2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)訓(xùn)練04運(yùn)算思維之二次根式的乘除重難點(diǎn)專練（解析版）（蘇科版）

專題04運(yùn)算思維之二次根式的乘除重難點(diǎn)專練（解析版）

錯(cuò)誤率：易錯(cuò)題號(hào)：

一、單選題

1.下列計(jì)算中，正確的是（）

A.上+百=6B.乖,=亞C.（273）2=12D.瓜+乖>=#>

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

根據(jù)二次根式加法法則、乘法法則、除法法則依次計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷.

【詳解詳析】

A、原式不能合并，不符合題意；

B、原式=不符合題意；

C、原式=12,符合題意；

D、原式=斤5=6,不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】

此題考查了二次根式的乘除法，以及二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

2.（202卜江蘇海安?八年級(jí)期末）下列式子是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.41B.V4C.V12口.已

【標(biāo)準(zhǔn)答案】A

【思路指引】

根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可求出答案.

【詳解詳析】

解：A、夜是最簡(jiǎn)二次根式，A正確，故符合題意；

B、4=2不是最簡(jiǎn)二次根式，B錯(cuò)誤，故不符合題意；

C、厄=26不是最簡(jiǎn)二次根式，C錯(cuò)誤，故不符合題意；

D、、￡=也不是最簡(jiǎn)二次根式，D錯(cuò)誤，故不符合題意；

V22

故選：A.

【名師指路】

本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡(jiǎn)二次根式的定義.

3.（202卜江蘇省南京市浦口區(qū)第三中學(xué)八年級(jí)月考）下列關(guān)于&的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（）

A.及是無(wú)理數(shù)

B.面積為2的正方形邊長(zhǎng)為正

C.正是2的算術(shù)平方根

D.血的倒數(shù)是-亞

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路指引】

根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，正方形面積的計(jì)算公式，算術(shù)平方根的定義，倒數(shù)的定義依次判斷即可得到答案.

【詳解詳析】

解：A、正是無(wú)理數(shù)是正確的，不符合題意；

B、面積為2的正方形邊長(zhǎng)為正是正確的，不符合題意;

C、也是2的算術(shù)平方根是正確的，不符合題意；

D、血的倒數(shù)是乎，原來(lái)的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，符合題意.

故選：D.

【名師指路】

此題考查無(wú)理數(shù)的定義，正方形面積的計(jì)算公式，算術(shù)平方根的定義，倒數(shù)的定義，熟記各定義是解題

的關(guān)鍵.

4.（2021?江蘇江陰?二模）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的為（）

A.2B.C.5/30D.>/50

【標(biāo)準(zhǔn)答案】c

【思路指引】

根據(jù)疵=26，邛，胸=5五，化簡(jiǎn)判斷即可.

【詳解詳析】

?\[i2~25/3?

???尼不是最簡(jiǎn)二次根式;

???昌也

V33

???JI不是最筒二次根式;

V>/50=5A/2,

.?.我不是最簡(jiǎn)二次根式；

而是最簡(jiǎn)二次根式；

故選C.

【名師指路】

本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的判斷，熟練進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)是判斷的關(guān)鍵.

5.（2021?江蘇?蘇州市振華中學(xué)校八年級(jí)期末）下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）

22

A.MB.y]a+fyC.>/0?7D.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路指引】

根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解詳析】

解：A、強(qiáng)=3不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

B、77壽是最筒二次根式，符合題意；

C、歷=后=嚕不是最筒二次根式，不符合題意；

D、"=:①不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意，

[0（〃=0）

故選：B.

【名師指路】

本題考查最簡(jiǎn)二次根式概念以及性質(zhì)，理解概念是解答的關(guān)鍵.

6.（2021.江蘇宿遷.七年級(jí)期中）數(shù)軸上：原點(diǎn)左邊有一點(diǎn)點(diǎn)例對(duì)應(yīng)著數(shù)機(jī)，有如下說(shuō)法：①-加表

示的數(shù)一定是正數(shù)；②若1川=8,則加=-8;③在-匹疝中，最大的數(shù)是療或一叫④式子

tn

加+’的最小值為2.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

m

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路指引】

根據(jù)點(diǎn)M在數(shù)軸上的位置得到〃?為負(fù)數(shù)，判斷-〃?，蘇，M的符號(hào)，求出當(dāng)|刑=8時(shí)m的值，從而

對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得出答案即可.

