數(shù)學(xué)思維方法課件

數(shù)學(xué)思維方法（一）數(shù)學(xué)思維的概述（二）數(shù)學(xué)思維的特性（三）數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)與分類一、思維與數(shù)學(xué)思維（四）數(shù)學(xué)思維的分類（一）數(shù)學(xué)思維的概述1、思維的概念思維—人腦對(duì)客觀事物進(jìn)行的間接的、概括的反映（1）認(rèn)識(shí)低級(jí)階段：感覺、知覺：（2）認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段：思維討論:什麼叫感覺?什麼叫知覺?客觀事物都具有一定的屬性,如顏色、聲音、味道、氣味、溫度、軟硬等，當(dāng)事物的這些個(gè)別屬性作用于人的感覺器官，大腦就產(chǎn)生對(duì)它的反映。這種由人腦對(duì)直接作用于感覺器官的客觀事實(shí)個(gè)別屬性的反映就是感覺。感覺是人腦反映現(xiàn)實(shí)的最簡單的心理過程

如果人腦對(duì)直接作用于感覺器官的客觀事物以整體來反映，就是知覺。知覺是比感覺復(fù)雜的心理過程

2、數(shù)學(xué)思維人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)字內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)。情感外部材料內(nèi)部材料思維加工思維結(jié)果例如：動(dòng)物園里有10只綠孔雀、藍(lán)孔雀比綠孔雀多5只，藍(lán)孔雀有多少只？思維過程是什麼？思維結(jié)果是什麼？1、數(shù)學(xué)思維具有間接性思維的間接性表現(xiàn)為人能借助于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，來理解和認(rèn)識(shí)另一些沒有被直接感知或不可能被直接感知的事物，事物間的關(guān)系及事物發(fā)展的進(jìn)程。（二）數(shù)學(xué)思維的特性2、數(shù)學(xué)思維具有概括性思維的概括性表現(xiàn)為思維反映的是一類事物所具有的共性，反映的是事物之間普遍的必然聯(lián)系。概括水平是衡量數(shù)學(xué)思維水平的重要標(biāo)志之一3、數(shù)學(xué)思維具有問題性4、數(shù)學(xué)思維具有簡煉性數(shù)學(xué)思維的問題性是與數(shù)學(xué)知識(shí)的問題性相聯(lián)結(jié)的。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：定理、證明、概念、定義、理論、公式、方法中的任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)的心臟，只有問題是數(shù)學(xué)的心臟。由于數(shù)學(xué)思維就是解決數(shù)學(xué)問題的心智活動(dòng)，數(shù)學(xué)思維總是指向問題的變換，表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題。因此問題性是是數(shù)學(xué)思維目的性的體現(xiàn)，解決問題的活動(dòng)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的中心。而重視問題的分析、解決、應(yīng)用、推廣是數(shù)學(xué)思維問題性的精髓。（三）數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)思維內(nèi)容數(shù)學(xué)思維的方法數(shù)學(xué)思維的基本形式數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)1、數(shù)學(xué)思維內(nèi)容:（1）、數(shù)學(xué)思維的材料和結(jié)果數(shù)學(xué)思維的材料現(xiàn)實(shí)世界中存在的數(shù)量關(guān)系、空間形式學(xué)生已有的數(shù)字知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的結(jié)果外部的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與心智技能技能分為外部操作技能內(nèi)部操作技能心智活動(dòng)技能是借助于內(nèi)部語言進(jìn)行的認(rèn)知活動(dòng),包括感知、記憶、思維、想象、思維是主要的活動(dòng)成分。（2）、數(shù)學(xué)思維的方法（又稱操作手段）觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、綜合、比較、分類、抽象、概括、歸納、演繹、類比、聯(lián)想邏輯思維概念、判斷、推理

形象思維表象、直覺、想象

直覺思維直覺、靈感

（3）、數(shù)學(xué)思維的基本形式觀察——對(duì)事物或問題的數(shù)學(xué)特征通過視覺獲取信息，運(yùn)用思維辨認(rèn)其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些數(shù)學(xué)規(guī)律和性質(zhì)的方法。一般按照整體——部分——整體的序列展開再解決數(shù)學(xué)問題的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生善于變換不同的觀察角度，結(jié)合想象抓住問題的特征，形成數(shù)學(xué)直感或產(chǎn)生直覺以解決問題。直感——運(yùn)用表象對(duì)具體形象的直接識(shí)別和感知。直覺——對(duì)某些對(duì)象的直接領(lǐng)悟或洞察的思維形式實(shí)驗(yàn)——根據(jù)所研究問題的需要，按照研究對(duì)象的自然狀態(tài)和客觀規(guī)律，認(rèn)為地設(shè)置條件，使所希望的想象產(chǎn)生或?qū)ζ溥M(jìn)行控制的科學(xué)方法，是數(shù)學(xué)思維的一種間接的、基本的方法觀察常用實(shí)驗(yàn)作基礎(chǔ)，同時(shí)實(shí)驗(yàn)又可使得到的性質(zhì)或規(guī)律得以重現(xiàn)或驗(yàn)證。例如，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)，通過直觀操作或演示后，得出一組例證

