第18章++平行四邊形++期末壓軸題訓(xùn)練 人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第18章平行四邊形期末壓軸題訓(xùn)練1．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有很多典型的基本圖形．（1）如圖①，中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為、．試說(shuō)明；（2）如圖②，中，，，點(diǎn)、、在同一條直線上，，，．則菱形面積為_(kāi)_____．（3）如圖③，分別以的直角邊、向外作正方形和正方形，連接，是的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)度．2．如圖，在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接．（1）求證：；（2）四邊形是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若四邊形是矩形，則線段、的數(shù)量關(guān)系是______．3．在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD的上方作菱形ADEF，且∠DAF=60°，連接CF．（1）【觀察猜想】如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，①；②之間數(shù)量關(guān)系為．（2）【數(shù)學(xué)思考】：如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）【拓展應(yīng)用】：如圖（3），當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)及菱形ADEF的面積．．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且滿足，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)分別向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，分別得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，．（1）請(qǐng)求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)（不與重合），請(qǐng)找出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使三角形的面積與三角形的面積相等？若存在直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．5．綜合與探究如圖1,在中,為銳角,點(diǎn)為射線上一點(diǎn),連接,以為一邊且在的右側(cè)作正方形,解答下列問(wèn)題:（1）研究發(fā)現(xiàn):如果,①如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（與點(diǎn)不重合）,線段、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____,位置關(guān)系為_(kāi)______．②如圖3,當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),①中的結(jié)論是否仍成立并說(shuō)明理由．（2）拓展發(fā)現(xiàn):如果,點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在的外部,則當(dāng)_______時(shí),．6．如圖1所示，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，CD上，連接AE、AF．(1)求證：AE＝AF；(2)取AF的中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD，MN．則MD，MN的數(shù)量關(guān)系是，MD、MN的位置關(guān)系是(3)將圖2中的直角三角板ECF，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，如圖3所示，其他條件不變，則(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，點(diǎn)E為?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長(zhǎng)，使BF＝BE，連接EC并延長(zhǎng)，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點(diǎn)，連接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度數(shù)；（2）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；（3）連接EH，交BC于點(diǎn)O，若OC＝OH，求證：EF⊥EG．8．如圖，平行四邊形中，，，，是的中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接CE，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形是矩形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，（直接寫(xiě)出答案，不需要說(shuō)明理由）．9．如圖，在中，平分交于點(diǎn)，垂直平分，分別交，，于點(diǎn)，，，連接，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，，求的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求四邊形的面積．10．如下圖1，在平面直角坐標(biāo)系中中，將一個(gè)含的直角三角板如圖放置，直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，．（1）旋轉(zhuǎn)操作：如下圖2，將此直角三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）問(wèn)題探究：在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)將直角三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針，如圖3，在AB邊上的上方以AB為邊作等邊，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D所有可能的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）動(dòng)點(diǎn)分析：在圖3的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，如圖4，若點(diǎn)F是邊OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求OM的長(zhǎng)．11．如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，、分別為邊和邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接交、于點(diǎn)、，且.（1）求證：（2）若是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)：（3）在（2）的條件下，連接，如圖，求證：12．如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，6），將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點(diǎn)G，ED的延長(zhǎng)線交線段OA于點(diǎn)H，連結(jié)CH、CG．