【詳解詳析】

解：數(shù)軸上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著數(shù)〃?，在原點(diǎn)左邊，因此加<0,

-m>Of即-m是正數(shù)，因此①正確;

若|訓(xùn)=8,則加=±8；又〃?VO,因此加=-8,故②正確；

???"?VO,

V-m>0—<0,m2>0m3<0

9mft

當(dāng)-IVmVO時(shí)、-ni>m2,當(dāng)〃區(qū)-1時(shí)，-小加2,因此③正確;

Vzn<0,

???—iti----N2,

m

.,.，*+—22,因此④正確；

m

故選：D.

【名師指路】

考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，相反數(shù)、不等式的意義，二次根式的乘法運(yùn)算等知識(shí)，理解點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著數(shù)〃?的

取值，得出相應(yīng)代數(shù)式的符號(hào)或值是解決問(wèn)題的前提.

7.（2021.江蘇淮安.八年級(jí)期末）下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.,32B.C.，49D.yjl5

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路指引】

利用最筒二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)不含分母，分母中不含根號(hào)，且被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)的盡方的因數(shù)，

判斷即可.

【詳解詳析】

解：4、5/32=45/2,不符合題意：

B、￡=坐,不符合題意；

C、>/49=7,不符合題意；

。、后是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意.

故選：D.

【名師指路】

此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵.

8.（2022?江蘇啟東?八年級(jí)期末）計(jì)算后xjg+夜x石的結(jié)果估計(jì)在（）

A.10到11之間B.9到10之間

C.8至IJ9之間D.7至IJ8之間

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路指引】

先根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算得到原式為4+師，再估算出質(zhì)的范圍，即可得出答案.

【詳解詳析】

解：原式=,32X；+>^?=M+V[5=4+M

V3<Vi()<4,

A7<4+Vi0<8,

故選：D.

【名師指路】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，在進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然

后合并同類二次根式.

9.（2021.江蘇姑蘇.九年級(jí)期中）如圖①，在正方形4BC。中，點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上

一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=x,PE+PB^y,圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，且圖象上最低點(diǎn)Q的坐標(biāo)可能是（）

D.(4&,36)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路指引】

如圖，連接PD由8、。關(guān)于4c對(duì)稱，推出推出P8+PE=P3+PE,推出當(dāng)￡>、P、E共線

時(shí)，PE+PB的值最小，觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)尸與A重合時(shí)，PE+PB=9,推出AE=EB=3,AO=A8=

6,分別求出P8+PE的最小值，PC的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.

【詳解詳析】

解：如圖，連接PD

。關(guān)于AC對(duì)稱，

，PB=PD,

：.PB+PE=PD+PE,

，當(dāng)。、P、E共線時(shí)，PE+PB的值最小，

觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)尸與4重合時(shí)，PE+PB=9,

1?點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，

.?.AE=E8=3,AD=AB=6,

在心中，DE=yl62+^=3y[5，

.?.PB+PE的最小值為36,

.??點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為3石，

'JAE//CD,

?PCCD

?.-=--=2

PAAE9

VAC=642，

二PC=2x6a=4后，

3

二點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4夜，

AQ（4^,3A/5）.

故選：D

【名師指路】

本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答.

二、填空題

10.（2020?江蘇?常熟市第一中學(xué)八年級(jí)月考）x,y分別為8—而的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2外一產(chǎn)=

【標(biāo)準(zhǔn)答案】5

【思路指引】

先估算8-而的范圍，即可得出x,y的值，再代入即可得出.

【詳解詳析】

解：v3<Vn<4,

二4<8—而<5,

/.x=4,

?*?>>=8-而-4=4-Vn,

.".2xy-V=y⑵-y）=（4-而）（8-4+V1I）=（4-布）（4+E）=5.

【名師指路】

本題考查代數(shù)式求值，涉及無(wú)理數(shù)的估算.

11.（2020.江蘇崇川.八年級(jí)期末）若°=近±1,則5a+2020=

2

【標(biāo)準(zhǔn)答案】2024

【思路指引】

03-54+2020=。（片-5）+2020,代入a值，根據(jù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解詳析】

/—5a+2O20=。（力-5）+2020=-5j+2020

V17+1「18+2折J””

=------x----------5+2020

2[4

=?x?+2020

22

=4+2020

=2024

故答案為：2024

【名師指路】

考核知識(shí)點(diǎn)：二次根式運(yùn)算.掌握運(yùn)算法則，運(yùn)用乘法公式是關(guān)鍵.

