2021-2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高二年級下冊學(xué)期第一次大測數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高二下學(xué)期第一次大測

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.數(shù)列3,5,9,17,33,…的通項公式4=()

A.2"B.2"+1C.2"TD.2M+1

【答案】B

【分析】由規(guī)律即可寫出通項公式.

【詳解】由數(shù)列3,5,9,17,33,…的前5項可知，每一項都滿足2"+L

故選：B.

2.在等差數(shù)列｛%｝中，％，%是方程/+24x+12=0的兩根，則數(shù)列｛為｝的前11項和

等于

A.66B.132C.-66D.-132

【答案】D

【解析】利用韋達定理得《+為=-24,進而％=T2,再利用求和公式求解即可

【詳解】因為“3，為是方程x?+24x+12=0的兩根，所以/+為=-24,

又見+佝=-24=24,所以4=-12,

S=llx(q+q|)=llx24=⑶

“-2一-2--一

故選D.

【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式，考查方程思想，是基礎(chǔ)題

3.已知等比數(shù)列｛a,,｝的各項都為正數(shù)，且。3，4生，%成等差數(shù)列，則豈生的

244+〃6

值是（）

AV5-1R>/5+1r3-V5n3+6

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)列方程，由此求得9,進而求得豈多的值.

【詳解】由題意，等比數(shù)列｛q｝的各項都為正數(shù)，且。3，；〃5，生成等差數(shù)列，則

2.匕%J=%+%=%=4+%=%?/=%+%?4

=>q1=l+q=>g='(負舍),

2

a3+a5_a3+a3q_a31^-1

2

a4+a6a4+a4-qa4q2

故選：A

【點睛】本小題主要考查等差中項的性質(zhì)，考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，屬于

中檔題.

4.設(shè)等比數(shù)列｛““｝的前”項和為S“，若棗=；，則率=（）

A.-B.JC.\D.-

【答案】D

【分析】先判斷4=1的情況，然后當(dāng)gRi根據(jù)金=:求出［5=-：,代入求解即可.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4，4*0

若g=l，貝!)a“=4，所以S"="”“

所以畜詈=2,與已知矛盾.

所以a?=atq"~'

4(1T)

黑一1

i-q

嚴(yán)

?鼠=If=1+/=1得八」

-S50t(I-q2"2'倚"2

i-q

.s"="q

,sjq(1-心

i-q

故選：D

5.數(shù)列1,1+2,1+2+22,...,1+2+22+23+...+2"工…的前〃項和為()

A.2"-n-\B.T+'-n-2C.2"D.2,,+'-n

【答案】B

【分析】設(shè)此數(shù)列的第"項為4,,先求出此數(shù)列的通項為=2"-1,再分求和求出前〃

項的和即可.

【詳解】設(shè)此數(shù)列的第〃項為乙,貝“4=1+2+22+23+…+2-2+2"T

1-2"

=2"-1

-1-2

所以數(shù)列｛4｝前〃項和為:

4+4+…+%=2Jl+22-1+…+2〃-1

2(1-2")

=------------n

1-2

=2w+,-n-2，.

故選：B.

6.數(shù)列｛4｝的前"項和￡=2〃2-3〃("€>1*),若0+4=5(2，4€z)，則4,+%=()

A.6B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】當(dāng)〃=1時，可得為,當(dāng)*2時，a?=S,-S?_,,驗證〃=1時是否適合可得通項

公式，代入通項公式求解可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)〃=1時，4=S[=2-3=-1,

當(dāng)也.2時，a?=S?-S?_,=2n2-3n-2(n-l)2+3(?-l)=4n-5,

當(dāng)〃=1時，上式也適合，

數(shù)列｛6｝的通項公式為：%=4〃-5

.**+ciq=4P—5+4q—5=4(p+q)—10=10

故選：D.

【點睛】本題考查等差數(shù)列的前”項和公式和通項公式的關(guān)系，屬中檔題.

7.已知數(shù)列｛q｝,%=-2/+力7,若該數(shù)列是遞減數(shù)列，則實數(shù)2的取值范圍是()

A.(-co,6)B.(-co,4]C.(-co,5)D.(-8,3]

【答案】A

【分析】若數(shù)列｛“〃｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則an+l-an<Q對于任意nGN都成立，采用分離

參數(shù)法求實數(shù)入的取值范圍即可.

【詳解】解：；對于任意的"6N,由=-恒成立,

.\an+i-an=-2(〃+1)?+X("+1)+2n2-An=-4n-2+人,

???｛〃〃｝是遞減數(shù)列,

/.an+i-Q〃V0,

:.-4〃-2+A,V0

???入V4〃+2

???〃=1時,4/7+2取得最小值為6,

???入V6.