（1）求證：CG平分∠DCB；（2）在正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，求線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系；（3）連結(jié)BD、DA、AE、EB，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，四邊形AEBD是否能在點(diǎn)G滿足一定的條件下成為矩形？若能，試求出直線DE的解析式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．理解：在你所學(xué)過(guò)四邊形中，滿足等補(bǔ)四邊形定義的四邊形是；畫(huà)圖：如圖1，在正方形網(wǎng)格中，線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上(小正方形的頂點(diǎn))，請(qǐng)你畫(huà)出個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，為邊的等補(bǔ)四邊形；探究：如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．14．在中，以為邊在內(nèi)作等邊，連接．（1）如圖1，若點(diǎn)在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)度；（2）如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，在上取，連接，．求證：①；②是等邊三角形．15．如圖1，在正方形和正方形中，點(diǎn)在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連接．（1）求證：．簡(jiǎn)析：由是線段的中點(diǎn)，，不妨延長(zhǎng)交于點(diǎn)，從而構(gòu)造出一對(duì)全等的三角形，即_______________．由全等三角形的性質(zhì)，易證是_______三角形，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）如圖2，將原問(wèn)題中的正方形和正方形換成菱形和菱形，且，探究與的位置關(guān)系及的值，寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（3）當(dāng)時(shí)，菱形和菱形的頂點(diǎn)都按逆時(shí)針排列，且．若點(diǎn)在一條直線上，如圖2，則________；若點(diǎn)在一條直線上，如圖3，則________．16．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D同時(shí)出發(fā)，都以0.5cm/s的速度向點(diǎn)A、C運(yùn)動(dòng)，連接AF、CE，分別取AF、CE的中點(diǎn)G、H．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts（0＜t＜4）．（1）求證：AF∥CE；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ADF的面積為cm2；（3）連接GE、FH．當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EHFG為菱形．17．在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F（如圖1和圖2），然后展開(kāi)鋪平，連接BE，EF．（1）操作發(fā)現(xiàn)：①在矩形ABCD中，任意折疊所得的△BEF是一個(gè)三角形；②當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，BE與AE的數(shù)量關(guān)系為．（2）深入探究：在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2．①當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，求出BF的長(zhǎng)；②△BEF的面積是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)EF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（1）如圖①，在正方形ABCD中，的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長(zhǎng)相等，求的度數(shù)；（2）如圖②，在中，，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，GF=6，BM=，求EG，MN的長(zhǎng)．19．如圖正方形，與相交于點(diǎn)（不與、重合）．（1）如圖（1），當(dāng)，①求證：；②求證：；（2）如圖（2），當(dāng)，邊長(zhǎng)，，求的長(zhǎng)．20．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）試用含的式子表示、、的長(zhǎng)；（2）如圖①，連接，求證四邊形是平行四邊形；（3）如圖②，連接，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形？并說(shuō)明理由．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）證∠BDA＝∠CEA＝90°，∠CAE＝∠ABD，由AAS證明△ABD≌△CAE即可；（2）連接CE，交AF于O，由菱形的性質(zhì)得∠COA＝∠ADB＝90°，同（1）得△ABD≌△CAO（AAS），得OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，由三角形面積公式求出S△AOC＝6，即可得出答案；（3）過(guò)E作EM⊥HI的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥HI于N，同（1）得△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），得EM＝AH＝GN，證△EMI≌△GNI（AAS），得EI＝GI，證∠EAG＝90°，由勾股定理求出EG＝10，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解析】（1）證明：∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：連接CE，交AF于O，如圖②所示：∵四邊形AEFC是菱形，∴CE⊥AF，∴∠COA＝∠ADB＝90°，同（1）得：△ABD≌△CAO（AAS），∴OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，∴S△AOC＝OA?OC＝×4×3＝6，∴S菱形AEFC＝4S△AOC＝4×6＝24，故答案為：24；（3）解：過(guò)E作EM⊥HI的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥HI于N，如圖③所示：∴∠EMI＝∠GNI＝90°，∵四邊形ACDE和四邊形ABFG都是正方形，∴∠CAE＝∠BAG＝90°，AC＝AE＝8，AB＝AG＝6，同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），∴EM＝AH＝GN，在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中點(diǎn)，∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°，∴∠EAG＝90°，在Rt△EAG中，EG＝＝＝10，∵I是EG的中點(diǎn)，∴AI＝EG＝×10＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（1）見(jiàn)解析；（2）四邊形為平行四邊形，理由見(jiàn)解析；（3）AC=2AB．