12.（2020.江蘇濱海.八年級(jí)期中）若最簡(jiǎn)二次根式后三與6是同類二次根式，則才=

【標(biāo)準(zhǔn)答案】4

【思路指引】

根據(jù)同類二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)相等，由此可得出關(guān)于x的方程，進(jìn)而可求出x的值.

【詳解詳析】

解：由題意可得：

2x-3=5

解：x=4

當(dāng)x=4時(shí)，行與與逐都是最簡(jiǎn)二次根式

故答案為：4.

【名師指路】

本題考查了同類二次根式與最簡(jiǎn)二次根式的定義，掌握定義是解題的關(guān)鍵.

13.（2020?江蘇?鹽城市初級(jí)中學(xué)一模）計(jì)算瓦.血的結(jié)果是.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】6

【思路指引】

原式利用二次根式的乘法法則以及二次根式的化簡(jiǎn)即可求值.

【詳解詳析】

72=718^2=^=6.

故答案為：6.

【名師指路】

此題考查了二次根式的乘法以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

14.（2020.江蘇.南通市東方中學(xué)八年級(jí)月考）如果最簡(jiǎn)二次根式"啦不和拓是同類二次根式，則

ab=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】0

【思路指引】

仿+1=2

根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式及同類二次根式的定義得c。力，求出a、b的值代入計(jì)算即可.

[2a+3=a+3b

【詳解詳析】

b+l=2

由題意得

2a+3=a+3b

b=\

4=0

ab=0,

故答案為：0.

【名師指路】

此題考查最簡(jiǎn)二次根式及同類二次根式的定義，解二元一次方程組，熟記定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?江蘇?蘇州市景范中學(xué)校八年級(jí)月考）府與最簡(jiǎn)二次根式^/^三是同類二次根式，則。=

【標(biāo)準(zhǔn)答案】3

【思路指引】

首先化簡(jiǎn)二次根式相=4百，再根據(jù)同類二次根式定義可得2〃-3=3,再解即可.

【詳解詳析】

-^48=J16x3-4#），

V48與最簡(jiǎn)二次根式三是同類二次根式，

：.2a-3=3,

解得：a—3,

故答案為：3.

【名師指路】

此題主要考查了同類二次根式，關(guān)鍵是掌握把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式稱

為同類二次根式.

16.（2021?江蘇江陰?八年級(jí)期中）已知根是收的小數(shù)部分，求Jm?+，-2=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】2

【思路指引】

根據(jù)題意知，片&-1,將所求式子進(jìn)行通分化簡(jiǎn)，再將〃?的值代入即可求解.

【詳解詳析】

解：由題意，知，〃=拒-1,

故答案為2.

【名師指路】

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的化簡(jiǎn)求值.解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì).

17.（2022?江蘇啟東?八年級(jí)期末）店與最簡(jiǎn)二次根式-4而［是同類二次根式，則。=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】2.

【思路指引】

先將巫化成最簡(jiǎn)：次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開(kāi)方數(shù)相同可得出關(guān)于a的方程，解出即

可.

【詳解詳析】

:近與最筒二次根式-45^71是同類二次根式，且配=26,

a+1=3.解得：a=2.

故答案為2.

【名師指路】

本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次

根式.

18.（2021?江蘇?無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）已知ABC和△AOE均為等腰直角三角形，

NBAC=ND4E=90。，48=6,AD=4,連接CE、BE,點(diǎn)尸和G分別為OE和BE的中點(diǎn)，連接尸G,在

△ACE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)。、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段FG的長(zhǎng)為.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】近±0

【思路指引】

分兩種情況畫(huà)出圖形，如圖1,連接80,證明△ADBgZvlEC,求得/8DC=90。，在RdBOC中利用勾

股定理求出8。長(zhǎng)度，最后利用三角形中位線性質(zhì)求解FG長(zhǎng)度，如圖2,同理可求出的長(zhǎng)，則可得

出答案.

【詳解詳析】

解：如圖1,連接BD,

VZBAD=90°-ZBAE,ZCAE=90°-ZBAE,

:.NBAD=NCAE.

在A和△AEC中，

AD=AE

-ZBAD=ZCAE

AB=AC

：./\ADB^^AEC(SAS).

:.BD=CE,NADB=N4EC=I35。，

/.ZBDC=135°-45°=90°.

