參數(shù)曲線曲面基礎(chǔ)演示文稿

參數(shù)曲線曲面基礎(chǔ)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有51頁\編于星期六\2點優(yōu)選參數(shù)曲線曲面基礎(chǔ)當(dāng)前第2頁\共有51頁\編于星期六\2點概述工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀：初等解析曲面如：平面、圓柱面、圓錐面等，可用畫法幾何與機(jī)械制圖處理所包含的圖形信息。以復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面由所謂的自由曲線曲面組成，如：飛機(jī)、汽車、船舶的外形零件等，用單純的畫法幾何與機(jī)械制圖是不能表達(dá)清楚的。當(dāng)前第3頁\共有51頁\編于星期六\2點對復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面的表示：模線樣板法：以模擬量傳遞形狀信息計算機(jī)輔助幾何設(shè)計CAGD（ComputerAidedGeometricDesign）：用數(shù)學(xué)方法表示，以數(shù)值量傳遞形狀信息。概述當(dāng)前第4頁\共有51頁\編于星期六\2點CAGD中，依據(jù)定義形狀的幾何信息可建立相應(yīng)的曲線曲面方程，即數(shù)學(xué)模型，并在計算機(jī)上通過執(zhí)行計算和處理程序，計算出曲線曲面上大量的點及其他信息。其間，通過分析與綜合就可了解所定義形狀具有的局部和整體的幾何特征。實際上，在形狀信息的計算機(jī)表示、分析與綜合中，核心的問題是計算機(jī)表示，即需建立既適合于計算機(jī)處理，又有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計要求．同時還便于進(jìn)行形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀描述的數(shù)學(xué)方法。當(dāng)前第5頁\共有51頁\編于星期六\2點8.1曲線曲面基礎(chǔ)8.1.1曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展弗格森雙三次曲面片首先提出了將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法，最早引入?yún)?shù)三次曲線，為自由曲線曲面數(shù)學(xué)描述提供了一種標(biāo)準(zhǔn)形式?？姿闺p三次曲面片一個具有一般性的曲面描述方法；目前孔斯雙三次曲面片得到廣泛應(yīng)用；同前者一樣都存在形狀控制與連接的問題。樣條方法提供了解決連接問題的一種技術(shù)。在構(gòu)造整體達(dá)到某種參數(shù)連續(xù)階的插值曲線、曲面是很方便的，但不存在局部形狀調(diào)整的自由度，曲線、曲面的形狀難以預(yù)測。當(dāng)前第6頁\共有51頁\編于星期六\2點8.1.1曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展Bezier方法以逼近為基礎(chǔ)構(gòu)造曲線、曲面，由控制多邊形定義曲線，通過移動控制點就可修改曲線形狀。仍存在連接問題和局部修改問題。B樣條方法克服了前者的不足，解決了局部控制問題，在參數(shù)連續(xù)基礎(chǔ)上解決了連接問題。當(dāng)前第7頁\共有51頁\編于星期六\2點非均勻有理B樣條方法用于曲線曲面描述的最為流行的方法8.1.1曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展當(dāng)前第8頁\共有51頁\編于星期六\2點1.唯一性:由給定的有限信息決定唯一的形狀。2.幾何不變性:由給定的有限信息所確定的形狀，不隨所取得坐標(biāo)系不同而改變。3.易于定界：幾何形狀數(shù)學(xué)描述易于定界.4.統(tǒng)一性：能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況.5.易于實現(xiàn)光滑連接:在表達(dá)復(fù)雜形狀時，經(jīng)常需要將曲線段進(jìn)行連接，或曲面片進(jìn)行連接。6.幾何直觀：幾何意義明顯。8.1.2曲線曲面的表示要求當(dāng)前第9頁\共有51頁\編于星期六\2點非參數(shù)表示顯式表示隱式表示直線：y=kx+b8.1.3曲線曲面的表示當(dāng)前第10頁\共有51頁\編于星期六\2點參數(shù)方程表示形式

解析幾何中，空間曲線上一點的每個坐標(biāo)可表示為某個參數(shù)的函數(shù)。用參數(shù)形式來表示圓：x(u)=cos(u)y(u)=sin(u)