……1、整體觀察，發(fā)現(xiàn)這幾組分?jǐn)?shù)的分子、分母都起了變化，而分?jǐn)?shù)的大小不變2、部分觀察，對(duì)每一個(gè)式子，從左往右觀察，討論：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母怎樣變化？分?jǐn)?shù)的大小怎么樣？再引導(dǎo)學(xué)生從右往左觀察。3、整體觀察，從整體上再觀察幾組式子，概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)例如，教學(xué)分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)，可以借助圖形分割的實(shí)驗(yàn)來分析積的分子、分母與兩個(gè)因數(shù)的分子、分母之間的關(guān)系（1）14、數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì):

衡量數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平的重要標(biāo)志，包括數(shù)學(xué)思維的廣闊性、深刻性、靈活性、敏捷性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性。

同學(xué)們答題,第一組每小時(shí)答15題,第二組每小時(shí)答13題,4小時(shí)后,第二組比第一組少答幾題?在以上解題中,思維內(nèi)容、思維基本形式、思維方法、思維品質(zhì)各體現(xiàn)在哪里？數(shù)學(xué)思維可按不同的特征分類，例如：

（1）根據(jù)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的總體規(guī)律可分為邏輯思維、形象思維、

（四）數(shù)學(xué)思維的分類（2）根據(jù)數(shù)學(xué)思維的指向可分為集中思維、發(fā)散思維。（3）根據(jù)數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)可分為再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維。二、數(shù)學(xué)思維的一般方法學(xué)生在數(shù)學(xué)思維過程中運(yùn)用的、可操作的方法（一）分析與綜合分析：把研究的對(duì)象分解為各個(gè)部分、方面或要素并分別加以考察的一種思維方法側(cè)重：探索性、發(fā)現(xiàn)性在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用分析的思維方法表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：（1）獲取數(shù)學(xué)知識(shí)過程中應(yīng)用分析的方法練習(xí)1：某學(xué)校有25個(gè)班，每個(gè)班種5棵樹苗，購買樹苗花了1250元，每棵樹苗多少元？練習(xí)2：甲庫存糧108噸，乙?guī)齑婕Z140噸，要使甲庫存糧是乙?guī)斓?倍，必須從乙?guī)爝\(yùn)出多少噸放入甲庫？練習(xí)3：某電視機(jī)廠一、二月份共生產(chǎn)電視機(jī)400臺(tái)，二月份生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)比一月份生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的5倍還少68臺(tái)，兩個(gè)月各生產(chǎn)多少臺(tái)？練習(xí)4：甲、乙、丙三數(shù)之和為1160，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙各是多少？綜合：學(xué)生在頭腦中把要研究事物的各個(gè)部分、方面或要素聯(lián)合成整體進(jìn)行考察的思維方法例如：練習(xí)1中，通過分析可列出式子1250÷（25×5）或：1250÷25÷5＝1250÷125＝50÷5＝10＝10練習(xí)2中，通過分析，列出式子（108+140）÷（1+3）=62練習(xí)3中，列出式子（400+68）÷（1+5）=78練習(xí)4：1160÷（1+2+1）=290分析與綜合的關(guān)系：（1）分析與綜合是統(tǒng)一在具體思考問題的過程中。分析是綜合的基礎(chǔ)，綜合是分析的合成，分析的目的是綜合。（2）分析與綜合互相補(bǔ)充如果思維只限于分析，那麼只能獲得一些事物的枝節(jié)，不可能在思維中再現(xiàn)具體的整體。如果思維只限于綜合，那麼只能對(duì)事物有一個(gè)表面的、籠統(tǒng)的印象，不能揭示其內(nèi)部關(guān)系和規(guī)律。因此必須將兩種思維方法聯(lián)合應(yīng)用，才能有效地認(rèn)識(shí)問題、解決問題。例如：解應(yīng)用題時(shí)（1）讀題，弄清條件與問題，對(duì)應(yīng)用題有粗略的整體了解——初步的綜合思維（2）研究已知數(shù)量與未知數(shù)量之間的關(guān)系——分析思維（3）思考先算什麼，再算什麼——綜合思維例如：要建立長方形的概念例如：長方形和正方形有什麼相同和不同的地方？小明有5本書，小王比小明多2本，小王有幾本書？小明有5本書，比小王多2本，小王有幾本書？學(xué)生在數(shù)學(xué)思維過程中，使用比較的方法具體表現(xiàn)在：（1）異中求同比較：（二）比較與分類比較：確定有關(guān)事物共同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法學(xué)生通過觀察，比較黑板的表面、課桌的表面、書本的表面等，發(fā)現(xiàn)它們表面的顏色不同，大小不同，但都有共同的形狀，于是初步認(rèn)識(shí)了長方形1、比較這幾道題是怎樣列豎式的，得出“小數(shù)點(diǎn)要對(duì)齊”2、通過觀看教師怎樣計(jì)算沒有小數(shù)點(diǎn)的整數(shù)加減得出都“按整數(shù)加減法則計(jì)算”3、再比較這幾個(gè)例題答數(shù)中小數(shù)點(diǎn)怎樣處理，得出都“和橫線上的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”于是歸納出小數(shù)加減法法則：計(jì)算小數(shù)加、減法，先把各數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，（也就是把相同數(shù)位上的數(shù)位對(duì)齊），再按照整數(shù)加減法的法則進(jìn)行計(jì)算，最后在得數(shù)里對(duì)齊橫線上的小數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。例如：雞兔問題：今籠中有雞兔若干只，共頭有35個(gè)，腳94個(gè)，問雞、兔各多少只？分析：假設(shè)35只都是兔，則應(yīng)有腳35×4＝140（只）比實(shí)際多了140－94＝46（只）如果拿一只雞換一只兔，那麼會(huì)減少2只腳，所以雞有46÷2＝23（只）兔有35－23＝12（只）大筐能裝橘子19斤，小筐能裝橘子11斤，某水果攤進(jìn)了16筐橘子，總共有300斤，問這兩種裝法的橘子各進(jìn)了多少筐？某年級(jí)原有學(xué)生325人，新學(xué)年男生增加25人，女生減少5%，總?cè)藬?shù)增加16人，那麼現(xiàn)在男生有多少人？（2）同中辯異比較作用：主要是確認(rèn)表面上相似的對(duì)象之間所存在的差異點(diǎn)，例如：圓的周長與圓的面積數(shù)位與位數(shù)整除與除盡質(zhì)數(shù)與奇數(shù)小明有5本書，小王比小明多2本，小王有幾本書？小明有5本書，比小王多2本，小王有幾本書？（3）同異綜合比較——既確定幾個(gè)對(duì)象之間的相同點(diǎn)，又確認(rèn)它們之間的相異點(diǎn)作用：可以發(fā)現(xiàn)對(duì)象之間的“異中之同”和“同中之異”，以便較為全面和深刻地研究對(duì)象之間的相互聯(lián)系和區(qū)別。例如：比較長方形和正方形a÷b

