《直線和平面垂直的判定與性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄

《直線和平面垂直的判定與性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄（一）一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1．直線和平面垂直的定義及相關(guān)概念．2．直線和平面垂直的判定定理．3．線線平行的性質(zhì)定理（即例題1）．（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1．要善于應(yīng)用平移手法將分散的條件集中到某一個(gè)圖形中進(jìn)行研究，特別是輔助線的添加．2．講直線和平面垂直時(shí)，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生把直線和平面關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的關(guān)系．如直線和平面垂直，只須這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．（三）德育滲透點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，定理的證明過(guò)程實(shí)質(zhì)是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的過(guò)程：立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題來(lái)解決，線、面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線、線垂直問(wèn)題來(lái)解決．轉(zhuǎn)化思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，在立體幾何的證明和解題中，是一種常用的思想方法．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1．教學(xué)重點(diǎn)（1）掌握直線和平面垂直的定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面垂直．（2）掌握直線和平面垂直的判定定理：（3）掌握線線平行的性質(zhì)定理：若a∥b，a⊥α則b⊥α．2．教學(xué)難點(diǎn)：在于線、面垂直定義的理解和判定定理的證明；同時(shí)還要解決好定理證明過(guò)程中，輔助線添加的方法和原因，及為何可用經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的兩條直線說(shuō)明“任意”直線的問(wèn)題．3．教學(xué)疑點(diǎn)：判定定理的條件中，“相交”是關(guān)鍵，“兩條”也是一個(gè)重要條件，對(duì)于初學(xué)立體幾何的學(xué)生來(lái)講，是不好理解的，教師應(yīng)該用實(shí)例說(shuō)明這兩個(gè)條件缺一不可．三、課時(shí)安排本課題共安排2課時(shí)，本節(jié)課為第一課時(shí)．四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)（略）五、教學(xué)步驟（一）溫故知新，引入課題1．空間兩條直線有哪幾種位置關(guān)系？（三種：相交直線、平行直線、異面直線）2．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有幾條？（從兩條直線互相垂直的定義可知：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)多條直線和已知直線垂直）3．空間一條直線與一個(gè)平面有哪幾種位置關(guān)系？（直線在平面內(nèi)、直線和平面相交、直線和平面平行．）4．怎樣判定直線和平面平行？師：我們已經(jīng)知道，判定直線和平面平行的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為考察直線和直線平行的關(guān)系．今天我們轉(zhuǎn)入學(xué)習(xí)直線和平面相交的一種特殊情形——直線和平面垂直，這個(gè)問(wèn)題同樣可以從兩條直線垂直的關(guān)系入手．（板書(shū)課題：§1．9直線和平面垂直）（二）猜想推測(cè)，激發(fā)興趣1．教師演示課本上的實(shí)例并指出書(shū)脊（想象成一條直線）、各書(shū)頁(yè)與桌面的交線，由于書(shū)脊和書(shū)頁(yè)底邊（即與桌面接觸的一邊）垂直，得出書(shū)脊和桌面上所有直線垂直，書(shū)脊和桌面的位置關(guān)系給了我們以直線和平面垂直的形象．從而引入概念：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面．2．指出：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直．平面的垂線和平面一定相交，交點(diǎn)叫做垂足．3．說(shuō)明直線和平面垂直的畫(huà)法及表示．師：要證明一條直線和一個(gè)平面垂直，若每次都要證明這條直線和平面上每一條直線都垂直，顯然是很麻煩也不必要的．讓我們先看看木工師傅是如何判斷一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺檢查兩次（只要兩次，但曲尺靠板面的尺，兩次不能在同一條直線上），如果立柱、板面都和曲尺的兩條邊完全吻合，便可斷定立柱和板面垂直．從中你能得到判定直線和平面垂直的方法嗎？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想推測(cè)）（三）層層推進(jìn)，證明定理指導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出已知條件和結(jié)論，并畫(huà)出圖形如右：求證：l⊥α師：你如何證明直線和平面垂直呢？生：根據(jù)直線和平面垂直的概念，只需證明該直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直即可．師：設(shè)g是平面α內(nèi)的任意一條直線，現(xiàn)在只要證明l⊥α就可以了．對(duì)于平面α內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線，可以過(guò)點(diǎn)B作它的平行直線，所以，我們先證明l，g都經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的情況．（生思考證明方法，教師在原有圖形上適時(shí)添加輔助線，并對(duì)下列問(wèn)題根據(jù)需要作提示．）1．l、g是相交直線，要證它們垂直，實(shí)際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化為平面幾何中的垂直證明問(wèn)題，可以考慮等腰三角形的性質(zhì)．