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OE=OF即可證得結(jié)論；（2）利用得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可證得四邊形是平行四邊形；（3）AC=2AB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AB=AO，利用點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，得到AG⊥OB，即可得到四邊形是矩形.【解析】（1）四邊形為平行四邊形，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，，則，在與中；（2），，，，又，，四邊形為平行四邊形；（3）當(dāng)AC=2AB時(shí)，四邊形EGCF是矩形.∵AC=2AB，AC=2AO，∴AB=AO，∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，∴AG⊥OB，∴∠GEF=90°，∴四邊形是矩形.故答案為：AC=2AB.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，矩形的判定定理，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用解題是關(guān)鍵.3．（1）①120°；②BC＝CD+CF；（2）不成立，見(jiàn)解析；（3）8，【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，推出△ACF≌△ABD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，再根據(jù)BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；（2）依據(jù)△ABD≌△ACF，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，進(jìn)而得到AB∥CF；依據(jù)△ABD≌△ACF可得BD=CF，依據(jù)CD-BD=BC，即可得出CD-CF=BC；（3）依據(jù)，即可得到，利用是等邊三角形，，可得，即可得出HD的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAD+∠DAC=60°在菱形ADEF中AD=AF∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°∴∠CAF=∠DAB又∵AC=AB，AF=AD∴△ACF≌△ABD∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°故答案為：120°②∵BC=BD+CD，BD=CF∴BD=CF+CD故答案為：BC=CD+CF（2）不成立理由：∵是等邊三角形∴，又∵∴∴∵四邊形ADEF是菱形∴∴∴，∴∵∴（3），菱形ADEF的面積是∵∴又∵，∴∴∴如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，連接FD∵是等邊三角形，∴∴∵∴∴.【點(diǎn)評(píng)】此題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，利用已知條件判定△DAB≌△FAC是解本題的關(guān)鍵．4．（1）C（-5，2），D（0，2）；（2）∠PQD+∠OPQ+∠BOP=360°，證明詳見(jiàn)解析；（3）滿足M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（2，0）或M（-8，0）或M（0，）或M（0，-）【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得a、b的值；（2）結(jié)論：∠PQD+∠OPQ+∠BOP=360°，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明即可；（3）分兩種情形分別討論，當(dāng)點(diǎn)M在y軸上，設(shè)M（0，m），由題意：×5×2＝×|m﹣2|×3；當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)M（n，0），由題意：?|n+3|×2＝×5×2，，分別解方程即可求得M的坐標(biāo)；【解析】（1）∵+=0，≥0，≥0，∴a=-3b=2∴A（-3，0），B（2，0），∴C（-5，2），D（0，2）；（2）結(jié)論：∠PQD+∠OPQ+∠BOP=360°；如圖所示：過(guò)點(diǎn)P作PH∥AB，∵平移，∴CD∥AB，∴PH∥AB∥CD，∴∠PQD+∠QPH=180°，∠BOP+∠HPO=180°，∴∠PQD+∠QPH+∠BOP+∠HPO=360°，∴∠PQD+∠OPQ+∠BOP=360°；（3）當(dāng)點(diǎn)M在y軸上，設(shè)M（0，m），由題意：×5×2＝×|m﹣2|×3，解得m＝或﹣，∴M（0，）或（0，﹣）．當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)M（n，0），由題意：?|n+3|×2＝×5×2，解得n＝2或﹣8，∴M（﹣8，0）或（2，0），綜上所述，滿足M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（2，0）或M（-8，0）或M（0，）或M（0，-）．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和分類討論思想，解題關(guān)鍵是添加常用輔助線構(gòu)造平行線解決問(wèn)題和分類討論當(dāng)點(diǎn)M在x軸上和y軸上．5．（1）①，；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)①中結(jié)論仍成立，詳見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）①結(jié)論:CF與BD位置關(guān)系是垂直、數(shù)量關(guān)系是相等;只要證明△BAD≌△CAF,即可解決問(wèn)題；②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．證明方法類似;（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G,理由（1）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．【解析】解:（1）①相等（或）,互相重直（或）理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90,∴∠ABC=∠ACB=45,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD和△CAF中,,∴△BAD≌△CAF（SAS）,∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45,∵∠ACB=45,∴∠FCB=90,∴CF⊥BD,CF=BD,故答案為CF⊥BD,CF=BD．②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．理由:由正方形ADEF得