可寫成也可以寫成a：b可以讀作：a除已b、b分之a(chǎn)、a比b區(qū)別：運(yùn)算、一個(gè)數(shù)、兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系相同之處：都有四條邊，四個(gè)角都是直角不同之處：長方形一般鄰邊可能不相等，正方形四條邊相等。例如：除法、分?jǐn)?shù)、比（4）擇優(yōu)比較——對(duì)比較對(duì)象作出最優(yōu)或有利的選擇比較作用：幫助學(xué)生對(duì)解決問題的途徑、方法、結(jié)果作出評(píng)價(jià)，提高解題水平例如：計(jì)算乘數(shù)中間有零的乘法例如一個(gè)正方形花壇四周鋪有一條3米寬的水泥路，已知路面面積（陰影部分）為276平方米，求正方形花壇周長44評(píng)價(jià)：比較上面兩種解法，若從計(jì)算的簡、繁為評(píng)價(jià)，則兩者基本上沒有繁、簡之分，但如果將花壇形狀推廣到一般長方形，只要其他條件不變，解法二仍可應(yīng)用，但解法一不具有這種一般性，可見，重視解題后的擇優(yōu)比較，對(duì)活躍思路，提高能力是很有好處的。比較要注意兩點(diǎn)：1、同類對(duì)象可以比較，不同類對(duì)象則看比較結(jié)果有沒有實(shí)際意義2、比較要有明確的標(biāo)準(zhǔn)分類——是以比較為基礎(chǔ)，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對(duì)象歸入一類。不同性質(zhì)的對(duì)象歸入不同類別的思維方法作用：更好地揭示事物的本質(zhì)，并將事物整理成不同等級(jí)的多層次系統(tǒng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展。什麼叫數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)？數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生頭腦中按照他自己理解的深度、廣度，并結(jié)合他個(gè)人感知、思維、聯(lián)想的特點(diǎn)，組合成的心理結(jié)構(gòu)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維過程中應(yīng)用分類的方法主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）概念形成過程中和形成概念后的分類作用：為了建立清晰的該年或弄清概念之間的聯(lián)系或區(qū)別如：學(xué)習(xí)方程的概念:先出示一組式子3+x=53×2=63x=124－x36÷x=96×54+6=10由學(xué)生觀察、比較可分兩類：

