第二章-概率-復習與小結(蘇教版選修2-3)課件

2.1隨機變量及其概率分布

一般地，如果隨機試驗的結果，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量。通常用大寫拉丁字母X，Y，Z(或小寫希臘字母ξ,

η,ζ）;用小寫拉丁字x,y,z(加上適當下標）等表示隨機變量取的可能值。建構數(shù)學隨機變量就是建立了一個從試驗結果的集合到實數(shù)集合的映射。

一般地，假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1,x2,…，xn，且

P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n,①則稱①為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列。Xx1x2…xnPp1p2…pn①可以用下表表示：我們將這個表稱為隨機變量X的概率分布表。它和①都叫做隨機變量X的概率分布。pⅰ≥0p1+p2+…+pn=1例、從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球個數(shù)”，求隨機變量X的概率分布注：我們把這一類分布稱為0-1分布或兩點分布，并記為X~0-1分布或X~兩點分布?！皛”表示服從。例同時擲兩顆質地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，求兩顆骰子中出現(xiàn)的最大點數(shù)X的概率分布，并求X大于2小于5的概率P（2<X<5）。X的值出現(xiàn)的點情況數(shù)1（1，1）12（2，2）（2，1）（1，2）33(3,3)(3,2)(3,1)(2,3)(1,3)54(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(3,4)(2,4)(1,4)75(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5)96(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6)11

一袋中裝有6個同樣大小的小球，編號為1、2、3、4、5、6，現(xiàn)從中隨機取出3個小球，以表示取出球的最大號碼，求的分布列．例：解：表示其中一個球號碼等于“3”，另兩個都比“3”小∴∴∴∴∴隨機變量的分布列為：6543的所有取值為：3、4、5、6．表示其中一個球號碼等于“4”，另兩個都比“4”小表示其中一個球號碼等于“5”，另兩個都比“5”小表示其中一個球號碼等于“3”，另兩個都比“3”?。?－13210分別求出隨機變量⑴；⑵的分布列．解：⑴由可得的取值為－1、、0、、1、且相應取值的概率沒有變化∴的分布列為：例6：已知隨機變量的分布列如下：－110－2－13210分別求出隨機變量⑴；⑵的分布列．解：∴的分布列為：例6：已知隨機變量的分布列如下：⑵由可得的取值為0、1、4、90941從一批有10個合格品與3個次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設各個產(chǎn)品被抽到的可能性相同，在下列兩種情況下，分別求出直到取出合格品為止時所需抽取的次數(shù)的分布列．解：表示只取一次就取到合格品∴表示第一次取到次品，第二次取到合格品∴表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品∴∴隨機變量的分布列為：的所有取值為：1、2、3、4．例⑴每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中；⑵每次取出的產(chǎn)品都立即放回此批產(chǎn)品中，然后再取出一件產(chǎn)品；⑴同理可得4321從一批有10個合格品與3個次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設各個產(chǎn)品被抽到的可能性相同，在下列兩種情況下，分別求出直到取出合格品為止時所需抽取的次數(shù)的分布列．解：表示只取一次就取到合格品∴表示第一次取到次品，第二次取到合格品∴表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品∴∴隨機變量的分布列為：的所有取值為：1、2、3、···，n，···．⑴每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中；⑵每次取出的產(chǎn)品都立即放回此批產(chǎn)品中，然后再取出一件產(chǎn)品；⑵同理可得···321·········例超幾何分布超幾何分布的概率背景

一批產(chǎn)品有

N件，其中有M

件次品，其余N-M

件為正品．現(xiàn)從中取出

n

件．令X：取出n

件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的分布列為如果隨機變量X的分布列為記為：

例如從全班任抽n個人，抽到女生的人數(shù)；從撲克牌中取n張，取到黑桃的張數(shù)；買n張彩票，中獎的張數(shù)，等等都可以用超幾何分布描述。變題：至少摸出4個紅球就中一等獎?例、例、超幾何分布：適用于不放回抽取本小題第二問是二項分布這兩個問題的求解方法一樣嗎?2.3條件概率一個符號：事件AB

我們把事件A和B同時發(fā)生的事件記為AB，即事件AB是由A和B的公共事件組成的事件ABAB1.定義：一般地，若有兩個事件A和B，在已知事件B發(fā)生的條件下考慮事件A發(fā)生的概率，則稱此概率為B已發(fā)生的條件下A的條件概率，記為P(A︱B).ABAB這式子對幾何概率也成立.

概率

P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了區(qū)別：（1）在P(B|A)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，A先B后；在P（AB）中，事件A，B同時發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(B|A)中，事件A成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為。因而有練一練全年級100名學生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人；來自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求一批產(chǎn)品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率．

設Ａ表示取到的產(chǎn)品是一等品，Ｂ表示取出的產(chǎn)品是合格品，則于是

所以

解解

一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝?，連取２次，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．設Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,則（2）（3）（1）練習答：略。練一練某種動物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動物活到25歲的概率。解設A表示“活到20歲”(即≥20)，B表示“活到25歲”(即≥25)則所求概率為0.560.75答：略。事件的獨立性

