2022-2023學年北京市西城區(qū)高二上學期期末考試數學試題（解析版）

2022-2023學年北京市西城區(qū)高二上學期期末考試數學試題

一、單選題

1.直線x+y-百=0的傾斜角等于（）

A.45。B.90C.120D.135

【答案】D

【分析】由》+尸6=（）得》=-欠+6,據此可得答案.

【詳解】由x+y-6=0得y=-x+g,得直線斜率為T,則傾斜角為135。.

故選：D

2.拋物線V=4y的準線方程為（）

A.x=1B.戶-1C.y=lD.y=-1

【答案】D

【分析】根據拋物線方程求出P=2,進而可得焦點坐標以及準線方程.

【詳解】由/="可得p=2,所以焦點坐標為（0,1）,準線方程為：y=-l,

故選：D.

3.在空間直角坐標系。-孫z中，點A（l,3,0）,8（0,3,—l）,則（）

A.直線A3〃坐標平面xOyB.直線坐標平面xOy

C.直線坐標平面xOzD.直線坐標平面xOz

【答案】C

【分析】求出血及三個坐標平面的法向量，根據通與法向量的關系判斷.

【詳解】AB=（-l,0,-l）,坐標平面xOy的一個法向量是（0,0,1）,坐標平面xOz的一個法向量是

（0,1,0）,坐標平面yOz的一個法向量是（1,0,0）,這三個法向量與福都不平行，

但福?（0,1,0）=0,點AB均不在坐標平面xOz上，因此與坐標平面xOz平行，

故選：C.

4.在（2x+iy的展開式中，f的系數為（）

A.6B.12C.24D.36

【答案】C

【分析】先求二項式展開式的通項公式，然后根據通項公式計算求解即可.

【詳解】（2x+l）4展開式的通項公式小=C：（2x嚴=2iCRT,

令4-%=2,得4=2,

所以在（2x+l）a的展開式中，一的系數為240=4x6=24,

故選：C

5.在長方體中，AB=3,BC=2,AAl=l,則二面角R-BC-O的余弦值為（）

Ax/5R2石「Mn3M

551010

【答案】D

【分析】畫出長方體ABC。-A4GA，N￡>C。為二面角A-BC-。所成的平面角，求出cos/RC。

的值即可得出答案.

【詳解】長方體A8CO-44GR中，A8=3,BC=2,A4,=1,二（7。=加，

BCVCD,V8C_L平面DCCR,CRu平面DCC.D,,.-.BC±CD,,

又平面D\BCn平面BCD=BC,

SCD為二面角D.-BC-D所成的平面角,

CD33M

cosZD,CD-

函一旃一]0

所以二面角D.-BC-D的余弦值為迎.

10

故選：D.

6.若直線3x+4y+m=0與圓（x+l>+y2=l相離，則實數，"的取值范圍是（）

A.(T?,-8)U(2,+8)B.（-O?,-2）D（8,+8）

C.(一8,-2)。(2,+8)D.（田,一8）口（8,+。）

【答案】B

【分析】根據直線與圓相離則圓心到直線的距離大于圓的半徑即可求解.

【詳解】因為直線與圓相離，

所以圓心(T,0)到直線3x+4y+m=0的距離d=>r=\,

V32+42

解得m<一2或<>8,

故選:B.

7.2名輔導教師與3名獲獎學生站成一排照相，要求2名教師分別站在兩側，則不同的站法共有()

A.A；種B.2A；種C.A；-A：種D.A；種

【答案】B

【分析】先排好教師再排學生即可.

【詳解】2名教師排在兩邊有A；=2種排法，3名學生排在中間有A；種排法，

所以共有2A；種排法；

故選：B.

8.設aeR,貝『'a=l"是''直線4：ox+2y=0與直線白x+(a+l)y+4=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】計算直線平行等價于4=1或。=-2,根據范圍大小關系得到答案.

【詳解】直線4：以+2y=0與直線/x+(a+l)y+4=0平行，貝l]a(a+l)=2,a=l或。=一2,

驗證均不重合，滿足.

故"。=1”是"直線《：辦+2)，=0與直線￡x+(a+l)y+4=0平行”的充分不必要條件.

故選：A.

【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的計算能力和推斷能力.