1、（有等號(hào)）3+x=53×2=63x=1236÷x=94+6=102、（沒有等號(hào)）4－x6×5再觀察（1）又可分為兩類：

3+x=53x=1236÷x=9和3×2=64+6=10（2）方法的整理分類作用：使解決問題條理化，提高靈活解決數(shù)學(xué)問題的能力。例如：雞兔同籠的問題，可以用幾種方法解？（3）解題中的分域討論分類作用：提高學(xué)生解題的條理性和正確率例如：判斷“凡質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”的正確或錯(cuò)誤例如：兩根同樣長的繩子，第一根截去米，第二根截去它的，剩下的繩子哪一根長？設(shè)繩子的長為a米,則a的取值有三種情況:當(dāng)a=1米,截去a的就是截去米,所以兩根繩子剩下的長度相等當(dāng)a＞1米時(shí),a＞米,第二根截去的比第一根長,所以第二根剩下的就比第一根剩下的短.當(dāng)a＜1米時(shí),a＜米,第二根截去的比第一根短,所以第二根剩下的就比第一根剩下的長.（三）抽象與概括抽象——從復(fù)雜的事物中，抽取一些事物的本質(zhì)屬性，而舍棄非本質(zhì)屬性的思維方法。數(shù)學(xué)的抽象-----從研究對(duì)象或問題中抽取數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性進(jìn)行考察的思維方法1、原始抽象（表征性抽象）——通過對(duì)事物、現(xiàn)象或親身體驗(yàn)進(jìn)行抽象。特點(diǎn)：有實(shí)際的、可觀察的背景通過觀察張開的剪刀，觀察紅領(lǐng)巾的一角等，建立角的概念通過數(shù)10以內(nèi)物體的個(gè)數(shù)，形成10以內(nèi)數(shù)的概念通過買各種文具用品，獲得單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)的數(shù)量關(guān)系2、原理性抽象——在原始抽象的基礎(chǔ)上形成較高層次的抽象例如：3支鉛筆+4支鉛筆=7支鉛筆

3+4=7（原始抽象）

a+b=c（原理性抽象）通過買各種文具用品獲得：總價(jià)

=單價(jià)（一定）（原始抽象）數(shù)量（一定）（原理性抽象）數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)環(huán)節(jié)：分離、提純、簡略例如，認(rèn)識(shí)長方形，出示以下學(xué)具這些學(xué)具有紙做的、塑料做的、木板做的，有紅色、藍(lán)色、綠色，有大的、小的。還有各種不同安放的位置分離—舍去學(xué)具的物理、化學(xué)性質(zhì)，只注意到他們的形狀。提純—發(fā)現(xiàn)這些物體安放的位置不同，但有些物體形狀是相同的簡略——將形狀相同的物體表示為概括——把抽象出來的若干事物的共同屬性聯(lián)合起來并推廣到同一類事物上去的思維方法1、新的概念、性質(zhì)、法則、符號(hào)獲得的時(shí)候的概括例如：認(rèn)識(shí)圓：讓學(xué)生用生活中的方法畫圓，可以有以下多種畫法：用圓規(guī)在紙上畫用一只手畫，姆指不動(dòng)，最后的小指畫一圈將繩子一端固定在地上，握著另一端，拉緊繩子在地上轉(zhuǎn)一圈抽象出來的共同屬性1、都有固定的一點(diǎn)（圓心）2、都有一定的長度（半徑）3、都轉(zhuǎn)了一圈將上面三個(gè)共同屬性聯(lián)合起來，概括出“一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓”2、在解決問題時(shí)，先對(duì)一個(gè)具體問題或一個(gè)數(shù)學(xué)式子的形式結(jié)構(gòu)進(jìn)行抽象，然后擺脫問題或數(shù)學(xué)式子的實(shí)際數(shù)學(xué)內(nèi)容或具體內(nèi)容，而只留下辨認(rèn)問題或數(shù)學(xué)式子類型的標(biāo)志例如：兒童服裝廠要生產(chǎn)12000套服裝，原計(jì)劃每月生產(chǎn)1500套，實(shí)際每月多生產(chǎn)500套，這樣可提前幾個(gè)月完成任務(wù)？概括出解題的基本結(jié)構(gòu)：提前月數(shù)=原計(jì)劃月數(shù)－實(shí)際完成月數(shù)實(shí)際完成月數(shù)=計(jì)劃總數(shù)÷實(shí)際每月生產(chǎn)數(shù)例如：小明每小時(shí)做5朵紅花，3小時(shí)做幾朵？概括出：就是求3個(gè)5是多少全班40個(gè)同學(xué)，女同學(xué)占，女同學(xué)幾人？概括出：就是求40的是多少作用：通過這樣概括，表現(xiàn)在一種簡約的思維，使復(fù)雜的問題變得簡潔明了。3、為了在頭腦中將數(shù)學(xué)信息保持而進(jìn)行的概括性記憶