0<=u<=90o或：8.1.3曲線曲面的表示當(dāng)前第11頁\共有51頁\編于星期六\2點對于空間中任意點p：三個坐標(biāo)分量組成了曲線上該點的位置矢量，曲線可表示為參數(shù)t的矢量函數(shù)：每個坐標(biāo)分量都是t的標(biāo)量函數(shù)這種矢量函數(shù)表示等價于如下的笛卡爾分量表示：i，j，k為單位矢量8.1.3曲線曲面的表示當(dāng)前第12頁\共有51頁\編于星期六\2點對于矢量函數(shù)表示，給定一個參數(shù)t值，就得到曲線上一個坐標(biāo)。由于我們一般只對曲線的一段感興趣，將參數(shù)限制在[a,b]內(nèi)，參數(shù)在[a,b]內(nèi)連續(xù)變化就得到了曲線。為了方便，可用將參數(shù)規(guī)格化到[0,1]8.1.3曲線曲面的表示當(dāng)前第13頁\共有51頁\編于星期六\2點8.1.3曲線曲面的表示參數(shù)表示方法的優(yōu)點：1．點動成線2．可以選取具有幾何不變性的參數(shù)曲線曲面表示形式3．斜率4．t∈[0,1]，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的5．可對參數(shù)方程直接進(jìn)行仿射和投影變換6．參數(shù)變化對各因變量的影響可以明顯地表示出來當(dāng)前第14頁\共有51頁\編于星期六\2點同一條曲線，可以用不同的參數(shù)形式表達(dá),例如和

弧長是曲線的不變量，以弧長為參數(shù)來研究曲線的內(nèi)在性質(zhì)有重要意義。設(shè)已知曲線的矢量方程為：根據(jù)弧長微分公式：§8.1.4曲線的自然參數(shù)方程當(dāng)前第15頁\共有51頁\編于星期六\2點可見，弧長是參數(shù)t的單調(diào)增函數(shù)，故其反函數(shù)t(s)存在。一般參數(shù)方程就化為了自然參數(shù)方程§1.3曲線的自然參數(shù)方程當(dāng)前第16頁\共有51頁\編于星期六\2點同一條曲線，可以用不同的參數(shù)形式表達(dá),例如和

弧長是曲線的不變量，以弧長為參數(shù)來研究曲線的內(nèi)在性質(zhì)有重要意義。設(shè)已知曲線的矢量方程為：根據(jù)弧長微分公式：§1.3曲線的自然參數(shù)方程當(dāng)前第17頁\共有51頁\編于星期六\2點可見，弧長是參數(shù)t的單調(diào)增函數(shù)，故其反函數(shù)t(s)存在。一般參數(shù)方程就化為了自然參數(shù)方程§1.3曲線的自然參數(shù)方程當(dāng)前第18頁\共有51頁\編于星期六\2點1.4曲線論的基本公式首先建立曲線上某點的局部坐標(biāo)系——基本三棱形（Frenet標(biāo)架）對于自然參數(shù)方程曲率矢

單位切矢單位主法矢曲率

單位副法矢當(dāng)前第19頁\共有51頁\編于星期六\2點曲率表示曲線在某點處的切矢方向?qū)￠L的導(dǎo)數(shù)1.5曲率、撓率的意義及計算當(dāng)前第20頁\共有51頁\編于星期六\2點1.5曲率、撓率的意義及計算撓率表示曲線在某點處的副法矢方向?qū)￠L的導(dǎo)數(shù)當(dāng)前第21頁\共有51頁\編于星期六\2點1.曲面的等參線、偏導(dǎo)矢、混合偏導(dǎo)矢2.曲面的法矢同樣可以定義混合偏導(dǎo)矢、高階偏導(dǎo)矢：§1.7曲面上的曲線及其切矢和曲面上的法矢邊界、角點、跨界導(dǎo)矢當(dāng)前第22頁\共有51頁\編于星期六\2點1.曲面的法曲率§1.8*曲面的曲率過曲面上一點p，并包含曲面在該點的法矢n的平面PL與曲面的交線稱為法截線。該平面法截線在p點的曲率稱為曲面相對于PL的法曲率。以n為軸轉(zhuǎn)動平面PL，則相應(yīng)的法曲率隨之變化。當(dāng)前第23頁\共有51頁\編于星期六\2點2.主曲率、高斯曲率、平均曲率法曲率的極值k1、k2主曲率高斯曲率平均曲率§1.8*曲面的曲率當(dāng)前第24頁\共有51頁\編于星期六\2點§1.8*曲面的曲率ColoredCentralProfile當(dāng)前第25頁\共有51頁\編于星期六\2點6.曲面上點的類型劃分Besl通過高斯曲率K和平均曲率M的組合，將點附近的曲面形狀分為八種基本特征類型

三角網(wǎng)格模型曲率類型標(biāo)識區(qū)域分割§1.8*曲面的曲率當(dāng)前第26頁\共有51頁\編于星期六\2點懸鏈面的高斯曲率

手動工具的平均曲率圖

§1.8*曲面的曲率當(dāng)前第27頁\共有51頁\編于星期六\2點在自由曲線面的描述中常用的三種點控制點：用來確定曲線和曲面的位置與形狀，而相應(yīng)曲線和曲面不一定經(jīng)過的點型值點：用來確定曲線和曲面的位置與形狀，而相應(yīng)曲線和曲面一定經(jīng)過的點插值點：為提高曲線和曲面的輸出精度，在型值點之間插入的一系列點8.1.4插值和逼近樣條當(dāng)前第28頁\共有51頁\編于星期六\2點

