高中數(shù)學空間中的垂直關系

高中數(shù)學空間中的垂直關系第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二2014高考導航考綱展示備考指南1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線、面垂直的有關性質與判定定理．2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形垂直關系的簡單命題.1.垂直關系的判斷多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，主要考查對概念、公理、定理、性質、結論的理解及運用，往往與命題及平行關系綜合在一起考查，難度較小．2.線面垂直、面面垂直的證明及運算常以解答題的形式出現(xiàn)，且常與平行關系綜合命題，難度中等.第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二本節(jié)目錄教材回顧夯實雙基考點探究

講練互動名師講壇精彩呈現(xiàn)知能演練輕松闖關第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二教材回顧夯實雙基1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面α內的________直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．任何第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二(2)直線與平面垂直的判定定理及推論文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的_________都垂直，則該直線與此平面垂直相交直線l⊥al⊥ba∩b＝Oa?α，b?α第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二(2)直線與平面垂直的判定定理及推論文字語言圖形語言符號語言推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也_____這個平面垂直a∥ba⊥α第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二(3)直線與平面垂直的性質定理文字語言圖形語言符號語言性質定理垂直于同一個平面的兩條直線_________平行a⊥αb⊥α第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的________，則這兩個平面垂直垂線l⊥αl?β第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二(2)平面與平面垂直的性質定理文字語言圖形語言符號語言性質定理兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于______的直線垂直于另一個平面交線α⊥βl?βl⊥aα∩β＝a第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二3．線面角和二面角的概念(1)直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角．當直線與平面垂直和平行(含直線在平面內)時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二(2)二面角的有關概念①二面角：從一條直線出發(fā)的_____________所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作_____________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．兩個半平面垂直于棱第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二課前熱身1.如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關系是(

)A．平行B．垂直但不相交C．異面D．相交但不垂直答案：B第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二2．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是(

)A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若m⊥β，m∥α，則α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β答案：B第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二3．(教材習題改編)△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個數(shù)是__________．答案：4第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二4．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)當滿足條件________時，有m∥β；(2)當滿足條件________時，有m⊥β.(填所選條件的序號)答案：(1)③⑤

(2)②⑤第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二考點探究講練互動例1第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二【解】

(1)證明：由于AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，故AB⊥PH.∵PH為△PAD中AD邊上的高，故AD⊥PH.∵AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD.第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二(3)證明：如圖，過E作EG∥AB交PA于G，連接DG.∵E為PB的中點，∴G為PA的中點．∵DA＝DP，故△DPA為等腰三角形，∴DG⊥PA.第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二【名師點評】

(1)在證明垂直關系時，要注意線面垂直與面面垂直間的相互轉化，同時要注意通過作輔助線進行這種轉化．(2)解答與垂直有關的問題時要重視對圖形的觀察與分析，從中找到線線垂直往往是解題的關鍵，因為所有的垂直問題都可轉化為線線垂直來處理．第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二跟蹤訓練第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二證明：(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二例2第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二【證明】

(1)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1.第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二【名師點評】證明面面垂直時一般先證線面垂直，確定這條直線時可從圖中現(xiàn)有的直線中去尋找，若圖中不存在這樣的直線，則應通過添加輔助線來構造．第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二跟蹤訓練2.(2011·高考江蘇卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二證明：(1)如圖，在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD.又因為EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二(2)連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二例3第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二【解】

(1)證明：因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DE∥BC.又因為DE?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因為A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二(3)線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，連接PQ，QE，PD，則PQ∥BC.因為DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ.第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二【名師點評】解答立體幾何綜合題時，要學會識圖、用圖與作圖．圖在解題中起著非常重要的作用，空間平行、垂直關系的證明，都與幾何體的結構特征相結合，準確識圖，靈活利用幾何體的結構特征找出平面圖形中的線線的平行與垂直關系是證明的關鍵．第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二2．證明線線垂直的方法(1)定義：兩條直線所成的角為90°；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質：a⊥α，b?α?a⊥b；(4)線面垂直的性質：a⊥α，b∥α?a⊥b.3．證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二4.垂直關系的轉化在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．如有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉化條件是解決這類問題的關鍵．第三十八頁，共四十一頁，編