除法除不盡除盡整除概括的層次概括是有不同層次的，主要是受學(xué)生年齡的限制例如：同樣是分?jǐn)?shù)定義的概括象、、……等都是分?jǐn)?shù)（直觀形象概括）把一個(gè)物體平均分成幾份，這樣的一份就是幾份之一（具體形象概括）把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)（形象抽象概括）形如（a、b都是整數(shù)，且b≠0）的數(shù)叫分?jǐn)?shù)（本質(zhì)抽象概括）概括與綜合的關(guān)系概括——把不同事物的共同屬性加以聯(lián)合綜合——把同一事物的各部分、方面或要素加以聯(lián)合例如：認(rèn)識(shí)圓：用圓規(guī)在紙上畫用一只手畫，姆指不動(dòng)，最后的小指畫一圈將繩子一端固定在地上，握著另一端，拉緊繩子在地上轉(zhuǎn)一圈，這三個(gè)事物抽象出來的共同屬性1、都有固定的一點(diǎn)（圓心）2、都有一定的長度（半徑）3、都轉(zhuǎn)了一圈概括為：“一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓”例如：443將組合圖形分解為兩個(gè)簡單圖形分別計(jì)算面積后，再將兩個(gè)圖形面積合并起來得到組合圖形面積(綜合)求組合圖形面積（一個(gè)事物）學(xué)習(xí)方程的概念:先出示一組式子3+x=53×2=63x=124－x36÷x=96×5由學(xué)生觀察、比較得出：含有未知數(shù)的等式叫方程（概括）某列火車通過360米的第一個(gè)隧道用了24秒，接著通過第二個(gè)隧道用了16秒，求這一列火車的長度？分析（1）火車通過第一個(gè)隧道比通過第二個(gè)隧道多用了8秒，而第一個(gè)隧道比第二個(gè)隧道多360－216=144（米），就是火車8秒走了144米，可求出火車速度，從而求出火車24秒所走路程。（2）火車24秒走的路程包括隧道長和車長，減去已知隧道長就是火車長。[（360－216）÷（24－16）]×24－360=72（米）（綜合）為什麼說抽象和概括水平是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)弱的重要標(biāo)志之一？在數(shù)學(xué)中，抽象是指從研究對(duì)象或問題中抽取數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性對(duì)其進(jìn)行考察的思維方法數(shù)學(xué)中的概念、定理、方法、符號(hào)等都是數(shù)學(xué)抽象或再抽象的結(jié)果。抽象性是數(shù)學(xué)科學(xué)本身的特點(diǎn)之一，因此抽象思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之一。而概括是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來進(jìn)行考察的思維方法。概括以抽象為基礎(chǔ)，是抽象的發(fā)展。抽象側(cè)重于分析、提煉。概括側(cè)重于總結(jié)、聯(lián)合。抽象度越高，則概括性越強(qiáng)。所以抽象與概括與其他數(shù)學(xué)思維方法比較，是更高一級(jí)的思維過程。通過抽象概括，使人們的認(rèn)識(shí)由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而認(rèn)識(shí)了事物的本質(zhì)規(guī)律。因此，抽象概括水平是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)弱的重要標(biāo)志之一。1、簡述教學(xué)過程2、說出本案例中所應(yīng)用的是什么思維方法3、論述歸納這種思維方法的原理和應(yīng)用4、特點(diǎn)、要注意的問題……5、總結(jié)1、簡述教學(xué)過程長方體體積的教學(xué)，教師根據(jù)學(xué)生已能由數(shù)長方體所含體積單位的多少數(shù)出長方體體積這一基礎(chǔ)，首先組織學(xué)生觀察出1立方厘米的正方體拼成的長方體，由數(shù)求出具體的三個(gè)長方體的體積每排個(gè)數(shù)排數(shù)層數(shù)體積