故選4

【點睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化、計算能力，分離參數(shù)法的應(yīng)用.

8.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的問題：已知一對兔子每個月

可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)

象，那么兔子對數(shù)依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……,

這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是其中q=l,

生=1.若從該數(shù)列的前100項中隨機地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（）

033n67

D.----D.----

100cI100

【答案】B

【解析】計算共有33個偶數(shù)，計算概率得到答案.

【詳解】數(shù)列第1個，第2個為奇數(shù)，故第3個為偶數(shù)，第4個，第5個為奇數(shù)，第6

個為偶數(shù).

10033

根據(jù)規(guī)律：共有偶數(shù)=33個，故展盂

故選：B.

【點睛】本題考查了概率的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.

二、多選題

9.設(shè)等比數(shù)列｛能｝滿足4+%=1。，/+%=5,則下列結(jié)論正確的是（）

1

A.q=8B.q=一

2

C.%生…%的最大值為64D.當(dāng)…?！ㄈ∽畲笾禃r，n=3

【答案】ABC

【分析】根據(jù)條件求出｛4｝的通項公式，再根據(jù)通項公式的性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】~~~—=cl=—y4+/=〃]+q/=10,q=8,?=23

i-"(〃-7)

I『

當(dāng)〃=3或4時，可取最大，最大值為64；

故選：ABC.

10.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為“，前”項和為S"，若能=12,無>°，*<0,則下列

結(jié)論正確的是（）.

A.數(shù)列｛q｝是遞增數(shù)列B.55=60

C.一"—<d<—3D.SI,S2,S12中最大的是S$

【答案】BCD

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到%<0,七+%>0,再利

用等差數(shù)列的通項公式得到關(guān)于d的不等式組進行求解，即可判定選項A錯誤、選項C

正確；利用等差數(shù)列的前"項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到S5=60判定選項B正確；

利用心>。>"7判定選項D正確.

［詳解］對于A、C：因為，2=12（4；42）=6（紜+%）>0,

且53=1災(zāi)4；"3=13%<0,

所以％<0,%+又因為%=12,

24+7J>0

所以?解得7Vd<-3；

12+4d<0

所以等差數(shù)列｛叫是遞減數(shù)列，

即選項A錯誤，選項C正確；

對于B：因為的=12,所以￡3=5（"二%）=54=5x12=60,

即選項C正確；

對于選項D：因為等差數(shù)列｛q｝是遞減數(shù)列，

且％<0,4+%>°，則

所以S|<§2<…vS5Vs6>S7>…>S]2,

即選項D正確.

故選：BCD.

11.設(shè)S〃是數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，且4/=-1,an十i=SnSn+i,則（）

A.

-1,^=1,

B.an=?11

-------,n>2,neN

〃一1n

C.數(shù)列為等差數(shù)列

111

D.—+—+-+—=—5050

5^100

【答案】BCD

【分析】利用數(shù)列通項和前"項和的關(guān)系求解.

【詳解】S"是數(shù)列｛助｝的前〃項和，月.a/=-1,an+i—SnSn+i,

則Sn±i—Sn=SnSn+i,

整理得"一!=一1（常數(shù)），

所以數(shù)列是以｝=-1為首項，―1為公差的等差數(shù)列.故C正確;

所以白=一1一（〃-1）=一小故S〃=-L

，n

所以當(dāng)后2時，

an=Sn—Sn-i=————,%=-1不適合上式,

〃一1n

故an=<1c、,，故B正確，A錯誤;

——,n>2,n&N,

n

1

所以三+不+不+???+『=-(1+2+3+...+100)=-5050,

%>3?100

故D正確.

故選：BCD

]]

⑵在A5C中，內(nèi)角A,5,C所對的邊分別為。，…,若嬴

tanB'tanC

依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.a,b,c依次成等差數(shù)列

B.八,4b，6依次成等差數(shù)列

C.a2,b2,02依次成等差數(shù)列

D.d依次成等差數(shù)列

【答案】ABD

【分析】首先利用等差數(shù)列的性質(zhì)，建立2三=」1：+'不1，進一步利用正弦定理和

tanBtanAtanC

余弦定理的關(guān)系式變換求出結(jié)果.

【詳解】解：ABC中，內(nèi)角A8,C所對的邊分別為a,6,c,若一二，」，」依

tanAtanBtanC

次成等差數(shù)列，

211

貝nI！J：----=---------,

tanBtanAtanC

htesina

利用tana=----

cosa

整理得：誓=學(xué)+.，

sinBsinCsinA

利用正弦和余弦定理得：2.a，+c=/+/-c?+〃+c->

2abc2abc2abc

整理得：2/=q2+c2

即：/,/,c2依次成等差數(shù)列.