AD=AF,∠DAF=90．∵∠BAC=90,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB≌△FAC（SAS）,∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,∵∠BAC=90,AB=AC,∴∠ABC=45,∴∠ACF=45,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD．（2）結(jié)論:當(dāng)∠ACB=45時(shí),CF⊥BD．理由:過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G,∴AC=AG,由（1）可知:△GAD≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90,即CF⊥BD．故答案為45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)添加輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題．6．(1)見(jiàn)解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由見(jiàn)解析【分析】(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD進(jìn)一步得到BE=DF，最后證明△ABE≌△ADF即可求解；(2)MN是△AEF的中位線，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜邊上的中點(diǎn)，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；(3)連接AE，同(1)中方法證明△ABE≌△ADF，進(jìn)而得到AE=AF，此時(shí)MN是△AEF中位線，MD是直角△ADF斜邊上的中線，證明方法等同(2)中即可求解．【解析】解：(1)證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴CE＝CF，∴BC﹣CE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．(2)如圖2中，MD，MN的數(shù)量關(guān)系是相等，MD、MN的位置關(guān)系是垂直，理由如下：∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，∴AF＝2DM，∵M(jìn)N是△AEF的中位線，∴AE＝2MN，由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，∴∠DMN＝∠BAD＝90°，∴DM⊥MN，故答案為：相等，垂直；(3)如圖3中，(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立，理由如下：連接AE，交MD于點(diǎn)G，如下圖所示，∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，∴MN∥AE，MN＝AE，由(1)同理可證，AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，在Rt△ADF中，∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，∴DM＝AF，∴DM＝MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1＝∠2，∵AB∥DF，∴∠1＝∠3，同理可證：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∵DM＝AM，∴∠MAD＝∠5，∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，∵M(jìn)N∥AE，∴∠DMN＝∠DGE＝90°，∴DM⊥MN．故答案為：仍成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的中位線、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形全等幾何知識(shí)，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．（1）50°；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)得出答案即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC；證明BC是△EFG的中位線，得出BC∥FG，BC＝FG，證出AD∥FH，AD∥FH，由平行四邊形的判定方法即可得出結(jié)論；（3）連接EH，CH，根據(jù)三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，∵AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位線，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H為FG的中點(diǎn)，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四邊形AFHD是平行四邊形；（3）連接EH，CH，∵CE＝CG，F(xiàn)H＝HG，∴CH＝EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝EF，∴BE＝CH，∴四邊形EBHC是平行四邊形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（1）證明見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)AE=3.5時(shí)，平行四邊形CEDF是矩形；②2【分析】（1）證明△FCG≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到結(jié)論；（2）①當(dāng)AE=3.5時(shí)，平行四邊形CEDF是矩形.過(guò)A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，證明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四邊形CEDF是矩形；②根據(jù)四邊形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中點(diǎn)，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四邊形CEDF是平行四邊形；（2）解：①當(dāng)AE=3.5時(shí)，平行四邊形CEDF是矩形，理由是：過(guò)A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是矩形；②∵四邊形CEDFCEDF是菱形，∴CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60°∠B=60°，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案為：2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定定理，菱形的性質(zhì)定理，直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形全等的判定及性質(zhì)定理，熟練掌握各定理并運(yùn)用解答問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.9．（1）見(jiàn)解析；（2）+1；（3）2【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分線的性質(zhì)可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可證BE∥DF，DE∥BF，可得四邊形DEBF是平行四邊形，即可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)和外角性質(zhì)可得∠DFC=30°，由直角三角形的性質(zhì)可求CF的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為H，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DFH=∠ABC=30°，從而得到DH的長(zhǎng)度，再利用底乘高得出結(jié)果．【解析】解：證明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，且BE=DE，∴四邊形BEDF是菱形；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=DF=1，F(xiàn)H=DH=，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=+1；（3）過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為H，∵四邊形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面積=BF×DH=2×1=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握菱形的判定方法是本題的關(guān)鍵．