橢圓及其標準方程：課件一講義

橢圓及其標準方程2023/6/8思考1：取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在黑板的同一點處，套上筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是?

圓思考2：如把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在黑板的兩點處，套上筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？2023/6/82023/6/81、橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。M注意：1、M是橢圓上任意一點，且|MF1|+|MF2|=常數(shù)；

這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c（？）；2、如果2a=2c，則M點的軌跡是線段F1F2.3、如果2a<2c，則M點的軌跡不存在.（由三角形的性質(zhì)知）2023/6/8OXYF1F2M如圖所示：F1、F2為兩定點，且|F1F2|=2c，求平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c)的動點M的軌跡方程。

解：以F1F2所在直線為X軸，F(xiàn)1F2

的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)

設M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，則:|MF1|+|MF2|=2a2023/6/8OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2得：(a>b>0)這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上。2023/6/8OXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一條軸上。2023/6/8橢圓的標準方程

12yoFFMxy

xoF2F1M定義圖形方程焦點F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a小結：2023/6/8判定下列橢圓的焦點在哪個軸上，

并指明a2、b2，寫出焦點坐標。答：在X軸。（-3，0）和（3，0）答：在y軸。（0，-5）和（0，5）答：在y軸。（0，-1）和（0，1）判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：焦點在分母大的那個軸上。應用舉例2023/6/8應用舉例a>30<b<92023/6/8例1、填空：(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點F1的弦，則F2CD的周長為________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD例題講解2023/6/8(2)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：___________焦距等于__________;曲線上一點P到左焦點F1的距離為3，則點P到另一個焦點F2的距離等于_________，則F1PF2的周長為___________21(0,-1)、(0,1)22023/6/8例2、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：（1）滿足a=4,b=1，焦點在X軸上的橢圓的標準方程為____________（2）滿足a=4,c=，焦點在Y軸上的橢圓的標準方程為____________2023/6/8例3求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10；變式：兩個焦點的距離等于8，橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10.2023/6/8（2）兩個焦點的坐標分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點變式：橢圓經(jīng)過兩點A,B2023/6/8例4：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