矩形的折疊問題(專題)分析課件

矩形的折疊問題（復(fù)習(xí)課）幾何研究的對象是：圖形的形狀、大小、位置關(guān)系；主要培養(yǎng)三方面的能力：思維分析能力、空間想象能力和邏輯推理能力；折疊型問題的特點是：折疊后的圖形具有軸對稱圖形的性質(zhì)；兩方面的應(yīng)用：一、在“大小”方面的應(yīng)用；二、在“位置”方面的應(yīng)用。折疊型問題在“大小”方面的應(yīng)用，通常有求線段的長，角的度數(shù)，圖形的周長與面積的變化關(guān)系等問題。一、在“大小”方面的應(yīng)用1、求線段與線段的大小關(guān)系例1如圖，AD是ABC的中線，ADC=45o，把ADC沿AD對折，點C落在點C'的位置，求BC'與BC之間的數(shù)量關(guān)系。解由軸對稱可知ADC≌ADC',ADC'=ADC=45o,C'D=CD=BDBC′D為RtBC’=2BD=

BC22練習(xí)1

如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）(A)2(B)3(C)4(D)5例2

如圖，折疊矩形的一邊AD，點D落在BC邊上點F處，已知AB=8，BC=10，則EC的長是

。解設(shè)EC=x，則DE=8-x，由軸對稱可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3B練習(xí)2

如圖，在梯形ABCD中，DCAB，將梯形對折，使點D、C分別落在AB上的D1、C1處，折痕為EF。若CD=3，EF=4，則AD1+BC1=

。2練習(xí)3

如圖，將矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點疊在折痕線MN上，若AB=3，則折痕AE的長為（）。(A)33/2(B)33/4(C)2(D)23EC2、求角的度數(shù)例3將長方形ABCD的紙片，沿EF折成如圖所示；已知EFG=55o，則FGE=

。70o練習(xí)4如圖，矩形ABCD沿BE折疊，使點C落在AD邊上的F點處，如果ABF=60o，則CBE等于（）。(A)15o(B)30o(C)45o(D)60oA/dx//dx/151226/4750232.html/dx/151226/4750233.html/dx/151226/4750234.html/dx/151226/4750237.html/dx/151106/4722630.html/dx/151108/4723016.html/dx/151226/4750244.html/dx/151226/4750245.html/dx/151226/4750250.html/dx/151108/4723018.html/dx/151108/4723019.html/dx/151111/4724419.html/dx/151114/4726456.html/dx/151228/4750533.html/dx/151228/4750552.html/dx/151228/4750553.html/dx/151114/4726457.html/dx/151228/4750574.html/dx/151228/4750575.html/dx/151229/4751728.html3、求圖形的全等、相似和圖形的周長例4如圖，折疊矩形ABCD一邊AD，使點D落在BC邊的一點F處，已知折痕AE=55cm，且tanEFC=3/4.(1)求證：AFB∽FEC；(2)求矩形ABCD的周長。練習(xí)5

如圖，將矩形紙片ABCD沿一對角線BD折疊一次（折痕與折疊后得到的圖形用虛線表示），將得到的所有的全等三角形（包括實線、虛線在內(nèi)）用符號寫出來。練習(xí)6

如圖，矩形紙片ABCD，若把ABE沿折痕BE上翻，使A點恰好落在CD上，此時，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的長和寬。答案：△ABD≌△CDB,△CDB≌△EDB,△EDB≌△ABD,△ABF≌△EDF.答案：矩形的長為10，寬為8。4、求線段與面積間的變化關(guān)系例5

已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC的長為10，B和C都為銳角，M為AB上的一動點(M與A、B不重合)，過點M作MN∥BC，交AC于點N，設(shè)MN=x.(1)用x表示△AMN的面積SΔAMN。(2)ΔAMN沿MN折疊，設(shè)點A關(guān)于ΔAMN對稱的點為A1，ΔA1MN與四邊形BCMN重疊部分的面積為y.①試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；②當x為何值時，重疊部分的面積y最大，最大為多少？練習(xí)7

如圖，把一張邊長為a的正方形的紙進行折疊，使B點落在AD上，問B點落在AD的什么位置時，折起的面積最小，并求出這最小值。O解：如圖，設(shè)MN為折痕，折起部分為梯形EGNM，B、E關(guān)于MN對稱，所以BE⊥MN，且BO=EO，設(shè)AE=x，則BE=

。由Rt△MOB∽

，得：

，∴BM=

=

=

.作NF⊥AB于F，則有Rt△MNF≌

,∴FM=AE=x,從而CN=BM-FM=

=

?！郤梯形BCNM=

。=?(x-a/2)2+3/8a2.∴當x=a∕2時，Smin=(3∕8)a2.例6

將長方形ABCD的紙片，沿EF折成如圖所示，延長C`E交AD于H，連結(jié)GH。求證：EF與GH互相垂直平分。二、在“位置”方面的應(yīng)用由于圖形折疊后，點、線、面等相應(yīng)的位置發(fā)生變化，帶來圖形間的位置關(guān)系重新組合。1、線段與線段的位置關(guān)系證明：由題意知FH∥GE，F(xiàn)G∥HE，∴

。又

，∴四邊形

是

，∴FE與GH互相垂直平分。2、點的位置的確定例7

已知：如圖，矩形AOBC，以O(shè)為坐標原點，OB、OA分別在x軸，y軸上，點A坐標為(0,3)，∠OAB=60o，以AB為軸對折后，使C點落在D點處，求D點坐標?！鷛↑y解由題意知，OA=3，∠OAB=60o，∴OB=3tan60o=3√3.∵Rt△ACB≌Rt△ADB,∴AD=AC=OB=3√3.→x↑y過點D作Y軸垂線，垂足為E，在直角三角形AED中，ED=

，AE=

，故OE=

。故點D的坐標為（3/2√3，-3/2）。練習(xí)8

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90o，沿著B點的一條直線BE折疊這個三角形，使C點與AB邊上的一點D重合。當∠A滿足什么條件時，點D恰好是AB的中點？寫出一個你認為適當?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB中點。條件：∠A=30o證明：由軸對稱可得，△BCE≌△BDE，∴BC=BD，在△ABC中，∵∠C=90o

，∠A=30o

，∴BC=?AB，∴BD=?AB，即點D為AB的中點。1、如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊上的F點處。矩形中的折疊問題（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度數(shù)；（2）若AB＝6cm，

AD＝10cm，

求線段CE的長及△AEF的面積.2、如圖，矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF。ABECDFG（1）連結(jié)CF，四邊形AECF是什么特殊的四邊形？為什么？（2）若AB＝4cm，AD＝8cm，你能求出線段BE及折痕EF的長嗎？矩形中的折疊問題3、在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別落在x