安徽中考數(shù)學壓軸題分析

近幾年安徽省中考數(shù)學壓軸題分類探析合肥45中金效奇數(shù)學壓軸題是指在一套數(shù)學試卷中涉及到的數(shù)學知識點較多，結(jié)構(gòu)復雜，題型新穎，解法沒有固定模式，難度較大，對同學們的解題技能、技巧有較高的要求且分值較高排在試卷最后面的題。

一般試卷中的壓軸題常以綜合題的形式出現(xiàn)，常常循序漸進地設計成幾道小題目.要順利解答壓軸題，除了基礎知識要扎實之外，審題也很關(guān)鍵.搞清題目的類型，理清題目中的知識點，分清條件和結(jié)論，注意關(guān)鍵語句找出關(guān)鍵條件，特別要挖掘隱含條件，并盡量根據(jù)題意列出相關(guān)的數(shù)式或畫出示意圖形，然后分析條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而找到正確合理的解題途徑.將復雜問題分解或轉(zhuǎn)化成較為簡單或者熟悉的問題則是解此類題目的一條重要原則。近幾年來，隨著中考改革的進行，許多應用型的中考壓軸題在不斷的涌現(xiàn)，壓軸題的類型也在不斷的變化，本文力求從中考知識點和數(shù)學思想的角度對近幾年來安徽省中考數(shù)學壓軸題進行分類，找出其中的共性，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，為2010年及以后的中考探明方向。1、二次函數(shù)題仍是“熱點”二次函數(shù)作為初中數(shù)學的一個難點也是歷年來中考的熱點，是初中數(shù)學與高中數(shù)學銜接最緊密的地方。但是近年來由于對二次函數(shù)題類型與深度的挖掘，二次函數(shù)題的“新”與“深”受到了限制，不過安徽省中考題還有非常美好的一面。例1、（2004年）某企業(yè)投資100萬元引進一條農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)線，若不計維修、保養(yǎng)費用，預計投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬元．該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費用累計為y(萬元)，且y=ax2+bx，若第1年的維修、保養(yǎng)費為2萬元，第2年的為4萬元．(1)求y的解析式；(2)投產(chǎn)后，這個企業(yè)在第幾年就能收回投資?解：(1)由題意，x=1時，y=2；x=2時，y=6．分別代入y=ax2+bx，解得：a=1、b=1．y=x2+x(2)，設g=33x-100-x2-x，則g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156由于當1≤x≤l6時，g隨x的增大而增大．且當x=1，2，3時，g的值均小于O，當x=4時，g=-122+156>0，可知投產(chǎn)后該企業(yè)在第4年就能收回投資。此題作為壓軸題，關(guān)鍵考查學生對應用題的審題能力，當年,這個題的錯誤率相當高，因為大家對“費用累計”這個概念不清楚，把x=2時，y=4代入，從而導致結(jié)果錯誤。例2、（2007年）按右下圖所示的流程，輸入一個數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個要求：（Ⅰ）新數(shù)據(jù)都在60～100（含60和100）之間；（Ⅱ）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對應的新數(shù)據(jù)也較大。（1）、若y與x的關(guān)系是y＝x＋p(100－x)，請說明：當p＝時，這種變換滿足上述兩個要求；（2）若按關(guān)系式y(tǒng)=a(x－h(huán))2＋k(a>0)將數(shù)據(jù)進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關(guān)系式。解：（1）略，（2）本題是開放性問題，答案不唯一。若所給出的關(guān)系式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時，y的對應值m，n能落在60～100之間，則這樣的關(guān)系式都符合要求。如取h=20,y=,∵a＞0，∴當20≤x≤100時，y隨著x的增大令x=20,y=60，得k=60①令x=100,y=100，得a×802＋k=100②由①②解得，∴。04年和07年二次函數(shù)的考題中可看出，從復雜的應用到自變量的取值范圍的逆向考查，方向發(fā)生了很大的變化。應用題的類型在全國各省市中考題中已經(jīng)貫穿到位，那么，如何讓二次函數(shù)題有深度有新意，07年的壓軸題是二次函數(shù)命題的巔峰之作。它提示我們復習二次函數(shù)知識時要與高中知識聯(lián)系在一塊，努力挖掘新的東西。2、分段函數(shù)題“異軍突起”分段函數(shù)是初中數(shù)學里一個非常重要的內(nèi)容，也是函數(shù)部分與高中數(shù)學聯(lián)系最緊密的地方，它的命題范圍有一次函數(shù)的基礎也有二次函數(shù)的內(nèi)容，因此，無論從命題還是從考試的角度它能考查的知識點還是有深度的。當然，它成為這兩年中考的熱點。例3、（2008年）剛回營地的兩個搶險分隊又接到救災命令：一分隊立即出發(fā)往30千米的A鎮(zhèn)；二分隊因疲勞可在營地休息a（0≤a≤3）小時再往A鎮(zhèn)參加救災。一分隊出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在離營地10千米處發(fā)生塌方，塌方地形復雜，必須由一分隊用1小時打通道路，已知一分隊的行進速度為5千米/時，二分隊的行進速度為（4＋a）千米/時。