?.,△ABC和△ACE均為等腰直角三角形，AB=6,AD=4,

：.DE=4y/2,BC=6五.

設(shè)8D=x,則。C=4正+x,

在/?/△8OC中，利用勾股定理B?+DC2=BC2,

/.x2+(4&+x)2=72,解得x/=-2夜-2近(舍去)，X2=-2近+2幣.

,??點(diǎn)F、G分別為。分8E的中點(diǎn),

如圖2,同理，設(shè)8￡>=CE=a,

在R/BOC中，BA+CD^BC2,

二4+3-4忘）2=72,

解得a=2應(yīng)-2近（舍去），a=2及+2",

：.FG=^BD=42+y/l>

故答案為：x/7±\[1-

【名師指路】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到共頂點(diǎn)的

全等三角形，從而得到直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解線段長(zhǎng)度.

三、解答題

19.（2021.江蘇?蘇州市平江中學(xué)校八年級(jí)月考）計(jì)算：

（1）施+6-gx而+亞;

（2）（30+2石）x（3及—2石）—（石—0）2

⑶31十（-20.科>0）

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）4+及；（2）1+276；（3）

2b

【思路指引】

（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行二次根式的加減法計(jì)算；

（2）利用完全平方公式和平方差公式將括號(hào)去掉，然后再進(jìn)行加減法計(jì)算；

（3）將系數(shù)進(jìn)行乘除作為結(jié)果的系數(shù)，將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行乘除作為結(jié)果的被開(kāi)方數(shù).

【詳解詳析】

解:（1）a-6-gxy/ii+幅

=VT6-J；xl2+V24

=4-+2^6

=4+5/6；

（2）（30+26）x（3&-26）-（G-0）2

二（3V2）2-（273）2-（3-276+2）

=18-12-3+276-2

=1+2^6；

-^^(a>0,Z?>0)

【名師指路】

本題考查二次根式的混合運(yùn)算，涉及分母有理化等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

20.（2021?江蘇?如皋市實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)期末）⑴計(jì)算出+卜-制-（%-3）°-唬；

（2）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值一丁一一二一卜——，其中x=2-右.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）石-2；（2）7~~不，』

【思路指引】

（1）先計(jì)算負(fù)指數(shù)累，絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)，零指數(shù)累，立方根，再合并同類項(xiàng)即可；

（2）先因式分解找出最簡(jiǎn)公分母通分，合并同時(shí)把除法轉(zhuǎn)化為乘方，約分化筒為最簡(jiǎn)分式，再賦值，代

入計(jì)算即可.

【詳解詳析】

解：(1)(g)+卜叫-(7-3)。-我,

=6-2；

01x+2.-11.x-4

\x2-2xx2-4x+4)'x

(4+2)(0-2)山-1)%

x(x-2)2x(x-2)2x-4，

x-4x

=x(x-2pX-4,

]

當(dāng)x=2-逐時(shí),

11

原式=（2一石_2）2=J

【名師指路】

本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，負(fù)指數(shù)塞，絕對(duì)值，零指數(shù)累，立方根，分式化簡(jiǎn)求值，二次根式乘法，掌握

實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，負(fù)指數(shù)暴，絕對(duì)值，零指數(shù)’幕，立方根，分式化簡(jiǎn)求值，二次根式乘法是解題關(guān)鍵.

21.（2022?江蘇如皋?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，AD1.BC,垂足為￡>,ZB=60°,ZC=45°,AB=2

求：（1）4c的長(zhǎng)；

（2）三角形A8C的面積（結(jié)果保留根號(hào)）

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）瓜；（2）也叵.

2

【思路指引】

（1）先求解夕40=30。,8短=1,再利用勾股定理求解4?=應(yīng)證明AO=CO,再利用勾股定理求解

AC即可；

（2）由（1）的結(jié)論先求解6C,再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解詳析】

解:（1）VADLBC

：.ZADB=ZADC=90°

ZB=60°

/.ZBAD=30°

又?.?A5=2,ZADB=90°

：.BD=^AB=ifAD=JAB2-BD?=6

VZC=45°,ZADC=90°

/.ZC=ZC4D=45°,

；.DC=ADf

AC=ylAD2+DC2=瓜?

(2)BD=1,DC=AD=?

：.BC=BD+DC=6+I.

AD±BC,

■.SABC=^ADXBC=^(^+1)=^-

【名師指路】

本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含30。的直角；角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰?:角形的

判定，二次根式的乘法運(yùn)算，熟練的運(yùn)用以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.