5115×1×1＝55415×4×1＝205435×4×3＝60得出：每排個(gè)數(shù)×層數(shù)＝總個(gè)數(shù)（體積）其次，組織學(xué)生操作，每人用12個(gè)1立方厘米的小正方體拼成長方體，并思考每排個(gè)數(shù)、排數(shù)、層數(shù)分別相當(dāng)于長方體的什么得到：12×1×1＝12（立方厘米）6×2×1＝12（立方厘米）4×3×1＝12（立方厘米）2×2×3＝12（立方厘米）得出：長方體體積=長×寬×高2、說出本案例中所應(yīng)用的是什么思維方法本案例中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算長方體體積公式的過程，是通過認(rèn)識(shí)具體的、個(gè)別的特例，從而發(fā)現(xiàn)了一般規(guī)律，這種思維方法就是歸納。3、論述歸納這種思維方法的原理和應(yīng)用（四）歸納和演繹歸納——通過對(duì)某類事物中的若干特殊情況的分析得出一般結(jié)論的思維方法在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：1、應(yīng)用不完全歸納法獲得有關(guān)結(jié)論由3×5=5×314×28=28×14105×17=17×105……歸納出：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變被除數(shù)2448120240480除數(shù)48204080商觀察：第2、3、4、5組同第一組比較，被除數(shù)和除數(shù)各有什麼變化？商有什麼變化？第4、3、2、1組同第5組比較，被除數(shù)和除數(shù)各有什麼變化？商有什麼變化？歸納出：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù)，商不變（商不變的性質(zhì)）不完全歸納法特點(diǎn)：（1）、帶有想象、猜測的成分，結(jié)論有時(shí)不可靠。但這種方法符合人類認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，更適合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，比較容易接受。（2）、因?yàn)椴煌耆珰w納法更在于猜測和發(fā)現(xiàn)，因此是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的一種基本方法。

2、應(yīng)用完全歸納法獲得結(jié)論三角形面積公式：用兩個(gè)完全相同的直角三角形可以拼成平行四邊形，用兩個(gè)完全相同的銳角三角形可以拼成平行四邊形，用兩個(gè)完全相同的鈍角三角形可以拼成平行四邊形，而平行四邊形的面積是底×高所以直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的面積都是底×高÷2因?yàn)槿切尉椭挥羞@三種，歸納出：“三角形的面積公式是底乘高的一半”4、總結(jié)：盡管由不完全歸納法得到的結(jié)論需要經(jīng)過嚴(yán)格論證才能確認(rèn)其正確性，但是這種方法主要意義在于其猜測和發(fā)現(xiàn)，它們都是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的一種基本方法，學(xué)習(xí)和掌握這種方法，不僅有助于今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)，而且可以為今后發(fā)現(xiàn)人類尚不知道的客觀世界的某些規(guī)律，在思想方法上打下基礎(chǔ)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須給予充分重視。演繹——由一般性較大的前提推出一般性較小的結(jié)論的思維方法在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用學(xué)過的概念、性質(zhì)、法則、公式來進(jìn)行計(jì)算、解應(yīng)用題或解決生活中各種數(shù)學(xué)問題就用到演繹法歸納和演繹的關(guān)系歸納側(cè)重探索性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力演繹側(cè)重求解、論證，訓(xùn)練學(xué)生解題的技能和技巧。（五）類比和聯(lián)想類比——根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法1、在獲取新知識(shí)過程中應(yīng)用類比例：學(xué)習(xí)：一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)要解決兩個(gè)問題：（1）一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義（2）如何計(jì)算一桶油重100千克，求3桶油、1.5桶油、桶油、桶油各重多少千克？分別列出式子：100×3，100×1.5,100×,100×因?yàn)樗鼈兌际浅朔ㄋ闶?前兩個(gè)分別表示100千克的3倍是多少,100千克的1.5倍是多少,于是可以類比得出后面兩個(gè)算式的意義:100×表示求100千克的倍是多少?100×表示求100千克的倍是多少?由于這里的幾倍的幾小于1,倍可以不寫,從而得出:100×就是求100的是多少,100×就是求100的是多少注意:類比的結(jié)果不一定正確,因?yàn)轭惐仁且环N推測,例如:由甲比乙多3,也就是乙比甲少3類比得出甲比乙多30%,也就是乙比甲少30%,聯(lián)想——由當(dāng)前感知或思考的事物，想到與其相關(guān)聯(lián)的另一個(gè)事物的思維方法如：學(xué)習(xí)平行線時(shí)，先聯(lián)想到鐵軌、黑板的對(duì)邊等；學(xué)習(xí)小數(shù)的加減，聯(lián)想到整數(shù)加減法，并實(shí)行遷移，小數(shù)加減法的意義：與整數(shù)加減法意義相同，都是把已知兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)（或已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)）的運(yùn)算小數(shù)加減計(jì)算法則：相同數(shù)位上的數(shù)對(duì)齊（小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊）再按整數(shù)加、減法的法則進(jìn)行計(jì)算，最后在得數(shù)里對(duì)齊橫線上的小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)如：學(xué)習(xí)100×的計(jì)算方法（1）聯(lián)想到算式的意義，是表示求100的是多少，也就是把100平均分成4份，取3份，于是轉(zhuǎn)化成100÷4×3（2）聯(lián)想到分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，于是轉(zhuǎn)化為×3（3）聯(lián)想到分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)的法則，得到