此時對等差數(shù)列42,的每一項取相同的運算得到數(shù)列。，b,c或石，4b,&或

a3,b3,c3,這些數(shù)列一般都不可能是等差數(shù)列，除非a=b=c,但題目沒有說,ABC

是等邊三角形,

故選：ABD.

【點睛】本題考查的知識要點：等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正

弦和余弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運算問題.

三、填空題

13.數(shù)列｛〃"｝中4=2,a'+|=2a”,S”為｛a,,｝的前n項和，若S“=I26,貝i]"=.

【答案】6

【詳解】試題分析：由題意得，因為4”=2a,,，即也=2,所以數(shù)列｛4｝構(gòu)成首項a,=2,

公比為2的等比數(shù)列，則S“=2（；［2"）=］26,解得〃=6.

【解析】等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列求和.

3Q

14.設(shè)等比數(shù)列｛叫的前"項和為S,,,公比為q,若為53=|,則>.

【答案】1或一^

［分析］利用等比數(shù)列的通項公式列出方程組即可解出答案.

23

%=4十二萬34=6

"=5或＜

【詳解】；1.

29q=—

S3m+%q=-4=12

故答案為：i或-萬?

15.數(shù)列｛?！ǎ凉M足《用=三7，4=2,則q=

【答案】I

【分析】由遞推公式求出數(shù)列｛%｝的周期，即可求解.

11

(1,=----=---------------------I-----------=I-----------------------=a

【詳解】由已知得，zl-an1_I*1__L，

1-％1一%

所以。8=。5=。2=2

所以的=7^-=2,可得4=:，

故答案為：■

四、雙空題

16.下圖中的三個正方形塊中，著色正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前3項，設(shè)這個

數(shù)列為｛?！埃?則4=；數(shù)列｛《,｝的通項公式為

,H■】I:磐…金

---0ffl:0號獻&8K：看;.

【答案】585an=^濟Y--1

【分析】由圖易歸納出遞推關(guān)系為=8a“+1,再由構(gòu)造法可得出+；｝是首項為

Q

p公比是8的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列也｝的通項公式，可求出出.

【詳解】由圖易歸納出遞推關(guān)系:a時=8a,,+l,

得—+；=80“+；｝所以““+；｝是首項為

公比是8的等比數(shù)列，故4即4=一，故4=585.

S"_1

故答案為：585；a=-~

n7

五、解答題

17.已知遞增等比數(shù)列｛4｝滿足％+的+%=42,且%+9是％和％的等差中項.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

⑵若止最FZ?求數(shù)列間的前"項和九

【答案】(1)%=221(2)-^―

21+1

【分析】(1)由等差中項可得q+%=2(%+9)，將％+%=2(々+9)和q+%+/=42化

為首項和公比，聯(lián)立可解得首項和公比，從而可得。.；

（2）化簡"后，利用"=:（不二一丁進行裂項求和即可得到結(jié)果.

212〃-12/7+17

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛q｝的公比為［（4>1）,由題得

《+%+%=42,4+。聞+4,2=42

q+/=2（/+9）,12

ax+axq=2（々U+9）'

所以42—Qq=2aq+18,所以44=8,

8

所以]+8+的=42,即4/-174+4=0,

所以（4（7-1）（?-4）=0,解得4=4或q（舍）,

4

所以q=2,

所以凡=2X4"T=22"，

]

（2）因為2=22+|

l°g?"J咋2"用10§22"-'10§22"-（2/7-1）（2?+1）

_1U___1_

八2〃-12〃+1

1]

H-----

2/?-12〃+1

n

2/2+1

【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式基本量的計算，考查了求等比數(shù)列通項公式，考

查了裂項求和方法，屬于基礎(chǔ)題.

18.設(shè)數(shù)列｛%卜滿足4=2,a^-a?=3-22"-'.

（1）求數(shù)列｛”“｝的通項公式;

（2）令2=na?,求數(shù)列也｝的前〃項和5,,.

【答案】4=2215?=1[（3n-l）22n+l+2]

【詳解】試題分析：（1）結(jié)合數(shù)列遞推公式形式可知采用累和法求數(shù)列的通項公式,

求解時需結(jié)合等比數(shù)列求和公式；⑵由a,=22-1得數(shù)列也｝的通項公式為么=n-21"-',

求和時采用錯位相減法，在S”的展開式中兩邊同乘以4后，兩式相減可得到S.

試題解析：（1）由己知，當(dāng)〃之1時，“向=〔（4+1-4“）+&-4i）++（生）—41+4

2-,2-32

=3（2"+2"++2）+2=2加叩,a?=2"-'

21

而4=2,所以數(shù)列｛a?｝的通項公式為an=2-.