9.如圖是一個橢圓形拱橋，當水面在/處時，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構成一個橢

圓.此時拱頂離水面2m,水面寬6m,那么當水位上升1m時，水面寬度為()

【答案】A

22

【分析】根據題意可得橋洞與其倒影恰好構成的橢圓方程為：工+工=1,求直線y=i被橢圓所截

94

得的弦長，代入橢圓方程即可求解.

【詳解】以圖中水面所在的直線為x軸，水面的垂直平分線所在直線為y軸，建立平面直角坐標系,

根據已知條件可知：橋洞與其倒影恰好構成的橢圓方程為：—=

94

當水位上升Im時，水面的寬度也即當時，直線y=i被橢圓所截的弦長.

把y=i代入橢圓方程可得：x=土述，

2

所以當水位上升1m時，水面的寬度為36機，

故選：A.

10.設點A0,O）,N（—2,3）,直線/:》+做+2。-1=0,也口于點乂,則|肱V|的最大值為（）

A.扃B.6C.4D.3a+1

【答案】B

【分析】依題意可得直線AM的方程，再聯(lián)立直線/的方程，消。后可得到M的軌跡方程為

（x-l）2+（y+l）2=l,則所求|網的最大值為圓心到點N（-2,3）的距離加上半徑，由此即可求解.

【詳解】依題意可得直線A例的方程為y=a（x-l）,

x+ay+2a-l=0

聯(lián)立消。整理得(x-iy+(y+l)2=l,

y=a(x-l)

所以點M的軌跡是以（1,-1）為圓心，1為半徑的圓,

故|網的最大值為7（-2-1）2+（3+1）2+1=6,

故選：B.

二、填空題

11.設A(-3,2),3(1,T),則過線段A8的中點，且與A8垂直的直線方程為.

【答案】2x-3y-l=0

【分析】求出線段AB的中點坐標和斜率，利用點斜式寫出直線方程.

-4-23

【詳解】因為A(-3,2),8(1,T),所以線段48的中點且配=匚m=一手

__1____1__2

所以與AB垂直的直線的斜率為一了=3，

2

2

所以過線段A8的中點，與A8垂直的直線方程為y+l=§(x+l),即2x-3y-l=0.

故答案為：2x-3y-l=0

12.在(x+gj的展開式中，常數項為.

【答案】20

【分析】根據展開式的通項公式求解即可.

【詳解】在卜+:1的展開式的通項公式為小=C*6-*G]=第/23

所以令6-2%=0,解得左=3,

所以常數項為森=20

故答案為：20.

13.設F為拋物線C：V=4x的焦點，點A在拋物線C上，點8(3,0),且卜怛耳，則

.

【答案】20

【分析】由題意可設月(x,y),且滿足V=4x,因為|A尸|=忸q=2,由兩點間的距離公式代入可求出

A(l,±2),即可求出|A3|.

【詳解】由題意可得，網1,0),|明=2,設A(x,y),

且滿足y2=4x,此時x>0,

則|AF|=J(x_l『+y2=+4x=2,

解得：x=l,此時y=±2,所以A(l,±2),

故|二J(l-3)2+(±2)2=2V2.

故答案為：20

14.記雙曲線C：W-1=l(a>0/>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點”的e的

a-b2

一個值.

【答案】2(滿足l<e46皆可)

【分析】根據題干信息，只需雙曲線漸近線y=±±hX中0<±b42即可求得滿足要求的e值.

aa

【詳解】解：C：4-^-=l(?>0,fe>0),所以C的漸近線方程為丫=±2》，

arb~a

結合漸近線的特點，只需。<、2,即與44,

aa

可滿足條件“直線y=2x與。無公共點”

所以e=￡=Jl+—r-<Jl+4=yfi)

a\a'

又因為e>l,所以l<eW不,

故答案為：2(滿足1<?<百皆可)

15.如圖，在正方體ABCO-AAGA中，A8=2,E為棱。?的中點，尸是正方形CDRG內部(含

邊界)的一個動點，且〃平面A8E.給出下列四個結論:

①動點F的軌跡是一段圓弧;

②存在符合條件的點尸，使得g48；

③三棱錐瓦-REF的體積的最大值為g；

④設直線B7與平面所成角為凡則tan?的取值范圍是［2,2夜］.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】②③④

【分析】對于①，利用線線平行可證得平面A8E//平面進而知動點F的軌跡;

對于②，利用垂直的性質的可判斷；

對于③，利用三棱錐的體積公式可求得；

對于④，利用線面角的定義結合三角形可求解；

【詳解】對于①，分別取CC,和RG的中點連接MN,MB,,NB、,

由正方體性質知MNNB"EA\,MMNB1色平面AQE,4田,昭匚平面所以

MN,NBJ/碼面A、BE,又MN,NBiu平面MNB］,MNCNB、=N,所以平面A8E//平面,

當產在MN上運動時，有4尸//平面ABE,故動點尸的軌跡是線段MN,故①錯誤;

對于②，當F為線段MN中點時，=

又MN"AB,;.B、FLAB,故②正確;

1?