(4)比較100×與得到分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)的法則分?jǐn)?shù)乘整數(shù),用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,分母不變四、邏輯思維邏輯思維——以概念為基礎(chǔ)，以語言為載體，每前進(jìn)一步都有充分依據(jù)的思維。（一）邏輯思維的基本形式1、概念反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，是學(xué)生發(fā)展正確思維的基礎(chǔ)小學(xué)數(shù)學(xué)概念有以下三種形式（1）如：含有未知數(shù)的等式叫做方程公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（2）如：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)從三角形的頂點(diǎn)向?qū)叜嬕粭l垂線，頂點(diǎn)到垂足間的線段叫做三角形的高（3）如在數(shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、……叫做自然數(shù)像、、、……的數(shù)稱為分?jǐn)?shù)2、判斷對(duì)思維對(duì)象有所肯定或否定的思維形式如：加法是把兩個(gè)數(shù)合并成為一個(gè)數(shù)的運(yùn)算三角形內(nèi)角和等于180度5不是偶數(shù)1小時(shí)等于60分鐘17+25=427＞53、推理從一個(gè)已知的判斷推出另一個(gè)新的判斷的思維形式推理所依據(jù)的已知判斷稱為前提，推出的新判斷稱為結(jié)論如：1+6=6+118+5=5+18前提（已知判斷）

27+36=36+27……所以a+b=b+a

結(jié)論（新的判斷）因?yàn)殚L方形面積=長×寬（已知判斷）正方形是特殊的長方形所以正方形面積=邊長×邊長（新判斷）因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于除法里的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，而除法有商的不變性（已知判斷）所以分?jǐn)?shù)有類似的性質(zhì)——分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（新的判斷）如；用折紙的方法得到“三角形內(nèi)角和為

驗(yàn)證(1)因?yàn)殚L方形的四個(gè)角都是,其和為(已知判斷)(2)將一個(gè)長方形紙沿對(duì)角線剪成兩個(gè)直角三角形,每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和為(新判斷)(3)拿一個(gè)銳角三角形,從一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作高,把這個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形,根據(jù)前面的實(shí)驗(yàn)可知,這兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和都是,這兩個(gè)直角三角形的六個(gè)角的和是.因?yàn)槿切蔚母吆偷姿傻膬蓚€(gè)角都是直角,共,從而推得銳角三角形的內(nèi)角和為。（新判斷）（4）再用一個(gè)鈍角三角形作同樣的實(shí)驗(yàn)，得出鈍角三角形的內(nèi)角和也是。（新判斷）結(jié)論：由（2）、（3）、（4）得出三角形內(nèi)角和為

例題用網(wǎng)絡(luò)圖方法梳理出平面圖形之間的關(guān)系，是整理知識(shí)的有效途徑、方法，你從中知道了什么？有什么發(fā)現(xiàn)？（探究各種圖形之間的關(guān)系）長方形與正方形、平行四邊形、圓形的關(guān)系引出：正方形是特殊長方形平行四邊形、圓形通過形變面積不變轉(zhuǎn)化為長方形從而推導(dǎo)出它們的面積公式。（2）平行四邊形與三角形、梯形關(guān)系，兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形,兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形。剛才我們復(fù)習(xí)了面積的計(jì)算方法和計(jì)算方法是怎樣得到的，那麼這些圖形面積的計(jì)算方法是否有聯(lián)系呢？（探究計(jì)算方法的聯(lián)系）666666882488888610想一想：你發(fā)現(xiàn)了什么？這些圖形的面積計(jì)算方法存在著怎樣的聯(lián)系？利用媒體展示出動(dòng)態(tài)的過程，幫助學(xué)生總結(jié)：當(dāng)上底趨于0時(shí)，梯形就變成了三角形，三角形的面積計(jì)算可以理解為用上底是0代入梯形面積計(jì)算公式，當(dāng)上底與下底一樣時(shí)，梯形就變成平行四邊形。有一個(gè)正方形的面積是100平方米，在它的里面畫一個(gè)最大的園，這個(gè)原的面積是多少？（將100改成324、又改成800，怎樣算？一、如何搭建這一節(jié)課的框架？1、情境引入2、引導(dǎo)探索3、抽象概括3、鞏固練習(xí)4、解決問題二、如何具體設(shè)計(jì)每一個(gè)環(huán)節(jié)1、情境引入（1）教師滿懷激情的語言引入，激起學(xué)習(xí)興趣（2）學(xué)生觀察主題圖，由學(xué)生盡情地說他們的發(fā)現(xiàn)（3）設(shè)置疑問，激發(fā)求知欲（1）、教師激情語言引入：師：小朋友，春天就要到了，你們喜歡什么活動(dòng)？（春游）小精靈聰聰剛剛告訴老師，明天是個(gè)好天氣，學(xué)校決定明天春游去。一聽到這個(gè)好消息二（1）班的小朋友可高興啦，已經(jīng)為明天的春游準(zhǔn)備了許多好吃的，讓我們一起去看看都有哪些食品（出示課件）