10．（1）（，）；（2）存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）或（，1）或（0，-1）；（3）OM=或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出OB，再利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出BD和OD即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意和等邊三角形的性質(zhì)分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)菱形的頂點(diǎn)順序分類討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分即可分別求出結(jié)論；（3）利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出OP和BP，然后根據(jù)直角三角形的直角頂點(diǎn)分類討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)求解即可．【解析】解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D由圖1中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得OB=∵將此直角三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∴∠BOD=30°∴BD=∴OD=∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）故答案為：（，）；（2）在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)將直角三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針，此時(shí)點(diǎn)A落在y軸上，點(diǎn)B落在x軸上∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）∵△ABC為等邊三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，b）如圖所示，若四邊形ABCD為菱形，連接BD，與AC交于點(diǎn)O∴點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)∴解得：∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）；當(dāng)四邊形ABDC為菱形時(shí)，連接AD，與BC交于點(diǎn)O∴點(diǎn)O既是AD的中點(diǎn)，也是BC的中點(diǎn)∴解得：∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1）；當(dāng)四邊形ADBC為菱形時(shí)，連接CD，與AB交于點(diǎn)O∴點(diǎn)O既是AB的中點(diǎn)，也是CD的中點(diǎn)∴解得：∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1）；綜上：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）或（，1）或（0，-1）；（3）∵OB=，∠ABO=30°∴OP=OB=∴BP=當(dāng)∠OMB=90°時(shí)，如下圖所示，連接BM∵F為OB的中點(diǎn)∴PF=，MF=，OF=BF∴PF=MF∴四邊形OPBM為平行四邊形∴OM=BP=；當(dāng)∠OBM=90°時(shí)，如下圖所示，連接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=在Rt△OBM中，OM=；綜上：OM=或．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．11．（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證明∠E=∠CGH，∠H=∠AFE，再證明四邊形ACGE是平行四邊形即可證明AE=CG，由此可利用“AAS”可證明全等；（2）證明△AEF≌△DGF（AAS）可得△DGF≌△CGH，所以可得，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得CD，由此可得結(jié)論；（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別把和用表示即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠E=∠EGD，∠H=∠DFG，∵∠CGH=∠EGD，∠DFG=∠AFE，∴∠E=∠CGH，∠H=∠AFE，∵，AB//CD，∴四邊形ACGE是平行四邊形，∴AE=CG，∴△AEF≌△CGH（AAS）；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠E=∠EGD，∠D=∠EAF，∵是的中點(diǎn)，∴AF=FD，∴△AEF≌△DGF（AAS）；由（1）得△AEF≌△CGH（AAS）；∴△DGF≌△CGH,∴,∵是等腰直角三角形，，，∴,∴，∴；（3）如下圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB，AD=BC，AC=2OC，BD=2OD，∵是等腰直角三角形，，AC=CD，∴，且,∴【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)．（1）中解題關(guān)鍵是利用證明四邊形ACGE是平行四邊形證明AE=CG；（2）得出是解題關(guān)鍵；（3）中能正確識(shí)圖，完成線段之間的代換是解題關(guān)鍵．12．（1）見(jiàn)解析；（2）HG＝OH+BG；（3）能成矩形，y．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)可得出CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90，根據(jù)全等直角三角形的判定定理（HL）即可證出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠DCG＝∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BG＝DG，根據(jù)全等直角三角形的判定定理（HL）即可證出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH＝HD，再根據(jù)線段間的關(guān)系即可得出HG＝HD+DG＝OH+BG；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論即可找出當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)以及點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），由此可得出HO＝x，根據(jù)勾股定理即可求出x的值，即可得出點(diǎn)H的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)H、G的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線DE的解析式．【解析】（1）∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF，∴CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90°．在Rt△CDG和Rt△CBG中，∵，∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），∴∠DCG＝∠BCG，即CG平分∠DCB．