高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型及其應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型及其應(yīng)用第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1．三種函數(shù)模型之間增長(zhǎng)速度的比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性_______________________________________增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)大小比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有______________單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增logax＜xn＜ax第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1．函數(shù)y＝x2與y＝2x在(0，＋∞)上函數(shù)值是如何變化的？【提示】

當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，2x＞x2，當(dāng)x∈(2，4)時(shí)，x2＞2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，2x＞x2.2．直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)各有什么特點(diǎn)？【提示】

直線上升，勻速增長(zhǎng)；指數(shù)增長(zhǎng)，先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，可用“指數(shù)爆炸”形容；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)；先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢．第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1．(人教A版教材習(xí)題改編)一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的(

)第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二【解析】

由題意知h＝20－5t，故選B.【答案】

B第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2．?dāng)M定甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)f(m)＝0.5×[m]＋1(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)(如[3.62]＝3，[4]＝4)，當(dāng)m∈[0.5，3.2]時(shí)，函數(shù)f(m)的值域是(

)A．{1，2，3，4}

B．{1，1.5，2，2.5}C．{1，1.5，2.5，3} D．{1.5，2，2.5}【解析】當(dāng)m∈[0.5，3.2]時(shí)，[m]所有可能值為0，1，2，3共四個(gè)，故f(m)的值域?yàn)閧1，1.5，2，2.5}．【答案】

B第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二【答案】

B第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4．某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是________．【解析】

已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和為y＝a(1＋r)3，…x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N.【答案】

y＝a(1＋r)x，x∈N第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二5．(2013·武漢模擬)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中．測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為_(kāi)_______級(jí)，9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的________倍．第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二【答案】

6

10000第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二【審題視點(diǎn)】

計(jì)算實(shí)施規(guī)劃前后10年總利潤(rùn)，通過(guò)比較可知該規(guī)劃方案是否具有實(shí)施價(jià)值．第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1．本題在求規(guī)劃實(shí)施前最大利潤(rùn)時(shí)，易忽視二次函數(shù)的特性，直接把x＝60代入求解，造成錯(cuò)誤答案．2．(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)．(2)解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問(wèn)題．第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖2－9－1(1)；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2－9－1(2)(注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元)．第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？②問(wèn)：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二 已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)如果m＝2，求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】

(1)解關(guān)于2t的一元二次方程求解．(2)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解．第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1．解答本題的關(guān)鍵是把所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程或二次函數(shù)問(wèn)題求解．2．(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)表示．(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，先設(shè)定模型將有關(guān)已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算驗(yàn)證，確定參數(shù)．第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二 (2013·杭州模擬)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí))【思路點(diǎn)撥】

(1)當(dāng)20≤x≤200時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法求v(x)的解析式，進(jìn)而確定當(dāng)0≤x≤200時(shí)，分段函數(shù)v(x)．(2)根據(jù)(1)求出f(x)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值．第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1．理解題意，由待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出v(x)，是求解本題的關(guān)鍵．要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點(diǎn)值．2．實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車(chē)票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二(1)從藥物釋放開(kāi)始，求每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)多少個(gè)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室？第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二特別關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二解決實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)；(2)建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；(3)解模：用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問(wèn)題；(4)還原：回到題目本身，檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，給出結(jié)論．第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二從近兩年高考試題看，對(duì)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的考查，更多地以社會(huì)實(shí)際生活為背景，設(shè)問(wèn)新穎，靈活；題型以解答題為主，難度中等偏上，常與基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二規(guī)范解答之二函數(shù)建模在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用) (14分)(2012·江蘇高考)如圖2－9－3，建第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二(1)求炮的最大射程．(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由．第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二【解題程序】第一步：根據(jù)題意建立方程，確定x、k的范圍；第二步：建立炮的射程的函數(shù)模型，并求最大值；第三步：把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題；第四步：把方程有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有正根問(wèn)題；第五步：列不等式求解，用數(shù)學(xué)結(jié)果回答實(shí)際問(wèn)題．

第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二易錯(cuò)提示：(1)未讀懂題意，不能建立x與k的函數(shù)關(guān)系．(2)不能把炮彈擊中目標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程有正根問(wèn)題．(3)不能正確列不等式求解．防范措施：(1)求解函數(shù)實(shí)際問(wèn)題，審題是關(guān)鍵，要弄清相關(guān)“名詞”準(zhǔn)確尋求各量之間的關(guān)系．(2)在求解過(guò)程中應(yīng)分清變量之間的辨證關(guān)系，結(jié)合所求，合理轉(zhuǎn)化．第四十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二(3)根據(jù)一元二次方程列不等式(組)時(shí)，首先判斷兩根之和與兩根之積的正負(fù)，根據(jù)它們的正負(fù)確定如何列不等式(組)．第四十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1．(2013·宜春模擬)某市原來(lái)居民用電價(jià)為0.52元/kw·h，換裝分時(shí)電表后，峰時(shí)段(早上8點(diǎn)到晚上9點(diǎn))的電價(jià)0.55元/kw·h，谷時(shí)段(晚上9點(diǎn)到次日早上8點(diǎn))的電價(jià)為0.35/kw·h，對(duì)于一個(gè)平均每月用電量為200kw·h的家庭，換裝分時(shí)電表后，每月節(jié)省的電費(fèi)不少于原來(lái)電費(fèi)的10%，則這個(gè)家庭每月在峰時(shí)段的平均用電量至多為(

)A．110kw·h

B．114kw·hC．118kw·h

D．120kw·h第四十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二【解析】

設(shè)在峰時(shí)段的平均用電量為xkw·h，由題意知0.52×200－[0.55x＋0.35(200