22.(2022?江蘇洪澤?八年級(jí)期末)如圖1,AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=a.

(1)A。、BE相交于點(diǎn)M.

①求證：AD=BE；

②用含a的式子表示NAM8的度數(shù)：

⑵如圖2,點(diǎn)尸、Q分別是A。、BE的中點(diǎn)，連接CP、CQ,判斷一CP。的形狀，并加以證明；

(3)如圖3,在,ABC中，ZACB=45°,BC=&,AC=3,以AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)作等腰

RtAABD,則CD=(直接寫(xiě)出結(jié)果).

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②ZAMB=a

(2)一CPQ為等腰三角形，證明見(jiàn)解析

(3)5

【思路指引】

(1)①先證明/ACD=N8CE,再利用S4S證明△48絲△BCE即可；②利用全等三角形的性質(zhì)證明

NCAD=NCBE,可得N8AM+N48M=180。-a,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；

(2)先證明△ACPg/\8C。，證明AP=C。，即可得到結(jié)論；

(3)如圖3,以B為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CBG,連接AG,可得？BCG45?,

CG=yjBC2+BG2=4,由(1)同理可得：VDBC^VABG,證明。C=AG,?ACG90?,再利用勾股定

理求解4G,從而可得答案.

(1)

解：①?.?NACB=NOCE=a,

：.ZACD=ZBCE,

在△4。和48CE中，

CA=CB

"AACD=NBCE,

CD=CE

.?.△4CO絲△8CE(SAS),

：.BE=AD-

②：A4CD^ABC￡,

:.NCAD=NCBE,

?.?△48C中，ZBAC+ZABC=\S00-a,

ZBAM+ZABM^180°-a,

.?.△ABM中，ZAMB=180°-(180°-a)=a；

(2)

△CP0為等腰三角形.

證明：如圖2,由(1)可得，BE=AD,

：A。，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)尸、Q,

：.AP=BQ,

VAACD^ABCE,

：.ZCAP=ZCBQ,

在△4（7尸和48C。中,

CA=CB

"2CAP=NCBQ,

AP=BQ

：./h.ACP^^BCQ(SAS),

:.CP=CQ

.?.△CPQ為等腰三角形.

(3)

解：如圖3,以8為直角頂點(diǎn)作等腰宜角三角形CBG,連接AG,

\BC=BG=78,?BCG45?,

\CG=』BC、BG2=4,

由(1)同理可得：7DBC爾ABG,

\DC=AG,

Q?ACB45?,AC3,

\?ACG45?45?90?,

\AG=VAC2+GC2=5,

\CD=AG=5.

【名師指路】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的

應(yīng)用，二次根式的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確尋找或構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

23.（2021.江蘇新吳?八年級(jí)期末）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的邊OC、04分別在x

軸、曠軸上，已知3（丸4）（加＞0）,AB上有一點(diǎn)P（〃,4）,將△OAP繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

△OA出.

(1)點(diǎn)4的坐標(biāo)為；連接尸不若尸軸，則”的值為；

(2)如果m-〃=2G.

①當(dāng)點(diǎn)《落在0C上時(shí)，求cq的長(zhǎng)；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出cq最小值.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(273,2),4白；⑵①C耳的長(zhǎng)為羋；②cq最小值為2.

【思路指引】

(1)如圖，連接AV過(guò)A作A”，OA于證明.404,是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股

定理可得A的坐標(biāo)，如圖，當(dāng)軸于N時(shí)，而p(〃,4),再利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理求解

ON,從而可得答案；

(2)①如圖，當(dāng)點(diǎn)《落在0C上時(shí)，同理可得：P。［為等邊三角形，過(guò)尸作PQ，。［于。，則

NOPQ=30。，結(jié)合P(%4),利用含30°的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求解〃=竽，再求解辦從而可

得答案；②如圖，作百線A4，交AB0C于尸,K,過(guò)歹作尸GLOC于G,過(guò)C作CM_L雁于K先證明

4在直線相上運(yùn)動(dòng)，再求解直線FK的解析式，可得FK為y=-J5x+8,則K1空,0)當(dāng)匕旋轉(zhuǎn)到與

“重合時(shí)，"最短，畫(huà)出圖形，再由旋轉(zhuǎn)可得：《K=〃-券，再利用直角三角形的性質(zhì)可得

KP.=-n-—,CR=—n-\,從而建立方程求解"，從而可得答案.

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