352

(2)由d="=，”22"T知SJI=I，2+2-2+2-2++n-2'-'...?……7分

AMTff22S?=l-23+2-25+3-27+n-22"+'......②

①-②得(1-22電=2+23+2$++22"-'-n-22"+',

即5“=#(3〃-I"?""+2].

【解析】1.累和法求數(shù)列通項公式；2.錯位相減法求和

19.已知數(shù)列｛%｝滿足%+|=—4—+一一+-—+-+—'—(其中〃eN*),

at+a2a2+a3%+%凡+生加

%=啦,且當(dāng)"22時，??>0.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

⑵若久=——求數(shù)列的前〃項和S“.

夜1

------,=1

【答案】⑴4=2

yfn,n>2

【分析】(1)當(dāng)〃=1時，求出,當(dāng)時，由題可得出

1111,,/、

+++…+—「，兩式相減可得確「4=1(〃之2),所以可

ax+a2a2+a3a3+a4an_x+an

證明數(shù)列｛a：｝從第二項起公差為1的等差數(shù)列，即可求出答案.

(2)先求出〃,，再由裂項相消法即可求出仇，的前〃項和S”.

【詳解】⑴當(dāng)〃=1時，出馬也

~2

1111

當(dāng)〃22時，由a?+\----+++…+

a

4+。2-----。2+。3-----〃3+〃4--------------n+。〃+1

1111

兩式相減可得%一d=1(〃22),

可知數(shù)列｛碼從第二項起為等差數(shù)列，則4：=d+(〃-2)x1=〃.所以q=4(〃22)

------=I

故數(shù)列｛%｝的通項公式為%=，2

\[n,n>2

(2)因為a一,所以

an+an+\

S1|1|11?1?1??1

"at+a2a2+a3an+an+x_立+夜0+6G+4y/n+\Jn+\

2

=>/2+[(>/3-x/2)+(V4->/3)+---+(>/H+I-Vrt)]=Vn+1.

20.已知數(shù)列｛an｝的前〃項和S“滿足2s.=a：+〃一1且巴>1.

⑴求數(shù)列｛叫的通項公式；

(2)若&=1,b?+bn+l=an,數(shù)列也｝的前”項和7.，求加3的值.

【答案】⑴4=〃+1

(2)1024144

【分析】(1)根據(jù)4=5,-5,i得出遞推公式，得出數(shù)列｛為｝是公差為1的等差數(shù)列，

再計算外,即可得出通項公式.

(2)先求出再由并項求和法求出｛4｝的前〃項和(，即可求出心間的值.

【詳解】⑴當(dāng)”=1時，2S“=2q=a；+l-l,解得4=2或0(舍去)

當(dāng)“22時，，2S“=a：+〃-l,2S“_|=a：_|+(〃一1)一1,

兩式相減得：2。“=片一〃3+1，即(a,,-。?一屋=0,(4—1+的)(4一1一的)=°，

又因為?！?gt;1,所以a“-l+a“T>0；所以=0,

即4=數(shù)列｛為｝是公差為1的等差數(shù)列，a?=al+(n-])\=n+\

⑵因為2+2乜=《,="+1,所以優(yōu)+4=3,&+么=5,%+以=7,…既22+4023=2023,

所以^023=舟+(匕2+4)+(%+々)-1---(%22+%23)=1+3+54------F2023

1012x(1+2023)

=--------i----------L=1024144.

2

231

21.已知數(shù)列｛%｝中，6=芻，4=2——(n>2,nwN*),數(shù)列也｝滿足

25?！ㄒ籟

⑴求數(shù)列圾｝的通項公式；

(2)求同+22〔+|用|+…+%I；

(3)求數(shù)列｛〃“｝中的最大項和最小項，并說明理由.

【答案】⑴萬

(2)109

(3)(*3=3,3僵=一1，理由見解析

【分析】(1)求出d-2z=l和4,可知數(shù)列也,｝是-三為首項，1為公差的等差數(shù)列，

即可求出也｝的通項公式.

77

(2)由包=〃-520可知，〃413時，々<0,“214時，bn>Q,由此去絕對值可求

出答案.

2

(3)由(1)中｛〃｝的通項公式代入可求出｛可｝的通項公式，令〃刈=丁三+1,再

2x—27

判斷了(x)得單調(diào)性，即可求出答案.

,,1111

b—b.=------------=--------------------------=1

【詳解】⑴證明："2__L_I，

一an-\

又4=，=-m，???數(shù)歹U也｝是為首項，1為公差的等差數(shù)列.

27

?*"“=4+(〃-i)xi="萬.