⑴若二分隊在營地不休息，問二分隊幾小時能趕到A鎮(zhèn)？⑵若二分隊和一分隊同時趕到A鎮(zhèn)，二分隊應在營地休息幾小時？⑶下列圖象中，①②分別描述一分隊和二分隊離A鎮(zhèn)的距離y(千米)和時間x(小時)的函數(shù)關(guān)系，請寫出你認為所有可能合理的代號，并說明它們的實際意義。可以說06年的壓軸題也是當年各地中考題的經(jīng)典之作，此后各地中考新定義試題不斷的涌現(xiàn)。4、“概率題”首次出現(xiàn)在壓軸題中例7、（2005年試驗區(qū)）兩人襖去某風景區(qū)游玩,每天某一時段開往該風景區(qū)有三輛汽車(票價相同),但是他們不知道這些車的舒適程度,也不知道汽車開過來的順序.兩人采用了不同的乘車方案:甲無論如何總是上開來的第一輛車.而乙則是先觀察后上車,當?shù)谝惠v車開來時,他不上車,而是子癇觀察車的舒適狀況,如果第二輛車的舒適程度比第一輛好,他就上第二輛車;如果第二輛車不比第一輛好,他就上第三輛車.如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等,請嘗試著解決下面的問題:(1)三輛車按出現(xiàn)的先后順序工有哪幾種不同的可能?(2)你認為甲、乙采用的方案,哪一種方案使自己乘上等車的可能性大?為什么?解：(1)三輛車開來的先后順序有6種可能：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中).(2)由于不知道任何信息，所以只能假定6種順序出現(xiàn)的可能性相同.我們來研究在各種可能性的順序之下，甲、乙二人分別會上哪一輛汽車：于是不難得出，甲乘上、中、下三輛車的概率都是；而乙乘上等車的概率是，乘中等車的概率是，乘下等車的概率是.∴乙采取的方案乘坐上等車的可能性大.把概率問題作為壓軸題可以說是安徽省中考題的特色，當年正因為是試驗區(qū)第一次大考，所以題目的難度不是很大。5、有關(guān)“圓”的問題“沉寂多年”“圓”作為初中階段內(nèi)容比例較大的部分，因為難度較大，曾經(jīng)作為考試的重點，但是為了考慮到學生的負擔最近幾年沒有了，但是2002年的經(jīng)典壓軸題仍使我們記憶猶新。例8、（2002年）某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；乙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形，如圖一，△ABC是正三角形，＝＝，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；丙同學：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形，我想，邊數(shù)是7時，它可能也是正多邊形．請你說明乙同學構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．（2）請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（如圖二）是正七邊形（不必寫已知、求證）．根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想（不必證明）．（圖一）（圖二）解：（1）由圖知∠AFC對．因為＝，而∠DAF對的＝＋＝＋＝所以∠AFC＝∠DAF．同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖一六邊形各內(nèi)角相等．（2）因為∠A對，∠B對，又因為∠A＝∠B，所以＝，所以＝．同理＝＝＝＝＝＝．所以七邊形ABCDEFG是正七邊形．（3）猜想：當邊數(shù)是奇數(shù)時（或當邊數(shù)3，5，7，9，……時），各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．此題以考查正多邊形的概念為基礎，在兩個基本問題的基礎上，探索了“邊是奇數(shù)時，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”，這一非常重要的結(jié)論，其實，難度不大，考查了生分析問題解決問題的能力，富有新意。6、從分類中看以后的中考壓軸題因為09年的中考題比較難，所以10年的中考題從總體難度上肯定要小一些，但是壓軸題是不是一定在難度上小一些？我認為不一定。一份中考試卷有它的梯度，可以從其它題中降低難度，壓軸題所考查的知識和難度是其它題不可替代的?？v觀這八年的中考壓軸題，我們可以有一些想法：（1）、要關(guān)注與高中知識接軌的部分。無論是二次函數(shù)的應用還是分段函數(shù)，從命題的方向上說逐漸向高中知識轉(zhuǎn)化。其實，這有兩個方面的原因，其一、二次函數(shù)的應用題已經(jīng)挖掘到位，從難度上還是會走老路子——數(shù)學競賽題，但是很多類型都已經(jīng)考過了，命題沒有新意。其二、命題者基本上是高中數(shù)學的專家，他們熟悉高中知識，把很多高中知識聯(lián)系子一起是很自然的事，如對分段函數(shù)的考查就是如此。（2）、要關(guān)注初等數(shù)學研究的知識。構(gòu)造的數(shù)學思想在壓軸題中仍有著很大的應用空間，而要從整個初中數(shù)學中構(gòu)造出有一定深度的中考題，只有對初等數(shù)學有過研究的人才能駕馭得了。因此，作為一線的教育工作者只有苦心鉆研，多關(guān)注一些熱點的概念，或者通過構(gòu)造一些概念設置一些問題來訓練學生的思維能力才能在解構(gòu)造類的數(shù)學壓軸題中取勝。（3）、要關(guān)注有關(guān)“圓”的問題。圓的大題雖沉寂多年，但是由于圓在整過初中數(shù)學中占有的課時是非常多的，九年級時間很緊張，學生花了那么多時間學習的知識如不在中考中得到體現(xiàn)，將是