求體積的幾種常用的方法課件

順德區(qū)樂從中學(xué)何健文求體積的幾種常用方法2015屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)一、等體積法（換底法）等體積法是針對當(dāng)所給幾何體的體積不能直接套用公式或涉及的某一量(底面積或高)不易求解時，可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對位置進(jìn)行計算，該方法尤其適用于求三棱錐的體積。分析：對于三棱錐，四個面都可以作為底面，選取三個點(diǎn)所在的面作為底面，剩余的一個點(diǎn)作為頂點(diǎn)。至于如何選取，關(guān)鍵在于選取的底面積和高易求出。變式1、如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),求三棱錐D1-EDF的體積.變式2、在棱長為2的斜三棱柱ABC-DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CEO，AB=AE,連結(jié)AO.(Ⅰ)求證：AO⊥平面FEBC；(Ⅱ)求三棱錐B-DEF的體積.ABCDFE變式3、如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=900,AF//DE，DE=DA=2AF=2.求四面體BDEF的體積.ABCDE變式4、如圖，在邊長為a的正方體中，點(diǎn)E為AB上的任意一點(diǎn)，求三棱錐的體積。解法分析：V=V圖5

對于給出的一個不規(guī)則的幾何體，不能直接套用公式，常常需要通過“割”或“補(bǔ)”化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單幾何體，并作體積的加、減法，從而較快地找到解決問題的突破口。二、割補(bǔ)法BCA'B'如何求三棱錐的體積？①②③ABCA'B'C'ABCA'CA'C'B'

答：由于和的面積相等，且三棱錐和三棱錐具有相等的高，所以又由于和的面積相等，且三棱錐和三棱錐具有相等的高，所以【例2】如右圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為

.思考：本題可以做怎樣的“分割”或“補(bǔ)形”？EFABCDEFABCDGH(分割法2)PEFABCD（分割法3）QEGFPABCDH（補(bǔ)形法）EFABCD(分割法1)EFABCDEFABCD（分割法1）多面體分割成一個三棱錐和一個四棱錐，但是，三棱錐E-ADF的體積不易求得，所以，不考慮這種方法。注：將幾何體分割時，盡量分割成體積容易求得的小幾何體。分別過A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連結(jié)DG、CH，容易求得EG=HF=.(分割法2)EFABCDEFABCDGHEFABCDPEFABCD（分割法3）：取EF的中點(diǎn)P，則多面體ABCDEF分割成正四面體ADEP，PBCF和正四棱錐P-ABCDQEGFPABCDHEFABCD（補(bǔ)形法）：如圖，過E分別作BA、CD的延長線的垂線EG、EH，過F分別作AB、DC的延長線的垂線FP、FQ，連接GH、PQ，則多面體EFH-FPQ為直三棱柱AG=DH=BP=CQ=，EG=EH=FP=FQ=E到平面AGHD的距離為1.多面體常常切割成柱體和錐體，特別是三棱錐,比如2.將大幾何體分割時，盡量分割成底面積或高容易求得的小幾何體。GHabbbaa1.將不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的或體積易于計算的幾何體。2.常見的補(bǔ)形（1）將被平面所截得幾何體還原；（2）將三棱錐補(bǔ)成平行六面體，特別是長方體或正方體；a.三條側(cè)棱互相垂直，補(bǔ)成長方體b.將三棱錐補(bǔ)成三棱柱或平行六面體ABPCc.將正四面體補(bǔ)成正方體O例題2、在棱長為4的正方體中，求三棱錐A－B1CD1的體積．ACDB1C1D1BA1變式訓(xùn)練1、已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2，BB1=3，求三棱錐B1-AD1C的體積.BEADC變式訓(xùn)練2解：練習(xí)：PABCPABCD（等體積法）思考這個三棱錐還可以用“割補(bǔ)法”做嗎？“割”或“補(bǔ)”一個幾何體得到常見的幾何體呢？法二:(分割法）取AB、AC的中點(diǎn)M、N，連接PM、PN、MN，則P-AMN是一個棱長為1的正四面體。明顯地，VP-ABC=4VP-AMN故VP-ABC=MNPABCPABCOQ法三：

明顯地，P-ABC是棱長為2的正四面體，所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC

（補(bǔ)形法）延長AP至點(diǎn)Q，連接BQ、CQ，求體積的常用方法所給的是非規(guī)范(或條件比較分散的規(guī)范的)幾何體時,通過對圖象的割補(bǔ)或體積變換,化為與已知條件直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體,并