（2）、學(xué)生觀察主題圖：

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察畫面，你們都發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）設(shè)置疑問師：老師現(xiàn)在就為大家分這些食品，請(qǐng)看圖（第13頁例1），你們認(rèn)為老師分得怎么樣？（不怎么樣）你們說說應(yīng)該怎么辦？（引導(dǎo)學(xué)生說出：應(yīng)該每份分得同樣多）2、引導(dǎo)探索（1）提出具體要求老師也為小朋友準(zhǔn)備了一些明天春游的食品（課件出示：橘子、糖果）請(qǐng)你們以小組為單位分配食品。要求：a、分每種食品要像二（1）班那樣，每份應(yīng)同樣多。

b、糖果分成5份，每份有3顆；橘子分成5份，每份有3個(gè)

c、小組討論分配方案，怎樣分每份才能分得同樣多。

d、小組推選代表到臺(tái)前展示分配方案：

（2）學(xué)生操作（3）學(xué)生展示、匯報(bào)

（4）探討各種分法

3、抽象概括讓學(xué)生用自己語言概括出平均分的概念

觀察：從各小組準(zhǔn)備的食品中，你們又發(fā)現(xiàn)了什么？（各種食品都是每份的數(shù)量同樣多。板書

每份分得同樣多→《平均分》

象這樣每份分得同樣多，叫平均分。

教學(xué)內(nèi)容：三年級(jí)上冊(cè)P49—P51有《余數(shù)的除法》4、鞏固練習(xí)課本P13做一做，引入例2

現(xiàn)在我想請(qǐng)小朋友做老師的小助手將15個(gè)橘子平均分成5份，想一想可以怎樣分？

①學(xué)生動(dòng)手分一分（用○代替橘子）師參與活動(dòng)

②交流分的結(jié)果（生到實(shí)物投影儀上演示）

（生1：一個(gè)一個(gè)地分……生2：先兩個(gè)兩個(gè)地分剩下的再一個(gè)一個(gè)地分……生3：三個(gè)三個(gè)地分……

師歸納平均分的方法：把15個(gè)橘子平均分成5份，每份有3個(gè)橘子

③引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，聆聽他人的意見，發(fā)表自己的不同想法

④討論評(píng)價(jià)：這幾種分法有什么不同？有什么相同？分的時(shí)候，可以一個(gè)一個(gè)地分，也可以幾個(gè)幾個(gè)地分，最后分完的結(jié)果必須每份同樣多。（平均分、結(jié)果）你喜歡哪種分法？為什么？（快、準(zhǔn)確）

5、解決問題（1）大家表現(xiàn)得這么好，我很想送一些獎(jiǎng)品給大家。這樣吧！送給每組同學(xué)一捆鉛筆。（送鉛筆）學(xué)生提出疑問：我們?cè)鯓拥锚?jiǎng)品呢？要求學(xué)生想出解決的辦法。（先數(shù)數(shù)有12枝鉛筆，再平均分給4個(gè)小朋友，每人得幾枝？）小組合作完成。（2）小熊今晚它要請(qǐng)客，要來5個(gè)客人，一個(gè)客人請(qǐng)吃2個(gè)苞米，它應(yīng)該買幾個(gè)苞米？請(qǐng)用學(xué)具擺擺看。（三）如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力要讓學(xué)生充分感知例如：教學(xué)“平均分”(1)給4個(gè)蘋果讓學(xué)生分成兩份（1個(gè)和3個(gè)、2個(gè)和2個(gè)）（2）給6個(gè)蘋果讓學(xué)生分成兩份（1個(gè)和5個(gè)、2個(gè)和4個(gè)、3個(gè)和3個(gè)）（3）分類比較（一類是分得兩份不一樣多的，一類是分得兩份是一樣多的）（4）初步抽象概括（把總數(shù)分成2份，每份一樣多的，，叫平均分）（5）給學(xué)生12個(gè)蘋果，要求學(xué)生把它分成3份、4份，每份也要同樣多（6）再進(jìn)一步抽象、概括，得出“把總數(shù)分成若干份，每份同樣多，稱為平均分”概念形成的幾個(gè)階段：辨別——?dú)w類——概括——強(qiáng)化教師向?qū)W生提出的問題請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察你們分法中每份的個(gè)數(shù)，想一想，分東西有哪兩種情況呢？請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察你們的分法，你發(fā)現(xiàn)了什麼？在你們的分法中有一種是每份蘋果的數(shù)目都是同樣多的，如果每份分得蘋果的數(shù)目同樣多，就叫做平均分，誰