（2）由（1）證得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．在Rt△CHO和Rt△CHD中，∵，∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．（3）假設(shè)四邊形AEBD可為矩形．當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形，如圖所示．∵G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴BG＝GAAB，由（2）證得：BG＝DG，則BG＝GA＝DGABDE＝GE，又AB＝DE，∴四邊形AEBD為矩形，∴AG＝EG＝BG＝DG．∵AGAB＝3，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，3）．設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），則HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．設(shè)直線DE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴直線DE的解析式為：y．故四邊形AEBD能為矩形，此時(shí)直線DE的解析式為：y．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及勾股定理．解題的關(guān)鍵是：（1）證出Rt△CDG≌Rt△CBG；（2）找出BG＝DG、OH＝HD；（3）求出點(diǎn)H、G的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊和角是關(guān)鍵．13．（1）正方形；（2）圖見(jiàn)解析；（3）是，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義，在梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中分別分析每個(gè)圖形的性質(zhì)，篩選符合定義的圖形即可；（2）在格點(diǎn)上找滿足定義的點(diǎn)作為四邊形頂點(diǎn)即可；（3）過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；【解析】（1）滿足有一組鄰邊相等的四邊形有菱形、正方形，滿足對(duì)角互補(bǔ)的四邊形有矩形、正方形，同時(shí)滿足兩個(gè)條件的只有正方形．故答案為：正方形．（2）如圖1，等補(bǔ)四邊形為所求圖：（3）AD平分∠BCD，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠AEB=∠AFD=90°，∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，∴∠B+∠ADC=180°，又∠ADC+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADF，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AE=AF，又AE⊥BC，AF⊥CD，∴AC是∠BCF的平分線，即AC平分∠BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義下的綜合題，考查特殊平行四邊形，角平分線，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義為解題關(guān)鍵．14．（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DAE＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAH＝∠EAH，求出∠HAB＝45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CB＝CE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，得到DE＝CE，利用SAS定理證明結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EN＝EG，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可．【解析】（l）∵是等邊三角形，∴.∵，∴.∵，∴.∴.（2）①∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，∴線段是線段的垂直平分線.∴，.∵是等邊三角形，∴.∵四邊形是平行四邊形，∴，∴.∴.在和中，，∴.②由①知：，∴.∵，∴.∵，∴.∵，，∴.∵，∴.∴是等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．（1）ΔDPM,ΔFPG；等腰直角；（2）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；＝；（3）2，.【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由是線段的中點(diǎn)，，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可證明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CM=CG，即可證明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如圖，延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，利用ASA可證明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明△CHG是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，進(jìn)而可得∠CGP=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可得答案；（3）利用線段的和差關(guān)系可求出圖2中CG的長(zhǎng)，由（2）可知∠CGP=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求出CP的長(zhǎng)；在圖3中，延長(zhǎng)GP到N，使GP=PN，連接DN、CN、CG，過(guò)N作NK⊥CD，交CD延長(zhǎng)線于K，利用SAS可證明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠CDN=120°，根據(jù)平角的定義可得∠GBC=120°，利用菱形的性質(zhì)及等量代換可得DN=GB，利用SAS可證明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得PC⊥GN，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠NCG=120°，進(jìn)而可得出∠CNP=30°，可得PC=CG，根據(jù)平角的定義可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得得出KD的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出KN的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求出CN的長(zhǎng)，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出PC的長(zhǎng)．【解析】（1）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是線段的中點(diǎn)，四邊形ABCD、BEFG是正方形，點(diǎn)在同一條直線上，∴，DP=FP，CD=BC，F(xiàn)G=BG，在△DPM和△FPG中，，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG⊥PC，PG=PC．