曲線曲面的插值：當(dāng)用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。8.1.4插值和逼近樣條當(dāng)前第29頁\共有51頁\編于星期六\2點曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點列8.1.4插值和逼近樣條當(dāng)前第30頁\共有51頁\編于星期六\2點1.10參數(shù)化過三點P0、P1和P2構(gòu)造參數(shù)表示的插值多項式可以有無數(shù)條，這是因為對應(yīng)地參數(shù)t,在[0,1]區(qū)間中有無數(shù)種取法。即P0、P1和P2可對應(yīng)不同的參數(shù)值，比如， 或其中每個參數(shù)值稱為節(jié)點(knot)。當(dāng)前第31頁\共有51頁\編于星期六\2點對于一條插值曲線，型值點與其參數(shù)域內(nèi)的節(jié)點之間有一種對應(yīng)關(guān)系。對于一組有序的型值點，所確定一種參數(shù)分割，稱之這組型值點的參數(shù)化。當(dāng)前第32頁\共有51頁\編于星期六\2點參數(shù)化常用方法有：均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化) 節(jié)點在參數(shù)軸上呈等距分布，+正常數(shù)。累加弦長參數(shù)化這種參數(shù)法如實反映了型值點按弦長的分布情況，能夠克服型值點按弦長分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。當(dāng)前第33頁\共有51頁\編于星期六\2點向心參數(shù)化法向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點分布。當(dāng)前第34頁\共有51頁\編于星期六\2點8.1.5連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進(jìn)行描述：參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性當(dāng)兩條參數(shù)曲線段首尾相連構(gòu)成一條曲線時，如何保證各曲線段在連接處具有合乎要求的連續(xù)性是一個重要問題。當(dāng)前第35頁\共有51頁\編于星期六\2點參數(shù)連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導(dǎo)數(shù)存在，并且滿足記號

傳統(tǒng)的、嚴(yán)格的連續(xù)性8.1.5連續(xù)性條件當(dāng)前第36頁\共有51頁\編于星期六\2點0階參數(shù)連續(xù)性，記作C0連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即1.參數(shù)連續(xù)性當(dāng)前第37頁\共有51頁\編于星期六\2點1階參數(shù)連續(xù)性記作C1連續(xù)性，指代表兩個相鄰曲線段的方程在相交點處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：1.參數(shù)連續(xù)性當(dāng)前第38頁\共有51頁\編于星期六\2點2階參數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)性，指兩個相鄰曲線段的方程在相交點處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

1.參數(shù)連續(xù)性當(dāng)前第39頁\共有51頁\編于星期六\2點幾何連續(xù)性只需限定兩個曲線段在交點處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例，而不必完全相等記號直觀的、易于交互控制的連續(xù)性2.幾何連續(xù)性當(dāng)前第40頁\共有51頁\編于星期六\2點0階幾何連續(xù)性，記作G0連續(xù)性，與0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿足：

1階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點處成比例2階幾何連續(xù)性，記作G2連續(xù)性，指相鄰曲線段在交點處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。2.幾何連續(xù)性當(dāng)前第41頁\共有51頁\編于星期六\2點8.1.6樣條描述n次樣條參數(shù)多項式曲線的矩陣：當(dāng)前第42頁\共有51頁\編于星期六\2點T為n+1個冪次形式的基函數(shù)組成的矢量G是包含樣條形式的幾何約束條件在內(nèi)的矩陣，它包含了控制點的坐標(biāo)值和其他已被指定的幾何約束。MS是基矩陣，它將幾何約束轉(zhuǎn)化成多項式系數(shù)且提供了樣條曲線的特征8.1.6樣條描述當(dāng)前第43頁\共有51頁\編于星期六\2點8.2三次樣條給定n+1個點，可得到通過每個點的分段三次多項式曲線：三次多項式方程式能表示曲線段的端點通過特定點且在連接處保持位置和斜率的連續(xù)性的最低階次的方程。系數(shù)確定了一條參數(shù)曲線的形狀和位置t為參數(shù)，t=0對應(yīng)起點，t=1對應(yīng)終點關(guān)鍵：確定系數(shù)當(dāng)前第44頁\共有51頁\編于星期六\2點8.2.1自然三次樣條定義：給定n+1個型值點，現(xiàn)通過這些點列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有C2連續(xù)性。由于有n+1個型值點需擬合，這樣共有n個曲線段方程，于是有4n個多項式系數(shù)需要決定。對于每一個內(nèi)點Pi兩側(cè)的兩條曲線段在Pi處有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)，且兩條線均通過Pi點，這就得到了4(n-1)個方程。當(dāng)前第45頁\共有51頁\編于星期六\2點

特點：1.只適用于型值點分布比較均勻的場合

2.不能“局部控制”由P0點和Pn點處可得到2個方程。另外兩個條件？？？方法1：在P0點和Pn點處設(shè)其二階導(dǎo)