一般地，若事件A，B滿足P（A︱B）=P（A），則稱事件A，B獨立。1）當A，B獨立時，B,A也是獨立的，即A與B獨立是相互的。2）當A，B獨立時P（A︱B）=P（A）P（AB）=P（A）P（Ｂ）Ａ事件的發(fā)生不影響事件Ｂ的發(fā)生概率或或推廣：若事件Ａ１，Ａ２．．．Ａｎ相互獨立，則這ｎ個事件同時發(fā)生的概率Ｐ（Ａ１Ａ２．．．Ａｎ）＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）．．．Ｐ（Ａｎ）例１求證：若事件Ａ與Ｂ獨立，則事件Ａ與也相互獨立。一拖三概率意義A、B同時發(fā)生的概率A、B中至多有一個發(fā)生的概率A、B中至少有一個發(fā)生的概率A、B中恰有一個發(fā)生的概率A、B都不發(fā)生的概率A發(fā)生B不發(fā)生的概率A不發(fā)生B發(fā)生的概率（五）討論研究例２：如圖用X，Y，Z三類不同的元件連接成系統(tǒng)N，當元件X，Y，Z都正常工作時，系統(tǒng)N正常工作。已知元件X，Y，Z正常工作的概率依次為0.80，0.90，0.90，求系統(tǒng)N正常工作的概率P。XYZ思考：若系統(tǒng)連接成下面的系統(tǒng)，則該系統(tǒng)正常工作的概率為多少？XYZ例4、甲、乙兩人各進行1次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.6，求（1）2人都擊中目標的概率；（2）只有甲擊中目標的概率；（3）恰有1人擊中目標的概率；（4）至少有1人擊中目標的概率；（5）至多有1人擊中目標的概率。2.4二項分布獨立重復試驗

一般地,由n次試驗構成,且每次試驗相互獨立完成,每次試驗的結果僅有兩種對立的狀態(tài),即A與A,每次試驗中P(A)=p>0,我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復試驗,也稱為伯努利試驗(Bernoullitrials)).,2,1,0()1()(nkPPCkPknkknnL=-=-在n次獨立重復試驗中，如果事件Ａ在其中１次試驗中發(fā)生的概率是Ｐ，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是:1).公式適用的條件2).公式的結構特征（其中k=0，1，2，···，n）實驗總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)事件A發(fā)生的概率意義理解變式5.填寫下列表格：（其中k=0，1，2，···，n）隨機變量X的分布列:與二項式定理有聯(lián)系嗎?練習：某氣象站天氣預報的準確率為80%（保留2個有效數(shù)字）計算:（1）5次預報中恰有4次準確的概率（2）5次預報中至少有4次準確的概率

電燈泡使用壽命在1000小時以上的概率為0.2，求3個燈泡在使用1000小時后，最多有一只壞了的概率。離散型隨機變量的均值一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為

則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn為X的均值或數(shù)學期望，記為E(X)或μ．Xx1x2…xnPp1p2…pn其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝11、離散型隨機變量的均值的定義若X~H(n,M,N)則E(X)＝若X~B(n,p)則E(X)＝np2、兩個分布的數(shù)學期望練習：1、已知隨機變量的分布列為012345P0.10.20.30.20.10.1求E()2、拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的數(shù)學期望。2.303、隨機拋擲一個骰子，求所得骰子點數(shù)X的數(shù)學期望E(X)。3.5例從批量較大的成品中隨機取出10件產(chǎn)品進行質量檢查，若這批產(chǎn)品的不合格品率為0.05，隨機變量X表示這10件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，求隨機變量X的數(shù)學期望E(X)．考察0－1分布X01P1－

ppE(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p若X~H(n,M,N)則E(X)＝若X~B(n,p)則E(X)＝np離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差與標準差

對于離散型隨機變量X的概率分布如下表，(其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1)Xx1x2…xnPp1p2…pn

設μ＝E(X)，則(xi－μ)2描述了xi(i=1,2,...,n)相對于均值μ的偏離程度，故

(x1－μ)2

p1＋(x2－μ)2

p2＋...＋(xn－μ)2pn稱為離散型隨機變量X的方差，記為V(X)或σ2離散型隨機變量X的標準差：σ＝例．設隨機變量X的分布列為

X

1

2

…

n

P

n1

n1

…

n1

求V(X)

E(X)＝(1+2+...+n)＝V(X)＝故V(X)＝V(X)考察0－1分布X01P1－

ppE(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p方差V(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)標準差σ＝若X~H(n,M,N)則V(X)＝若X~B(n,p)則V(X)＝np(1－p)正態(tài)分布頻率組距產(chǎn)品尺寸（mm）ab

若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光滑的曲線，我們稱此曲線為概率密度曲線．總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率概率密度曲線概率密度曲線的形狀特征．

“中間高，兩頭低，左右對稱”

知識點一：正態(tài)密度曲線

上圖中概率密度曲線具有“中間高，兩頭低”的特征，像這種類型的概率密度曲線,叫做“正態(tài)密度曲線”，它的函數(shù)表達式是知識點二：正態(tài)分布與密度曲線

式中的實數(shù)μ，σ（σ>0）是參數(shù),分別表示總體的平均數(shù)與標準差.不同的μ，σ對應著不同的正態(tài)密度曲線（1）當=時,函數(shù)值為最大.(3)的圖象關于對稱.（2）的值域為

（4）當∈時為增函數(shù)