在直線l上點(diǎn)B的兩側(cè)分別取點(diǎn)A，A′，使AB＝A′B．2．直線m、n和線段AA′是什么關(guān)系？（m、n垂直平分AA′）3．從結(jié)論看，直線g與線段AA′應(yīng)當(dāng)有什么關(guān)系？（g垂直平分AA′）4．怎樣證明直線g垂直平分線段AA′？（只要g上一點(diǎn)E，有EA＝EA′）5．過(guò)E作直線分別與m、n交于C、D，連結(jié)AC、A′C、AD、A′D，則有：AC＝A′C、AD＝A′D，由此能證明EA＝EA′嗎？（利用全等三角形性質(zhì)）（學(xué)生敘述證明過(guò)程，教師板書(shū)主要步驟．）參看右圖并作如下說(shuō)明：1．當(dāng)直線g與m（或n）重合時(shí)，結(jié)論是顯然的．2．如果直線l、g有一條或兩條不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，那么可過(guò)點(diǎn)B引它們的平行直線，由過(guò)點(diǎn)B的這樣兩條直線所成的角，就是直線l與g所成的角，同理可證這兩條直線垂直，因而l⊥g．3．要判斷一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，是無(wú)關(guān)緊要的．這樣我們有了直線和平面垂直的判定定理．（板書(shū)）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．4．強(qiáng)調(diào)定理中“兩條”和“相交直線”這兩個(gè)條件的重要性，可舉下面兩個(gè)反例，加深學(xué)生的理解．（1）將一塊木制的大三角板的一條直角邊AC放在講臺(tái)上演示，這時(shí)另一條直角邊BC就和講臺(tái)上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺(tái)桌面垂直．（2）在講臺(tái)上放一根平行于大三角板直角邊AC的木條EF，那么三角板的直角邊BC也垂直于EF，但它不一定和講臺(tái)桌面垂直．（四）初步運(yùn)用，提高能力例1如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面．分析：首先寫(xiě)出已知條件和結(jié)論，并畫(huà)圖形．已知：a∥b，a⊥α（如圖1-68）．求證：b⊥α，要證明：b⊥α，根據(jù)判定定理，只要證明在平面α內(nèi)有兩條相交直線m、n與b垂直即可．證明：在平面α內(nèi)作兩條相交直線m、n，設(shè)m∩n＝A．說(shuō)明：1．本例可以作為直線和平面垂直的又一個(gè)判定定理．這樣，判定一條直線與已知平面垂直，可以用這條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線來(lái)證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來(lái)證明．2．課本書(shū)寫(xiě)的證明過(guò)程比較簡(jiǎn)潔，最好要求學(xué)生按照本教案示例書(shū)寫(xiě)．練習(xí)（課后練習(xí)2）求證：如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．已知：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA．求證：OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB．證明：（以證明OA⊥平面BOC為例，目的是強(qiáng)化書(shū)寫(xiě)格式）（五）歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想師：今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的定義，這個(gè)定義最初用在判定定理的證明上，但用得較多的則是，如果直線l垂直于平面α，那么l就垂直于α內(nèi)的任何一條直線；對(duì)于判定定理，判定線、面垂直，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化成線、線垂直，從中不難發(fā)現(xiàn)立體幾何問(wèn)題解決的一般思路．六、作業(yè)作為一般要求，完成習(xí)題四1、2、3、4．提高要求，完成以下兩個(gè)補(bǔ)充練習(xí)：1．如圖1-70，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有[]A、AH⊥△EFH所在平面B、AD⊥△EFH所在平面C、HF⊥△AEF所在平面D、HD⊥△AEF所在平面答案：選擇（A）∵AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥平面EFH．講評(píng)作業(yè)時(shí)說(shuō)明：應(yīng)用折疊不變性設(shè)計(jì)的本題，目的是用于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和“轉(zhuǎn)化”思想方法；折疊問(wèn)題要注意應(yīng)用折疊前、后平面圖和立體圖中，各個(gè)元素間大小和位置關(guān)系不變的量．2．如圖1-71，MN是異面直線a、b的公垂線，平面α平行于a和b，求證：MN⊥平面α．證明：過(guò)相交直線a和MN作平面β，設(shè)α∩β=a′，∵a∥α．∴a∥a′∵M(jìn)N是a、b的公垂線，∴MN⊥a，于是MN⊥a′．同樣過(guò)相交直線b和MN作平面γ，設(shè)α∩γ＝b′，則可得MN⊥b′．∵a′、b′是α內(nèi)兩條相交直線，∴MN⊥α．《直線和平面垂直的判定與性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄（二）一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1．直線和平面垂直的性質(zhì)定理．2．點(diǎn)到平面的距離．3．直線和平面的距離．（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1．掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用它們靈活解題．2．掌握用反證法證明命題．（三）德育滲透點(diǎn)通過(guò)例題2的學(xué)習(xí)向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想和化歸的解題意識(shí)．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1．教學(xué)重點(diǎn)：（1）掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理：若a⊥α，b⊥α，則a∥b．（2）掌握點(diǎn)到平面的距離及一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)這條直線和平面的距離的定義．