對于③，三棱錐尸的體積丫尸4G=彳5*「，

I7

又5D,￡fmM=-x2xl=1所以三棱錐的體積的最大值為:，故③正確;

八2

對于④，連接gEC/,則B,F與平面CDRG所成角0=NBF3,則tan?=—,

QF

又與”FM1,所以tan。的取值范圍是［2,2播］,故④正確;

故正確結論的序號是①③④,

故答案為：②③④

三、解答題

16.從4男3女共7名志愿者中，選出3人參加社區(qū)義務勞動.

(1)共有多少種不同的選擇方法？

(2)若要求選中的3人性別不能都相同，求共有多少種不同的選擇方法?

【答案】(1)35

(2)30

【分析】(1)7名志愿者中選出3人共有利”

(2)選中的3人性別不能都相同，即為1男2女或2男1女，即C；C；+C；C]

【詳解】(1)7名志愿者中選出3人共有C；=誓工=35種；

(2)選中的3人性別不能都相同，即為1男2女或2男1女，則有C；C；+C：C；=4?36?330種.

17.如圖，在四棱錐P-438中，P4_L平面ABCD,底面ABC。為正方形，E為線段AB的中點,

PA=AB=2.

B

(1)求證：BCLPE；

(2)求平面與平面P8D夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

喈

【分析】(D根據線面垂直的性質定理可得再根據底面是正方形可證明線面垂直，即可得

BCYPE-,(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量求得平面R4B與平面尸8。的法向量，即可求得

二面角的余弦值

【詳解】(1)由平面ABCD,根據線面垂直的性質定理可知，PAYBC

又因為底面A8C￡＞為正方形，所以

又因為弘口班=4,且朋,8A含于平面〃B,所以8C1平面PAB；

E為線段48的中點，PEu平面叢8,

所以，BCA.PE

(2)根據題意可知，以A點為坐標原點，分別以AB、AD.AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空

則麗=(2,0,-2),由=(0,2,-2),

設平面PBD的一個法向量為n=(x,y,z),

n-PB=2x-2z=0_

得<—,令z=l可得，x=\,y=l,HPn=(1,1,1)；

n-PD=2y-2z=0

易知，Z方=(0,2,0)是平面PA8的一個法向量，

設平面村的與平面尸BD的夾角為6,

則cos”|cos(n,砌=瑞=焉邛

所以，平面R記與平面尸5。夾角的余弦值為坦

3

18.在平面直角坐標系中，A(-l,0),8(1,0),曲線C是由滿足直線處與心的斜率之積等于定值

4(2eR)的點尸組成的集合.

(1)若曲線C是一個圓(或圓的一部分)，求2的值；

(2)若曲線C是一個雙曲線(或雙曲線的一部分)，且該雙曲線的離心率求4的取值范圍.

【答案】⑴-1

(2)[l,+oo)

【分析】(1)由題意知，PAP8的斜率存在，設P(%y)代入斜率公式，再由斜率之積為定值，化簡

滿足圓的條件即可求得，的值.

(2)由題意知，PAP8的斜率存在，設P(x,y)代入斜率公式，再由斜率之積為定值，化簡滿足雙

曲線的條件及離心率e2&即可求得4的取值范圍.

【詳解】(1)設P(x,y)且x*±l,A(—1,0),3(1,0),由題意知,PAPB的斜率存在，

..y—Oy-0]y2

則kpA-囁=-^――---二彳即-~書~-=A,

x-(-l)x-1(x-l)(x+l)

可化為丁=2(x+l)(x-l)=Ax2-2(xw±l),

因為曲線C是一個圓(或圓的一部分)，所以丁=4(尤+1)(工-1)二尢^一九，

可化為一九「+/+%=0,

(—A.=1

所以〃八解得之=T.

