迪和鼓舞，認識到學習數(shù)學知識是有用的；樹立自己也可以寫論文、自己也可以發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學問題并應用已有的數(shù)學知識和方法去解決實際問題的觀念和信心；進一步培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，并由此悟出學然后知不足的道理，從而激發(fā)更強烈的求知欲望，更加刻苦主動的去學習數(shù)學，扎扎實實的打好基礎。作為教學過程的最后一個環(huán)節(jié)，召開學生座談會，師生一起座談參加這種研究性學習的收獲體會。顯然,教師的指導工作僅僅是對學生的工作做一些質詢，對于學生建模過程遇到的問題，在可能的范圍內提出一些建議。但是對學生的選題乃至學生建模的思路、研究的方法則不予干預，更不能用教師的工作去代替學生的工作。因此，教師是教學的組織者、學生研究工作的建議者、參謀、學生論文的欣賞者。(2)評價。從前面的論述可以看到“微型科研式”為學生營造的是一個極為開放的創(chuàng)新的環(huán)境，完成一篇優(yōu)秀的建模論文