2．教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)定理證明中反證法的學(xué)習(xí)和掌握，應(yīng)讓學(xué)生明確，對(duì)于一些條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的命題，可考慮使用反證法．3．教學(xué)疑點(diǎn)：設(shè)計(jì)一個(gè)綜合題，引導(dǎo)學(xué)生思考點(diǎn)到平面的距離和直線到平面的距離問(wèn)題的互化．三、課時(shí)安排本課題共安排2課時(shí)，本節(jié)課為第二課時(shí)．四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)（常規(guī)活動(dòng)，略）五、教學(xué)步驟（一）溫故知新，引入課題師：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的定義和判定定理，請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)來(lái)敘述一下定義和判定定理的內(nèi)容．生（甲）：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說(shuō)這兩條直線和這個(gè)平面互相垂直．生（乙）：直線和平面垂直的判定定理是：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．（板書(shū)如右）師：利用判定定理我們還證明了線線平行的性質(zhì)定理（即例題1），也請(qǐng)一個(gè)同學(xué)敘述一下．生（丙）：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面．（板書(shū)）若a∥b，a⊥α則b⊥α．師：這個(gè)用黑體字寫(xiě)成的例題可以當(dāng)作直線和平面垂直的又一個(gè)判定定理，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們改變這個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論，寫(xiě)出它的逆命題．生：若a⊥α，b⊥α，則a∥b．師：下面就讓我們看看這個(gè)命題是否正確？（二）猜想推測(cè)，激發(fā)興趣教師寫(xiě)出已知條件并畫(huà)出圖形，作探討性證明已知：a⊥α，b⊥α（如圖1-73）求證：a∥b．分析：a、b是空間中的兩條直線，要證明它們互相平行，一般先證明它們共面，然后轉(zhuǎn)化為平面幾何中的平行判定問(wèn)題，但這個(gè)命題的條件比較簡(jiǎn)單，想說(shuō)明a、b共面就很困難了，更何況還要證明平行．我們能否從另一個(gè)角度來(lái)證明，比如，a、b不平行會(huì)有什么矛盾？這就是我們提到過(guò)的反證法．師：您知道用反證法證明命題的一般步驟嗎？生：否定結(jié)論→推出矛盾→肯定結(jié)論師：第一步，我們做一個(gè)反面的假設(shè)，假定b與a不平行，現(xiàn)在應(yīng)該要推出矛盾，從已知條件中的垂直關(guān)系，讓我們想起例題1（線線平行定理），在這個(gè)定理的已知條件中，平面有一條垂線，垂線有一條平行線，因此需要添加一條輔助線．（三）層層推進(jìn)，證明定理證明：假定b與a不平行設(shè)b∩α＝O，b′是經(jīng)過(guò)點(diǎn)O與直線a平行的直線，∵a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O的兩條直線b，b′都垂直于平面α是不可能的．因此，a∥b．由此，我們得到：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．師：這就是直線和平面垂直的性質(zhì)定理；師：學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，我們?cè)賮?lái)看看點(diǎn)到平面的距離的定義：從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．（四）初步運(yùn)用，提高能力1．例題2已知：一條直線l和一個(gè)平面α平行．求證：直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．分析：首先，我們應(yīng)該明確，點(diǎn)到平面的距離定義，在直線l上任意取兩點(diǎn)A、B，并過(guò)這兩點(diǎn)作平面α的垂線段，現(xiàn)在只要證明這兩條垂線段長(zhǎng)相等即可．證明：過(guò)直線l上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面α的垂線AA1、BB1，垂足分別為A1、B1∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1（直線與平面垂直的性質(zhì)定理）．設(shè)經(jīng)過(guò)直線AA1和BB1的平面為β，β∩α＝A1B1．∵l∥α，∴l(xiāng)∥A1B1．∴AA1=BB1（直線與平面平行的性質(zhì)定理）即直線上各點(diǎn)到平面的距離相等．師：我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)直線和平面的距離的定義：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離．師：本例題的證明，實(shí)際上是把立體幾何中直線上的點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何中兩條平行直線的距離問(wèn)題．這種把立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何的問(wèn)題的方法，是解決立體幾何問(wèn)題時(shí)常常用到的方法．2．思考（課后練習(xí)4）安裝日光燈時(shí)，怎樣才能使燈管和天棚、地板平行？生：只要兩條吊線等長(zhǎng)．師：轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是，如圖1-76已知：直線l上A、B兩點(diǎn)到平面α的距離相等，求證：l∥α．師：本題仿照例題2方法很容易證明，但以下的論述卻是假命題，你知道是為什么嗎？直線l上A、B兩點(diǎn)到平面α的距離相等，那么l∥α．3．如圖1-77，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求證：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．分析：第1小題，證明直線與平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小題，如果用定義來(lái)求點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)轶w現(xiàn)距離的