[-42>0

(2)設P(x,y)且xx士1,A(—1,0),8(1,0),由題意知，PAP3的斜率存在,

.,y—Oy—0。y2

則kPA-kPK=-5—T-二彳即-_書_八=A,

可化為丁=2(x+l)(x-1)=Ax2-2(x#±l),

因為曲線C是一個雙曲線(或雙曲線的一部分)，所以—

可化為f--=1(/1^0),

所以4=16=2,c2=a2+b2=1+2,

因為e=￡之夜，

a

所以/正解得於1,

a~1

所以彳的取值范圍為[1，+8).

22

19.已知橢圓C:￡+〉l(a>b>0)的一個焦點為尸(6,0),其長軸長是短軸長的2倍.

(1)求橢圓C的方程；

⑵記斜率為1且過點尸的直線為/,判斷橢圓C上是否存在關于直線/對稱的兩點A,B?若存在，求

直線A8的方程；若不存在，說明理由.

【答案】⑴三+V=1

4

⑵不存在

【分析】(I)由C及a=?,根據/=^+c2,解得寫出方程.

(2)先假設存在，設出直線A8的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得中點坐標，代入/，求得旭，驗證△<(),

得結論不存在關于直線/對稱的兩點.

【詳解】(1)Vc=A/3,?=2ba2=4/j2=4(?2-c-2)

a2=4,a=2,6=1

橢圓C的方程上+>2=1

4

(2)假設存在關于/對稱的兩點A8

?：l:y=x-6,設A3的方程為)'=-x+加

y=-x+m

直線A3與橢圓C的方程聯(lián)立,f得5x2-8g+4療-4=0

—+y=1

4'

設4(西,凹),3(%2，%)

n18/n,、_21n

貝+W=-y，X+必=一區(qū)+x2)+2m=—,

A8的中點(￡,￡)代入y=x-石

解得m=-

3

此時A=-16毋+80<0,

所以橢圓C上不存在關于直線/對稱的兩點A民

20.如圖，在四棱柱ABCO-AAGR中，MJL平面ABCDAB//CD,AD^CD=l,

AAt=AB=2,E為線段4A的中點，再從下列兩個條件中選擇一個作為己知.

條件①：ADrBE-,條件②：BC=JL

(1)求直線CE與4。所成角的余弦值;

⑵求點C1到平面BCE的距離;

(3)已知點M在線段CG上，直線EM與平面BCG瓦所成角的正弦值為逆，求線段CM的長.

3

【答案】(1)巫

15

⑵也

3

(3)CM的長為3或|.

【分析】選①或②，都能得到，DAYAB,后如圖以A為原點建立空間直角坐標系.則可利用向量方

法求線線角，點面距離，面面角解決問題.

【詳解】(1)若選擇①，因的，平面A8C￡>,D4u平面ABC。，則D41AA],

又ADJ.BE,A41U平面AB8|A，E3U平面A881A，AA^QEB=E,則D4_L

平面A8B|A，又A8u平面則八4J_AB；

若選擇②，做CF〃AD,交AB于F,又ABUCD,則四邊形OC以是平行四邊形，則

CD=CF=AD=AF=\,又AB=2,則FB=1.

則在“CAB中，CF2+FB2=BC2,得CF1AB,又CF〃AD,則ADJ.AB.

故D4J."，DA1AB,AA,A.AB,則如圖建立以A為原點的空間直角坐標系.

則C（1,1,0）,E（0,0,1）,4（1,0,2）,4（0,2,2）,

得既=1),幽=(1,-2,0),則直線CE與4鼻所成角的余弦值為:

E?麗]_姮

|司J瓦可73X7515

（2）因3（0,2,0）,C（l,1,0）,E（0,0,1）,￡（1,1,2）,

則CB=（-1,1,0）,CE=（-1,-1,1）,cq=（0,0,2）.

-/、|n-CE=0[-x-y,+z.=0

設平面BCE的法向量為〃=(4如zj,則一=>''

、n-CB=0[f+y=0

CCxn_4_26

取力=(1,1,2),則求點G到平面8C￡的距離d=

R3

(3)因點M在線段CC,上，則設M(1,1,。，其中fe[0,2].

又E（0,0,l）,則加=（1,1"-1）.又而=（_1,1,0卜不=（0,0,2）,

in-CB=0{~x2+%=0

設平面6CC向法向量為而=(w，%,ZJ,

mCQ=0^[2Z2=0

u

取"7=(1,1,0),則直線EM與平面BCC\所成角的正弦值為:

EM-m