故答案為：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角（2）猜想：線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；＝．如圖，延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，∵P是線段DF的中點(diǎn)，∴FP＝DP，∵四邊形ABCD和四邊形是菱形，∴CD//AB，CF//BE，CD＝CB，GF=GB，∵點(diǎn)在一條直線上，∴DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，在△GFP和△HDP中，，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∴CD-DH＝CB-GB，即CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形．∴PG⊥PC，（三線合一），∠HCP=∠GCP，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=（180°-120°）=30°，∴CG=2PC，∴PG=，∴＝．（3）如圖2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=CG=2，如圖3，延長(zhǎng)GP到N，使GP=PN，連接DN、CN、CG，過(guò)N作NK⊥CD，交CD延長(zhǎng)線于K，在△DNP和△FGP中，，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四邊形ABCD和四邊形是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵點(diǎn)A、B、G在一條直線上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=DN=1，NK=，∴CK=CD+KD=7，∴CN==，在△CDN和△CBG中，，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=（180°-∠NCG）=30°，∴PC=CN=．故答案為：2，【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，正確作出輔助線、熟記30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)及全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．16．（1）見(jiàn)解析；（2）t＝2；（3）t＝1．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求AN＝DN＝cm，由三角形的面積公式可求解；（3）由菱形的性質(zhì)可得EF⊥GH，可證四邊形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性質(zhì)可求AM＝1，即可求解．【解析】證明：（1）∵動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D同時(shí)出發(fā)，都以0.5cm/s的速度向點(diǎn)A、C運(yùn)動(dòng)，∴DF＝BE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴CF＝AE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CD于N，∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝AD＝1cm，AN＝DN＝cm，∴S△ADF＝×DF×AN＝×t×＝，∴t＝2；（3）如圖2，連接GH，EF，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴FA＝CE，∵點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，點(diǎn)H是CE的中點(diǎn)，∴FG＝CH，∴四邊形FGHC是平行四邊形，∴CF∥GH，∵四邊形EHFG為菱形，∴EF⊥GH，∴EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB，又∵DM⊥AB，∴四邊形DFEM是矩形，∴DF＝ME，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝AD＝1cm，∵AM+ME+BE＝AB，∴1+t+t＝2，∴t＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．17．（1）①等腰；②；（2）①2；②存在，或【分析】（1）①由折疊的性質(zhì)得EF＝BF，即可得出結(jié)論；②當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，由折疊的性質(zhì)得AF垂直平分BE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝BE，證出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE＝AE；（2）①由等邊三角形的性質(zhì)得BF＝BE，∠EBF＝60°，則∠ABE＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得BE＝2AE，AB＝AE＝，則AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；②當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，得S△BEF≤S矩形ABCD，即當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)S△BEF最大，由折疊的性質(zhì)得CE＝CB＝2，即EF＝2；當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AB于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)K，則S△EKF＝KF?AH≤HF?AH＝S矩形AHFD，S△BKF＝KF?BH≤HF?BH＝S矩形BCFH，得S△BEF≤S矩形ABCD＝3，即當(dāng)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，BEF的面積最大，此時(shí)，DF＝CD＝，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，由勾股定理求出EF即可．【解析】解：（1）①由折疊的性質(zhì)得：EF＝BF，∴BEF是等腰三角形；故答案為：等腰；②當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，由折疊的性質(zhì)得：AF垂直平分BE，∴AE＝BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AE；故答案為：BE＝AE；（2）①當(dāng)BEF是等邊三角形時(shí)，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∵∠A＝90°，∴BE＝2AE，AB＝AE＝，∴AE＝1，BE＝2，∴BF＝2；②存在，理由如下：∵矩形ABCD中，CD＝AB＝，BC＝2，∴矩形ABCD的面積＝AB×BC＝×2＝6，第一種情況：當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，如圖1所示：此時(shí)可得：S△BEF≤S矩形ABCD，即當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)S△BEF最大，此時(shí)S△BEF＝3，由折疊的性質(zhì)得：CE＝CB＝2，即EF＝2；第二種情況：當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AB于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)K，如圖2所示：∵S△EKF＝K