全等三角形常見輔助線演示文稿

全等三角形常見輔助線演示文稿當(dāng)前第1頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)優(yōu)選全等三角形常見輔助線當(dāng)前第2頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)連線法第一關(guān)當(dāng)前第3頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠D.ACBD連接AC構(gòu)造全等三角形連線構(gòu)造全等當(dāng)前第4頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)連線構(gòu)造全等如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長(zhǎng).連接BD構(gòu)造全等三角形ACBDO當(dāng)前第5頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)第二關(guān)角平分線性質(zhì)當(dāng)前第6頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)如圖,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求點(diǎn)D到AB的距離.過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)EACDBE角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段當(dāng)前第7頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)PD=PE.PD=PE如圖,OC平分∠AOB,角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段過點(diǎn)P作PF⊥OA,PG⊥OB垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)GFGACDBEPO∠DOE+∠DPE=180°∠DOE+∠DPE=180°∟∟求證:當(dāng)前第8頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)證明:例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于N?！連D是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定義）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已證）∠1=∠2（已證）

BD=BD（公共邊）∴△NBD≌△MBD（）12∴∠4=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）N43321*∴ND=MD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已證）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）當(dāng)前第9頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)第三關(guān)中垂線法當(dāng)前第10頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)

△ABC中,AB＞AC，∠A的平分線與BC的垂直平分線DM相交于D，過D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F。求證：BE=CFABCDEFM連接DB,DC垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段∟當(dāng)前第11頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)如圖，已知三角形ABC中,BC邊上的垂直平分線DE與角BAC的平分線交于點(diǎn)E，EF垂直AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EG垂直AC交AC于點(diǎn)G。求證：(1)BF=CG(2)判定AB+AC與AF的關(guān)系當(dāng)前第12頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)第四關(guān)截長(zhǎng)補(bǔ)短法當(dāng)前第13頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2求證:AB=AC+CDADBCE12在AB上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接DE截長(zhǎng)F在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使得CF=CD，連接DF補(bǔ)短當(dāng)前第14頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)A1BCD234如圖所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直線DC經(jīng)過點(diǎn)E交AD于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)C。求證：AD+BC=ABEF在AB上取點(diǎn)F使得AF=AD,連接EF截長(zhǎng)補(bǔ)短當(dāng)前第15頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)證明：例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE?！連D是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已證）

BD=BD（公共邊）∴△ABD≌△EBD（）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°

（等量代換）321*∴∠A＝∠3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已證）∴DE=DC（等量代換）∴∠4=∠C（等邊對(duì)等角）AD=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）當(dāng)前第16頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)證明:例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCF延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF?！連D是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△BFD和△BCD中∵BF=BC（已知）∠1=∠2（已證）

BD=BD（公共邊）∴△BFD≌△BCD（）1243∵∠F＝∠C（已證）∴∠4=∠C（等量代換）321*∴∠F＝∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∵AD=CD（已知），DF=DC（已證）∴DF=AD（等量代換）∴∠4=∠F（等邊對(duì)等角）∵∠3+∠4＝180°

（平角定義）∴∠A+∠C＝180°

（等量代換）DF=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）當(dāng)前第17頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)練習(xí)1如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：∠C=2∠BABCDE1221證明:在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE?！逜D是∠BAC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已證）

AD=AD（公共邊）∴△AED≌△ACD（）3∴∠B=∠4（等邊對(duì)等角）4*∴∠C＝∠3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代換）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）∴∠C=2∠B（等量代換）ED=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）當(dāng)前第18頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)練習(xí)1如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：∠C=2∠BABCDF12證明:延長(zhǎng)AC到F，使CF=CD，連結(jié)DF?！逜D是∠BAC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）∴AB=AC+CF=AF（等量代換）∵∠ACB=2∠F（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）∴∠ACB=2∠B（等量代換）321*在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已證）∠1=∠2（已證）

AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△AFD（）∴∠F＝∠B（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∵CF=CD（已知）∴∠B=∠3（等邊對(duì)等角）當(dāng)前第19頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)第五關(guān)中線倍增法當(dāng)前第20頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)如何利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形？

可以利用倍長(zhǎng)中線法，即把中線延長(zhǎng)一倍，來構(gòu)造全等三角形。

如圖，若AD為△ABC的中線，

必有結(jié)論：ABCDE12延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE（也可連結(jié)CE）?！鰽BD≌△ECD，∠1=∠E，∠B=∠2，EC=AB，CE∥AB。當(dāng)前第21頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)已知，如圖AD是△ABC的中線，ABCDE延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)CE.思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范圍？倍長(zhǎng)中線當(dāng)前第22頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)如圖，已知直線MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是過E的任意線段，交MN于點(diǎn)D，交PQ于點(diǎn)C。求證：AD+AB=BC。證明:延長(zhǎng)AE，交直線PQ于點(diǎn)F。*30**2221ABCDEMNPQ1234F5當(dāng)前第23頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)第六關(guān)周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化當(dāng)前第24頁\共有26頁\編于星期日\(chéng)19點(diǎn)1.如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,則△DBE的周長(zhǎng)是多少?Ⅴ.“周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化

借助“角平分線性質(zhì)”BACDEBE+BD+D